1、2.12.1隨機過程的基本概念和統計特性隨機過程的基本概念和統計特性2.22.2平穩隨機過程平穩隨機過程2.32.3高斯隨機過程高斯隨機過程2.42.4隨機過程通過線性系統隨機過程通過線性系統2.52.5窄帶隨機過程窄帶隨機過程2.62.6正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲 第第 2 2 章隨機信號分析章隨機信號分析返回主目錄第第 2 章章 隨機過程隨機過程 2.1 2.1 隨機過程的基本概念和統計特性隨機過程的基本概念和統計特性 2.1.12.1.1隨機過程隨機過程 信號參數變化過程分成為兩類。信號參數變化過程分成為兩類。1 1）、信號參數變化過程具有必然的變化規律，用數學語言來）、信

2、號參數變化過程具有必然的變化規律，用數學語言來說，其變化過程可以用一個或幾個時間說，其變化過程可以用一個或幾個時間t t的確定函數來描述，的確定函數來描述，這類過程稱為這類過程稱為確定性過程確定性過程。例如，電容器通過電阻放電時，電容兩端的電位差隨時間的變化就是一個確定性函數。2 2）、信號參數變化過程沒有一個確定的變化規律，用數學語）、信號參數變化過程沒有一個確定的變化規律，用數學語言來說，言來說， 這類事物變化的過程不可能用一個或幾個時間這類事物變化的過程不可能用一個或幾個時間t t的確的確定函數來描述，這類過程稱為定函數來描述，這類過程稱為隨機過程隨機過程。下面我們給出一個。下面我們給出

3、一個例子：例子： 在相同的工作環境和測試條件下記錄n臺性能完全相同的接收機輸出噪聲波形（這也可以理解為對一臺接收機在一段時間內持續地進行n次觀測）。測試結果將表明，盡管設備和測試條件相同，記錄的n條曲線中找不到兩個完全相同的波形。這就是說，接收機輸出的噪聲電壓隨時間的變化是不可預知的，因而它是一個隨機過程。 隨機過程的定義隨機過程的定義：設：設S Sk k(k=1, 2, )(k=1, 2, )是隨機試驗。是隨機試驗。 每一次試每一次試驗都有一條時間波形，稱為驗都有一條時間波形，稱為樣本函數樣本函數或或實現實現，記作，記作x xi i(t)(t)，所有，所有可能出現的結果的總體可能出現的結果的

4、總體xx1 1(t), x(t), x2 2(t)(t)， , x, xn n(t)(t)， 就構成一就構成一隨機過程，記作隨機過程，記作(t)(t)。 (t)(t)代表隨機過程，表示無窮多個代表隨機過程，表示無窮多個樣本函數的總體樣本函數的總體，如圖，如圖 2 - 1 2 - 1 所示。所示。圖 2- 1樣本函數的總體 x1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn(t)tk 上例中接收機的輸出噪聲波形也可用圖上例中接收機的輸出噪聲波形也可用圖 2 - 1 2 - 1 表示：把對表示：把對接收機輸出噪聲波形的觀測看作是進行一次隨機試驗，每次試接收機輸出噪聲波形的觀測看作是進行一次隨

5、機試驗，每次試驗之后，驗之后，(t)(t)取圖中所示的樣本空間中的某一樣本函數，至于取圖中所示的樣本空間中的某一樣本函數，至于是空間中哪一個樣本，在進行觀測前是無法預知的，這正是隨是空間中哪一個樣本，在進行觀測前是無法預知的，這正是隨機過程隨機性的具體表現。其機過程隨機性的具體表現。其基本特征基本特征體現在兩個方面：體現在兩個方面： 1 1）、它是一個時間函數；）、它是一個時間函數； 2 2）、在固定的某一觀察時刻）、在固定的某一觀察時刻t t1 1，全體樣本在，全體樣本在t t1 1時刻的取值時刻的取值(t(t1 1) )是一個不含是一個不含t t變化的隨機變量。變化的隨機變量。 隨機過程是

6、依賴時間參數的一族隨機變量。隨機過程具有隨隨機過程是依賴時間參數的一族隨機變量。隨機過程具有隨機變量和時間函數的特點。機變量和時間函數的特點。在以下研究隨機過程時正是利用了在以下研究隨機過程時正是利用了這兩個特點。這兩個特點。 2.1.22.1.2隨機過程的統計特性隨機過程的統計特性 由于隨機過程具有兩重性，可以用與描述隨機變量相似的方由于隨機過程具有兩重性，可以用與描述隨機變量相似的方法，法， 來描述它的統計特性。來描述它的統計特性。 設設(t)(t)表示一個隨機過程，表示一個隨機過程，在任意給定的時刻在任意給定的時刻t t1， 其取值其取值(t(t1 1) )是一個一維隨機變量。而隨機變量

