1、2.4.2 2.4.2 平面向量數量積的坐標平面向量數量積的坐標 表示、模、夾角表示、模、夾角 2.4 2.4 平面向量的數量積平面向量的數量積 問題提出問題提出1.1.向量向量a與與b的數量積的含義是什么？的數量積的含義是什么？ ab=| |a|b| |cos. 其中其中為向量為向量a與與b的夾角的夾角 2. 2.向量的數量積具有哪些運算性質？向量的數量積具有哪些運算性質？ （1）ab ab0(a0，b0)；（2）a2a2；（3）abba；（4）(a)b(ab)a(b)；（5）(ab)cacbc；（6）abab.3.3.平面向量的表示方法有幾何法和坐標平面向量的表示方法有幾何法和坐標法，向量

2、的表示形式不同，對其運算的法，向量的表示形式不同，對其運算的表示方式也會改變表示方式也會改變. .向量的坐標表示，對向量的坐標表示，對向量的加、減、數乘運算帶來了很大的向量的加、減、數乘運算帶來了很大的方便方便. .若已知向量若已知向量a與與b的坐標，則其數量的坐標，則其數量積是唯一確定的，因此，如何用坐標表積是唯一確定的，因此，如何用坐標表示向量的數量積就成為我們需要研究的示向量的數量積就成為我們需要研究的課題課題. . 探究（一）：探究（一）：平面向量數量積的坐標表示平面向量數量積的坐標表示 思考思考1 1：設設i、j是分別與是分別與x x軸、軸、y y軸同向的軸同向的兩個單位向量，若兩個

3、非零向量兩個單位向量，若兩個非零向量a(x(x1 1，y y1 1),),b(x(x2 2，y y2 2) )，則向量，則向量a與與b用用i、j分別分別如何表示？如何表示？ax x1 1iy y1 1j，bx x2 2iy y2 2j.思考思考2 2：對于上述向量對于上述向量i、j，則，則i2，j2，ij分別等于分別等于什么？什么？ i2=1 1，j2=1 1，ij=0. 0. 思考思考3 3：根據數量積的運算性質，根據數量積的運算性質，ab等等于什么？于什么？ 思考思考4 4：若若a(x(x1 1，y y1 1),),b(x(x2 2，y y2 2) )，則，則abx x1 1x x2 2y

4、 y1 1y y2 2，這就是平面向量數量，這就是平面向量數量積的坐標表示積的坐標表示. .你能用文字描述這一結論你能用文字描述這一結論嗎？嗎？ abx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2 兩個向量的數量積等于它們對應坐標的兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和乘積的和.思考思考5 5：如何利用數量積的坐標表示證明如何利用數量積的坐標表示證明(ab)cacbc？ 探究（二）：探究（二）：向量的模和夾角的坐標表示向量的模和夾角的坐標表示 思考思考1 1：設向量設向量a(x(x，y)y)，利用數量積，利用數量積的坐標表示，的坐標表示，a等于什么？等于什么？ 思考思考2 2：如果表示向

5、量如果表示向量a的有向線段的起點的有向線段的起點和終點的坐標分別為和終點的坐標分別為(x(x1 1，y y1 1), (x), (x2 2，y y2 2) )，那么向量那么向量a的坐標如何表示？的坐標如何表示？a等于什等于什么？么？ a 22xy=+a(x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1) )； a 212212)()(yyxx思考思考3 3：設向量設向量a(x(x1 1，y y1 1),),b(x(x2 2，y y2 2) )，若若ab，則，則x x1 1，y y1 1，x x2 2，y y2 2之間的關系如何？之間的關系如何？反之成立嗎？反之成立嗎？ 思考思考4 4：設設a

6、、b是兩個非零向量，其夾角是兩個非零向量，其夾角為為，若，若a(x(x1 1，y y1 1),),b(x(x2 2，y y2 2) )，那，那么么coscos如何用坐標表示？如何用坐標表示？ ab x x1 1x x2 2y y1 1y y2 20 0. 222221212121cosyxyxyyxxbaba例例1 1 已知向量已知向量a(4(4，3),3),b( (1 1，2), 2), 求求: : (1) (1) ab； (2) (2) (a2b)(ab)； (3) |(3) |a| |2 24 4ab. .理論遷移理論遷移(1) 2(1) 2；（；（2 2）1717；（；（3 3）3.

7、3. 例例2 2 已知點已知點A A（1 1，2 2）,B,B（2 2，3 3）, ,C(C(2 2，5)5)，試判斷，試判斷ABCABC的形狀，并給的形狀，并給出證明出證明. . ABCABC是直角三角形是直角三角形 例例3 3 已知向量已知向量a(5(5，7)7)，b ( (6 6，4)4)，求向量，求向量a 與與b的的夾角夾角（精確到（精確到1 1）. . coscos0.030.03，9292. . 例例4 4 已知向量已知向量a(，2)2)，b( (3 3，5)5)，若向量，若向量a 與與b的夾角為鈍角，的夾角為鈍角，求求的取值范圍的取值范圍. . 例例5 5 已知已知b(1(1，1)1)，ab3 3，| |ab| |2 2，求，求| |a|. |. 10 66(, )( ,)355-+ U2 2小結作業小結作業2.2.若非零向量若非零向量a 與與b的夾角為銳角（鈍的夾角為銳角（鈍角），則角），則ab0 0（0 0），反之不成立），反之不成立. . 1 1. .ab ab 二者有著本質區別二者有著本質區別. . 01221yxyx02121yyxx3.3.向量的坐標運算溝通了向量與解析幾向量的坐標運算溝通了向量與解析幾何的內在聯系，解析幾何中與角度、距何的內在聯系，解析幾何中與角度、距離、平行、垂直有關的問題，可以考慮離、平行、垂直有關的問題，