7、的統計特性可以用是一個一維隨機變量。而隨機變量的統計特性可以用分布函分布函數數或或概率密度函數概率密度函數來描述。我們把隨機變量來描述。我們把隨機變量(t(t1 1) )小于或等于某一小于或等于某一數值數值x x1 1的概率的概率P P(t(t1 1)x)x1 1， 簡記為簡記為 F F1 1(x(x1 1,t ,t1 1) ) 即即 F F1 1(x(x1 1,t ,t1 1)=P)=P(t(t1 1)x)x1 1 (2.1 - 1)(2.1 - 1)上式稱為隨機過程上式稱為隨機過程(t)(t)的的一維分布函數一維分布函數。如果。如果F F1 1(x(x1 1, t, t1 1) )對對x

8、x1 1的偏導數存在，即有的偏導數存在，即有),(),(1111111txfxtxF 則稱則稱f f1 1(x(x1 1, t, t1 1) )為為(t)(t)的的一維概率密度函數一維概率密度函數。顯然，隨機過程。顯然，隨機過程的的一維分布函數一維分布函數或或一維概率密度函數一維概率密度函數僅僅描述了隨機過程在各僅僅描述了隨機過程在各個孤立時刻的統計特性，而沒有說明隨機過程在不同時刻取值個孤立時刻的統計特性，而沒有說明隨機過程在不同時刻取值之間的內在聯系，為此需要進一步引入之間的內在聯系，為此需要進一步引入二維分布函數二維分布函數。 任給兩個時刻任給兩個時刻t t1 1, t, t2 2，則隨

9、機變量，則隨機變量(t(t1 1) )和和(t(t2 2) )構成一個二元隨構成一個二元隨機變量機變量(t(t1 1), (t), (t2 2) )， F F2 2(x(x1 1,x,x2 2;t ;t1 1,t ,t2 2)=P)=P(t(t1 1)x)x1 1,(t,(t2 2)x)x2 2 (2.1 - 3)(2.1 - 3) 稱為隨機過程稱為隨機過程(t)(t)的的二維分布函數。二維分布函數。 概率密度函數是概率分布函數的導數);,();,(2121212, 12122t txxfxxttxxF 則稱則稱f f2 2(x(x1 1,x,x2 2; t; t1 1,t,t2 2) )為為

10、(t)(t)的的二維概率密度函數二維概率密度函數。 同理，任給同理，任給t t1 1, t, t2 2, , t, , tn n，則則(t)(t)的的n n維分布定義為：維分布定義為：Fn(xFn(x1 1,x,x2 2,x,xn n;t;t1 1,t,t2 2,t,tn n)=P)=P(t(t1 1)x1,(t)x1,(t2 2)x)x2 2, , (t(tn n)x)xn n ).,;.,(.).,.;,(2121212, 1212nnnnntttxxxfxxxtttxxF如果存在如果存在 則稱則稱f fn n(x(x1 1,x,x2 2,x,xn n; t; t1 1,t,t2 2,t,

11、tn n) )為為(t)(t)的的n n維概率密維概率密度函數。顯然，度函數。顯然，n n越大，對隨機過程統計特性的描述就越充越大，對隨機過程統計特性的描述就越充分，但問題的復雜性也隨之增加。分，但問題的復雜性也隨之增加。在一般實際問題中，掌握在一般實際問題中，掌握二維分布函數就已經足夠了。二維分布函數就已經足夠了。 2.1.32.1.3隨機過程的數字特征隨機過程的數字特征 分布函數或概率密度函數雖然能夠較全面地描述隨機過分布函數或概率密度函數雖然能夠較全面地描述隨機過程的統計特性程的統計特性, , 但在實際工作中，有時不易或不需求出分布但在實際工作中，有時不易或不需求出分布函數和概率密度函數

12、，而用隨機過程的函數和概率密度函數，而用隨機過程的數字特征數字特征來描述隨機來描述隨機過程的統計特性，更簡單直觀。過程的統計特性，更簡單直觀。 1. 1. 數學期望數學期望 設隨機過程設隨機過程(t)(t)在任意給定時刻在任意給定時刻t t1 1的取值的取值(t(t1 1) )是一個隨機變是一個隨機變量，其概率密度函數為量，其概率密度函數為f f1 1(x(x1 1, t, t1 1) )，則，則(t(t1 1) )的數學期望為的數學期望為1111),()(dxtxfxtE 注意，這里注意，這里t t1 1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把t t1 1直接寫為直接寫為t, xt, x1

13、1改改為為x, x, 這時上式就變為隨機過程在任意時刻的數學期望，記作這時上式就變為隨機過程在任意時刻的數學期望，記作a(t)a(t)， 于是于是 a(t)a(t)是時間是時間t t的函數，它表示隨機過程的的函數，它表示隨機過程的n n個樣本函數曲個樣本函數曲線的擺動中心，即線的擺動中心，即均值均值。 2. 2. 方差方差（2.23）dxtxfxtEta),()()(12 )()()(tEtEtD221222)(),()()()(tadxtxfxtEtEtD（2.24） D D(t)(t)常記為常記為 2 2(t)(t)。 方差方差等于均方值與數學期望平方之差。它表示隨機過程在等于均方值與數學

14、期望平方之差。它表示隨機過程在時刻時刻t t對于均值對于均值a(t)a(t)的偏離程度。的偏離程度。 均值和方差都只與隨機過程的一維概率密度函數有關，因均值和方差都只與隨機過程的一維概率密度函數有關，因而它們描述了隨機過程在各個孤立時刻的特征。為了描述隨機而它們描述了隨機過程在各個孤立時刻的特征。為了描述隨機過程在兩個不同時刻狀態之間的聯系，過程在兩個不同時刻狀態之間的聯系， 還需利用二維概率密還需利用二維概率密度引入新的數字特征。度引入新的數字特征。 3. 3. 相關函數相關函數 衡量隨機過程在任意兩個時刻獲得的隨機變量之間的關聯衡量隨機過程在任意兩個時刻獲得的隨機變量之間的關聯程度時，常用

15、協方差函數程度時，常用協方差函數B(tB(t1 1, t, t2 2) )和相關函數和相關函數R(tR(t1 1, t, t2 2) )來表示。來表示。協方差函數定義為協方差函數定義為 B(t1,t2)=E(t1)a(t1)(t2)a(t2) = f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2)()(2211taxtax 式中，式中，t t1 1與與t t2 2是任取的兩個時刻；是任取的兩個時刻；a(ta(t1 1) )與與a(ta(t2 2) )為在為在t t1 1及及t t2 2時刻得到的數學期望；時刻得到的數學期望；f f2 2(x(x1 1,x,x2 2; t; t1 1,t ,t2 2

16、) )為二維概率密度函數。為二維概率密度函數。 相關函數相關函數定義為定義為 R(t1, t2)=212121221),;,(dxdxttxxfxx )()(21ttE（2.26）二者關系為 B(t1, t2)=R(t1, t2) a(t1)a(t2) (2.27)若若a(ta(t1 1)=0)=0或或a(ta(t2 2)=0)=0，則，則B(tB(t1 1, t, t2 2)=R(t)=R(t1 1, t, t2 2) )。 若若t t2 2t t1 1，并令，并令t t2 2=t=t1 1+，則，則R(tR(t1 1, t, t2 2) )可表示為可表示為R(tR(t1 1, t, t1

17、1+)+)。若若t t2 2=t=t1 1 ，R R（0 0）=E=E2 2（t)t)均方值均方值表明，表明，相關函數依賴于起始時刻相關函數依賴于起始時刻t t1 1及及t t2 2與與t t1 1之間的時間間隔之間的時間間隔, ,即即相關函數是相關函數是t t1 1和和 的函數。協方差和相關函數可以描述隨機過程的函數。協方差和相關函數可以描述隨機過程隨時間的變化程度隨時間的變化程度越平緩越大，反之越小。越平緩越大，反之越小。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一過程的相關程度的， 因此，它們又常分別稱為自協方差自協方差函數和自相關自相關函數。 對于兩個或更多個隨機過程，可引入

18、互協方差互協方差及互相關互相關函數函數。設(t)和(t)分別表示兩個隨機過程，則互協方差函數定義為： B(t1,t2)=E(t1)a(t1)(t2)a(t2) 而互相關函數定義為： R(t1, t2)=E(t1)(t2) 2.2平穩隨機過程平穩隨機過程 2.2.1定義定義 平穩隨機過程是指它的統計特性不隨時間的推移而變化平穩隨機過程是指它的統計特性不隨時間的推移而變化。設隨機過程(t)，tT,若對于任意n和任意選定t1t2tn, tkT， k=1, 2, , n，以及為任意值，且x1, x2, , xnR，有fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)=fn(x1, x2, ,

19、 xn; t1+, t2+ , , tn+ ) (2.3 - 1) 則稱(t)是平穩隨機過程。該定義說明，當取樣點在時間軸上作任意平移時，隨機過程的所有有限維分布函數是不變的， 具體到它的一維分布, 則與時間t無關， 而二維分布只與時間間隔有關，即有 f1(x1, t1)=f1(x1) 和 f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2; ) 以上兩式可由式（2.3 - 1）分別令n=1和n=2, 并取 =-t1得證。 于是， 平穩隨機過程(t)的均值adxxfxtE1111) ,()( 為一常數，這表示平穩隨機過程的各樣本函數圍繞著一水表示平穩隨機過程的各樣本函數圍繞著一水平線起伏

20、平線起伏。同樣，可以證明平穩隨機過程的方差 2 2(t)=(t)=2 2=常數，表示它的起伏偏離數學期望的程度也是常數。而平穩隨機過程(t)的自相關函數R(t1, t2)=E(t1)(t1+) =）（Rdxdxxxfxx 2121221);,( 僅是時間間隔僅是時間間隔=t=t2 2-t -t1 1的函數，而不再是的函數，而不再是t t1 1和和t t2 2的二維函數。的二維函數。 以上表明以上表明，平穩隨機過程平穩隨機過程(t)(t)具有具有“平穩平穩”的數字特征：它的的數字特征：它的均值與時間無關；它的自相關函數只與時間間隔均值與時間無關；它的自相關函數只與時間間隔 有關有關，即即 R(t

21、1, t1+)=R() 注意到式（注意到式（2.3 - 12.3 - 1）定義的平穩隨機過程對于一切）定義的平穩隨機過程對于一切n n都成立，都成立， 這在實際應用上很復雜。但僅僅由一個隨機過程的均值是常數，這在實際應用上很復雜。但僅僅由一個隨機過程的均值是常數， 自相關函數是自相關函數是 的函數還不能充分說明它符合平穩條件，為此的函數還不能充分說明它符合平穩條件，為此引入另一種平穩隨機過程的定義引入另一種平穩隨機過程的定義： 設有一個二階隨機過程設有一個二階隨機過程(t)(t)，它的均值為常數，自相關函，它的均值為常數，自相關函數僅是數僅是 的函數，的函數， 則稱它為寬平穩隨機過程或廣義平穩

22、隨機過則稱它為寬平穩隨機過程或廣義平穩隨機過程程。相應地，稱相應地，稱按式（按式（2.3 - 12.3 - 1）定義的過程為狹義平穩隨機）定義的過程為狹義平穩隨機過程過程。因為廣義平穩隨機過程的定義只涉及與一維、。因為廣義平穩隨機過程的定義只涉及與一維、 二維概二維概率密度有關的數字特征，所以一個狹義平穩隨機過程只要它率密度有關的數字特征，所以一個狹義平穩隨機過程只要它的均方值的均方值E E 2 2(t)(t)有界，則它必定是廣義平穩隨機過程，但有界，則它必定是廣義平穩隨機過程，但反過來一般不成立。反過來一般不成立。 通信系統中所遇到的信號及噪聲，大多數可視為平穩的通信系統中所遇到的信號及噪聲

23、，大多數可視為平穩的隨機過程。隨機過程。以后討論的隨機過程除特殊說明外，均假定是平以后討論的隨機過程除特殊說明外，均假定是平穩的，穩的， 且均指廣義平穩隨機過程，且均指廣義平穩隨機過程， 簡稱平穩過程簡稱平穩過程。 2.2.22.2.2各態歷經性各態歷經性 平穩隨機過程在滿足一定條件下有一個有趣而又非常有平穩隨機過程在滿足一定條件下有一個有趣而又非常有用的特性，用的特性， 稱為稱為“各態歷經性各態歷經性”。這種平穩隨機過程，它的。這種平穩隨機過程，它的數字特征（均為統計平均）完全可由隨機過程中的任一實現數字特征（均為統計平均）完全可由隨機過程中的任一實現的數字特征（均為時間平均）來替代。也就是

24、說，假設的數字特征（均為時間平均）來替代。也就是說，假設x(t)x(t)是是平穩隨機過程平穩隨機過程(t)(t)的任意一個實現，它的時間均值和時間相關的任意一個實現，它的時間均值和時間相關函數分別為函數分別為2/2/)(1)(limTTTdttxTtxa如果平穩隨機過程使下式成立如果平穩隨機過程使下式成立： aa )()(RR 則稱該平穩隨機過程具有各態歷經性。則稱該平穩隨機過程具有各態歷經性。 “ “各態歷經各態歷經”的含義：的含義：隨機過程中的任一實現都經歷了隨機過程中的任一實現都經歷了隨機過程的所有可能狀態隨機過程的所有可能狀態。意義：無需（實際中也不可能）獲得大量用來計算統計平均的意義

25、：無需（實際中也不可能）獲得大量用來計算統計平均的樣本函數，而樣本函數，而只需從任意一個隨機過程的樣本函數中就可獲得只需從任意一個隨機過程的樣本函數中就可獲得它的所有的數字特征，它的所有的數字特征， 從而使從而使“統計平均統計平均”化為化為“時間平時間平均均”，使實際測量和計算的問題大為簡化。，使實際測量和計算的問題大為簡化。 注意：注意： 具有各態歷經性的隨機過程必定是平穩隨機過程，具有各態歷經性的隨機過程必定是平穩隨機過程， 但平穩隨機過程不一定是各態歷經的。在通信系統中所遇到但平穩隨機過程不一定是各態歷經的。在通信系統中所遇到的隨機信號和噪聲，的隨機信號和噪聲， 一般均能滿足各態歷經條件

26、。一般均能滿足各態歷經條件。 2.2.32.2.3平穩隨機過程自相關函數的性質平穩隨機過程自相關函數的性質 對于平穩隨機過程而言，對于平穩隨機過程而言， 它的自相關函數是特別重要它的自相關函數是特別重要的一個函數。其一，平穩隨機過程的統計特性，如數字特征的一個函數。其一，平穩隨機過程的統計特性，如數字特征等，等， 可通過自相關函數來描述；其二，自相關函數與平穩隨可通過自相關函數來描述；其二，自相關函數與平穩隨機過程的譜特性有著內在的聯系。因此，我們有必要了解平機過程的譜特性有著內在的聯系。因此，我們有必要了解平穩隨機過程自相關函數的性質。穩隨機過程自相關函數的性質。 設設(t)(t)為實平穩隨

27、機過程，為實平穩隨機過程， 則它的自相關函數則它的自相關函數 R()=E(t)(t+) 具有下列主要性質：具有下列主要性質： （1）R(0)=E2(t)=S (t)的平均功率 （2） R()=E2(t) (t)的直流功率 這里利用了當時， (t)與(t+)沒有依賴關系， 即統計獨立， 且認為(t)中不含周期分量。 （3） R()=R(-) 的偶函數這一點可由定義式（2.2 -6）得證。 （4） |R()|R(0) R()的上界 考慮一個非負式即可得證。 （5） R(0)-R()=2 方差，(t)的交流功率 當均值為0時，有R(0)=2。 2.2.42.2.4平穩隨機過程的功率譜密度平穩隨機過程

28、的功率譜密度1 1、平穩隨機過程、平穩隨機過程(t)(t)的功率譜密度的功率譜密度P P ()() 隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。 隨機過程中的任一實現是一個確定的功率型信號。而對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度為 式中，FT()是f(t)的截短函數fT(t)（見圖 2 - 2）所對應的頻譜函數。 我們可以把f(t)看成是平穩隨機過程(t)中的任一實現，因而每一實現的功率譜密度也可用上式來表示。由于(t)是無窮多個實現的集合，哪一個實現出現是不能預知的，因此，某一實現的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應看做是任一實現的功率譜的統計平均，即 TFP

29、TTs2)()(lim圖 2-2 功率信號f(t)及其截短函數f (t)Otf T(t)tOT2T2TFETPEPTS)()()(2lim(t)的平均功率S則可表示成dTFEdpsTT)(21)(212lim 上式給出了平穩隨機過程(t)的功率譜密度P()，但很難直接用它來計算功率譜。 2 2、功率譜、功率譜P P () () 與相關函數與相關函數 確知的非周期功率信號的自相關函數與其譜密度是一對傅氏變換關系。對于平穩隨機過程，也有類似的關系，即其傅里葉反變換為deRPj)()(dePRj)(21)(于是于是 R（0）)()(212tEdP 因為R(0)表示隨機過程的平均功率，它應等于功率譜密

30、度曲線下的面積。因此，P()必然是平穩隨機過程的功率譜密度函數。所以，平穩隨機過程的功率譜密度P()與其自相關函數R()是一對傅里葉變換關系, 即 deRpj)()(dePRj)(21)(或deRfpfj2)()(dfefPRfj2)()(簡記為 R() P() 以上稱為以上稱為維納維納- -辛欽關系，它是聯系頻域和時域兩種分辛欽關系，它是聯系頻域和時域兩種分析方法的基本關系式。析方法的基本關系式。在平穩隨機過程的理論和應用中是一在平穩隨機過程的理論和應用中是一個非常重要的工具。個非常重要的工具。 根據上述關系式及自相關函數根據上述關系式及自相關函數R()R()的性質，不難推演的性質，不難推演

31、功率譜密度功率譜密度P P ()()有如下性質：有如下性質： （1） P()0，非負性； （2.2 - 20） （2） P(-)=P()，偶函數。 （2.2 - 21） 例 2 - 1某隨機相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中A和c均為常數，是在(0, 2)內均勻分布的隨機變量。 （1） 求(t)的自相關函數與功率譜密度； （2） 討論(t)是否具有各態歷經性。 解 (1) 先考察(t)是否廣義平穩。 若(t)的數學期望為常數， 而自相關函數只與時間 間隔有關， (t)為廣義平穩隨機過程。 1、(t)的數學期望為dtAtEtac21)cos()()(20dttAcc)sinsincos(

32、cos220常數）(0sinsin(coscos22020dtdtAcc 2、(t)的自相關函數為)()(),(2121ttEttR)cos()cos(21tAtAEcc2)(cos)(cos212122ttttEAccdttAttAcc212)(cos2)(cos2122021220)(cos2122ttAc (t)的數學期望為常數， 而自相關函數只與時間間隔有關， 所以(t)為廣義平穩隨機過程。 根據平穩隨機過程的相關函數與功率譜密度是一對傅里葉變換，即R() P()，則因為 cosc (-c)+(+c)所以，功率譜密度為 P()= (-c)+(+c)平均功率為 S=R(0)=dAcc)(

33、)(2222A(2) 現在來求(t)的時間平均。 根據式（2.2 - 6）可得0)cos(12/2/limdttATaTTcT22AdttACOStACOSTRcTTcT)()(1)(2/2/limdttdtTAcTTcTTcT)22cos(cos(2lim2/2/2/2/2cAcos22 比較統計平均與時間平均，得a= , R()= ， 因此，隨機相位余弦波是各態歷經的。 a)(R2.3高斯隨機過程高斯隨機過程 2.3.1定義定義 若隨機過程(t)的任意n維（n=1, 2, ）分布都是正態分布，則稱它為高斯隨機過程或正態過程。 其n維正態概率密度函數表示如下： fn(x1,x2,xn; t1

34、,t2,tn) 212121.)2(1Bn)(21exp.11kkkjkjnkjknjaxaxBB 式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|為歸一化協方差矩陣的行列式，即B b12 b1nB21 1 b2nBn1 bn2 1 |B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數余因子，bjk為歸一化協方差函數，且 2.3.22.3.2重要性質重要性質 （1） 由式(2.3 - 1)可以看出, 高斯過程的n維分布完全由n個隨機變量的數學期望、 方差和兩兩之間的歸一化協方差函數所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數字特征就可以了。 （2） 如果高斯過程是廣義平穩的，則它的均值與時間無關

35、，協方差函數只與時間間隔有關，而與時間起點無關，由性質（1）知，它的n維分布與時間起點無關。 所以，廣義平穩的高斯過程也是狹義平穩的。 （3） 如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關的， 即對所有jk有bjk=0，這時式（2.5 - 1）變為fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)= (2.3 - 2) 也就是說，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關的， 那么它們也是統計獨立的。以后分析問題時，會經常用到高斯過程中的一維分布。njjjjnjjnax12222)(exp)2(12)(exp21221jjjnjjax=f(x1, t1)f(x2, t2)f(xn, tn) )2)

36、(exp(21)(22axxf 式中，a為高斯隨機變量的數學期望，2為方差。f(x)曲線如圖 2 - 3所示。 由式（2.3 - 3）和圖2 - 3可知f(x)具有如下特性： (1) f(x)對稱于x=a這條直線。 (2) 21)()(aadxxfdxxf1)(dxxf且有 高斯過程在任一時刻上的樣值是一個一維高斯隨機變量，其一維概率密度函數可表示為圖2-3 正態分布的概率f (x)12Oax 3） a表示分布中心，表示集中程度，f(x)圖形將隨著的減小而變高和變窄。當a=0，=1時，稱f(x)為標準正態分布的密度函數。 當我們需要求高斯隨機變量小于或等于任意取值x的概率P(x)時，還要用到正

37、態分布函數。正態分布函數是概率密度函數的積分，即dzazxpxFx2)(exp21)()(22 這個積分無法用閉合形式計算，我們要設法把這個積分式和可以在數學手冊上查出積分值的特殊函數聯系起來，一般常用以下幾種特殊函數： （1） 誤差函數和互補誤差函數。 誤差函數的定義式為xtdtexerf022)( 它是自變量的遞增函數，erf(0)=0，erf()=1，且erf(-x)=-erf(x)。我們稱1-erf(x)為互補誤差函數，記為erfc(x), 即 erfc(x)=1-erf(x)=dtext22 它是自變量的遞減函數，erfc(0)=1，erfc()=0，且erfc(-x)=2-erfc

38、(x)。當x1時（實際應用中只要x2)即可近似有21)(xexxerfc （2） 概率積分函數和Q函數。 概率積分函數定義為(x)= (2.3 - 10)0,212/2xdtext 這是另一個在數學手冊上有數值和曲線的特殊函數， 有()=1。 Q函數是一種經常用于表示高斯尾部曲線下的面積的函數，其定義為0,21)(1)(2/2xdtexxQxt 比較式（2.3 - 8）與式（2.3 - 10）和式（2.3 - 11）， 可得 )2(21)(xerfcxQ)2(1 2)2(2)(xxQxerfc 現在讓我們把以上特殊函數與式（2.3 - 6）進行聯系， 以表示正態分布函數F(x)。 若對式（2.

39、3 - 6）進行變量代換，令新積分變量t=(z-a)/， 就有dz=dt，再與式（2.3 - 10）聯系，則有 F(x)= (2.3 - 15)若對式（2.3 - 6）進行變量代換， 令新積分變量t=(z-a)/ ，就有dz= dt，再利用式（2.3 - 5），則不難得到 22ax 用誤差函數或互補誤差函數表示F(x)的好處是，它簡明的特性有助于今后分析通信系統的抗噪聲性能。 F(X)=時當axaxerf),2(2121時當axaxerf),2(211 2.3.32.3.3高斯白噪聲高斯白噪聲 信號在信道中傳輸時， 常會遇到這樣一類噪聲， 它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內，即 P()=

40、(2.3 - 17)這種噪聲被稱為白噪聲白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機過程。 式中n0為一常數，單位是瓦/赫。顯然，白噪聲的自相關函數可借助于下式求得，即20n R()= )(20n 這說明，白噪聲只有在=0時才相關，而它在任意兩個時刻上的隨機變量都是互不相關的。圖 2 - 5畫出了白噪聲的功率譜和自相關函數的圖形。(P25) 如果白噪聲又是高斯分布的， 我們就稱之為高斯白噪高斯白噪聲聲。 應當指出，所定義的這種理想化的白噪聲在實際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠遠大于通信系統的工作頻帶，就可以把它視為白噪聲。 2.4隨機過程通過線性系統隨機過程通過線性系統 通信的目的

41、在于傳輸信號，信號和系統總是聯系在一起的。通信系統中的信號或噪聲一般都是隨機的，因此在以后的討論中我們必然會遇到這樣的問題：隨機過程通過系統（或網絡）后，輸出過程將是什么樣的過程？ 1、平穩過程通過線性時不變系統的情況。 隨機信號通過線性系統的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統的分析原理的基礎之上的。我們知道，線性系統的響應vo(t)等于輸入信號vi(t)與系統的單位沖激響應h(t)的卷積，即vo(t)=vi(t)*h(t)= dthvi)()( 若 vo(t) Vo(), vi(t) Vi(), h(t) H()，則有 Vo()=H()Vi() (2.8 - 2)若線性系統是物理可實現的

42、，則 vo(t)=dthvti)()(或dtvhtvi)()()(00 如果把vi(t)看作是輸入隨機過程的一個樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機過程的一個樣本。顯然，輸入過程i(t)的每個樣本與輸出過程o(t)的相應樣本之間都滿足式（2.8 - 2）的關系。這樣，就整個過程而言，便有 o(t)= (2.4 - 5)假定輸入i(t)是平穩隨機過程， 現在來分析系統的輸出過程o(t)的統計特性。我們先確定輸出過程的數學期望、 自相關函數及功率譜密度，然后討論輸出過程的概率分布問題。 1. 輸出過程o(t)的數學期望對式（2.4 - 5）兩邊取統計平均，有dthi)()(0000)()()()(d

43、hadtEhEi 式中利用了平穩性假設Ei(t-)=Ei(t)=a(常數)。 又因為 dtethHtj)()(0求得H(0)=0)( dtth所以Eo(t)=aH(0) 由此可見, 輸出過程的數學期望等于輸入過程的數學期望與直流傳遞函數H(0)的乘積，且Eo(t)與t無關。 2. 輸出過程輸出過程o(t)的自相關函數的自相關函數 )()(),(1010110ttEttRRo(t1, t1+)=Eo(t1)o(t1+) =E)()()()(0100ddthdaatahii)()()()(100ddtatEhahiii 根據平穩性 Ei(t1-)i(t1+-)=Ri(+-) 有Ro(t1, t1+

44、)= h()h()Ri(+-) dd=Ro 可見, o(t)的自相關函數只依賴時間間隔而與時間起點t1無關。由以上輸出過程的數學期望和自相關函數證明，若線性系統的輸入過程是平穩的，那么輸出過程也是平穩的。 3. 輸出過程輸出過程o(t)的功率譜密度的功率譜密度 對上式進行傅里葉變換, 有deRpj)()(00dedadRhahjwri )()()(00令則有deRdehdeahPjwijwjwa,)()()()(000即)()()()()()(20iipHPHHP 可見，系統輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi()與系統功率傳輸函數|H()|2的乘積。這是十分有用的一個重要公式。 當我們想得到輸

45、出過程的自相關函數Ro()時，比較簡單的方法是先計算出功率譜密度Po()，然后求其反變換，這比直接計算Ro()要簡便得多。 例 2 帶限白噪聲帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關函數和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為H()= K0e-jwt 0 其他Hww 解 由上式得|H()|2= ，|H。輸出功率譜密度為Po()=|H()|2Pi()= ， |H 可見， 輸出噪聲的功率譜密度在|H內是均勻的， 在此范圍外則為零，如圖 2 - 5（a）所示，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。其自相關函數為20K20K2ndwewPRjwr)(21)(00

46、dfenKfjfHfH20202HHHqwfnksin020圖2-5 帶限白噪聲的功率譜和自相關函數fOPo()ORo()fHfHn02K0212fH12fHK0n0 fH2 式中，H=2fH。由此可見，帶限白噪聲只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的隨機變量才不相關。它告訴我們，如果對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關的隨機變量。這是一個很重要的概念。 如圖 2 - 5（b）所示，帶限白噪聲的自相關函數Ro()在=0 處有最大值，這就是帶限白噪聲的平均功率: Ro(0)= n0fH20k dthi)()(00 總可以確定輸出過程的分布。其中一個十分有用的情形是：

47、如果線性系統的輸入過程是高斯型的，則系統的輸出過程也是高斯型的。 因為從積分原理來看， 上式可表示為一個和式的極限，即kkkkrhttk)()(lim)(01004. 輸出過程輸出過程o(t)的概率分布的概率分布 從原理上看，在已知輸入過程分布的情況下，通過下式，即 由于i(t)已假設是高斯型的，所以：1、在任一時刻的每項i(t-k)h(k)k都是一個高斯隨機變量。因此，輸出過程在任一時刻得到的每一隨機變量，都是無限多個高斯隨機變量之和。由概率論得知，這個“和”的隨機變量也是高斯隨機變量。2、這就證明，高斯過程經過線性系統后其輸出過程仍為高斯過程。更一般地說，高斯過程經線性變換后的過程仍為高斯

48、過程。3、但要注意，由于線性系統的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數字特征已經改變了。 2.5窄帶隨機過程窄帶隨機過程 隨機過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統的輸出，即是窄帶過程。所謂窄帶系統，是指其通帶寬度所謂窄帶系統，是指其通帶寬度ffcffc，且，且f fc c遠離零遠離零頻率的系統頻率的系統。實際中，大多數通信系統都是窄帶型的，通過窄帶系統的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲又是隨機的，則稱它們為窄帶隨機過程。如用示波器觀察一個實現的波形，則如圖2 - 6(b)所示，它是一個頻率近似為fc，包絡和相位隨機緩變的正弦波。 圖2-6 窄帶過程的頻譜和波形示意 fcOS( f )

49、fffcf(a)tOS( f )緩慢變化的包絡a(t)頻率近似為 fc(b) 因此，窄帶隨機過程(t)可用下式表示: (t)=a(t) cosct+(t), a(t)0 (2.5 - 1) 等價式為 (t)=c(t)cosct-s(t)sinct (2.5 - 2) 其中c(t)=a(t)cos(t) (2.5 - 3) s(t)=a(t) sin(t) (2.5 - 4) 式中, a(t)及(t)分別是(t)的隨機包絡和隨機相位， c(t)及s(t)分別稱為(t)的同相分 量和正交分量， 它們也是隨機過程， 顯然它們的變化相對于載波cosct的變化要緩慢得多。 由式（2.5 - 1）至(2.

50、5 - 4)看出，(t)的統計特性可由a(t)，(t)或c(t),s(t)的統計特性確定。反之，如果已知(t)的統計特性則可確定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的統計特性。 2.5.1同相和正交分量的統計特性同相和正交分量的統計特性 設窄帶過程(t)是平穩高斯窄帶過程，且均值為零， 方差為2。下面將證明它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是零均值的平穩高斯過程，而且與(t)具有相同的方差。 1. 數數學期望學期望 對式（2.5 - 2）求數學期望:E(t)=Ec(t)cosct-Es(t)sinct (2.5 - 5)可得 Ec(t)=0 Es(t)=0 (2.5 - 6) 2. 自

51、相關函數自相關函數 R(t, t+)=E(t)(t+) =Ec(t)cosct-s(t) sinct c(t+)cosc(t+)-s(t+)sinc(t+) =Rc(t, t+) cosct cosc(t+)-Rcs(t, t+) cosctsinc(t+) -Rsc(t, t+) sinctcosc(t+)+Rs(t, t+) sinctsinc(t+) 式中Rc(t, t+)=Ec(t)c(t+) Rcs(t, t+)=Ec(t)s(t+) Rsc(t, t+)=Es(t)c(t+) Rs(t, t+)=Es(t)s(t+) 因為(t)是平穩的， 故有 R(t, t+)=R() 這就要求式

52、（2.5 - 7）的右邊也應該與t無關， 而僅與時間間隔有關。 若取使sinct=0 的所有t值，則式（2.5 - 7）應變為 R()=Rc(t, t+) cosc-Rcs(t, t+)sinc (2.5 - 8) 這時，顯然應有 Rc(t, t+)=Rc() Rcs(t, t+)=Rcs()所以，式（2.5 - 8）變為 R()=Rc()cosc-Rcs() sinc (2.5 - 9)再取使cosct=0的所有t值，同理有 R()=Rs()cosc+Rsc()sinc (2.5 - 10) 其中應有 Rs(t, t+)=Rs() Rsc(t, t+)=Rsc()由以上的數學期望和自相關函數

53、分析可知， 如果窄帶過程(t)是平穩的，則c(t)與s(t)也必將是平穩的。 進一步分析， 式（2.5 - 9）和式（2.5 - 10）應同時成立， 故有 Rc()=Rs() (2.5 - 11) Rcs()=-Rsc() (2.5 - 12)可見，同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相關函數，而且根據互相關函數的性質，應有 Rcs()=Rsc(-)將上式代入式（2.5 - 12），可得 Rsc()=-Rsc(-) (2.5 - 13)同理可推得Rcs()=-Rcs(-) (2.5 - 14) 式（2.5 - 13）、（2.5 - 14）說明，c(t)、s(t)的互相關函數Rsc()

54、、Rcs()都是的奇函數，在=0時 Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15)于是， 由式（2.5 - 9）及式（2.5 - 10）得到 Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15) 于是，由式（2.5 - 9）及式（2.5 - 10）得到 R(0)=Rc(0)=Rs(0) (2.5 - 16) 即2=2c=2s (2.5 - 17)這表明(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差（因為均值為0）。 另外，因為(t)是平穩的，所以(t)在任意時刻的取值都是服從高斯分布的隨機變量， 故在式（2.5 - 2）中有 取t=t1=0 時，(t1)=c(t1) 取t=t2=32

55、c時，(t2)=s(t2) 所以c(t1)，s(t2)也是高斯隨機變量，從而c(t)、 s(t)也是高斯隨機過程。又根據式（2.5 - 15）可知，c(t)、 s(t)在同一時刻的取值是互不相關的隨機變量， 因而它們還是統計獨立的。 上所述，我們得到一個重要結論：一個均值為零的窄帶平穩高斯過程(t)，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是平穩高斯過程， 而且均值都為零，方差也相同。此外， 在同一時刻上得到的c和s是互不相關的或統計獨立的。 2.5.2包絡和相位的統計特性包絡和相位的統計特性 由上面的分析可知，c和s的聯合概率密度函數為 f(c, s)=f(c)f(s)= 2exp212222c 設a,的聯合概率密度函數為f(a, )，則利用概率論知識， 有 f(a, )=f(c, s) ,(,(asc 根據式（2.5 - 3）和式（2.5 - 4）在t時刻隨機變量之間的關系 c=acos s=asin 得到 ),(),(ascacascsCos sin-asin acos =于是f(a,) =af(c, s)=2)sin()cos(exp2222aaa2(exp2222aa 注意，這里a0, 而在(0，2)內取值。 再利用