1、第五章數列學習要求：1. 了解數列和其通項公式、前 n項和的概念2. 理解等差數列、等差中項的概念，會用等差數列的通項公式、前 n項和公式解決有關問題.3. 理解等比數列、等比中項的概念，會用等比數列的通項公式、前 n項和公式解決有關問題 .一、數列的概念1. 定義按照一定順序排列的一列數，數列里的每一個數叫做這個數列的項，各項依次叫做這個數列的第一項，第二項，第 n項，第一項也叫首項 .一般地，常用 a1，a2，a3， an來表示數列， 其中 an 是數列的第 n項，又叫做數列的通項 . 數列記為an例如 , 數列1,3,5,7,2 n1,第 1項是 1，第 2項是 3，第 3項是 5，第

2、n項是 2n1，數列記作2n12. 數列的通項公式數列 an 的第 n項 an 與項數 n之間的關系，如果可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式.例如，數列 1,3,5,7,2 n1,通項公式是 an2n1.3. 數列的前 n項和對于數列 a1, a2 , a3 , an稱 a1a2a3an為這個數列的前n項和，記作 Sn .即 Sna1a2a3an4. 數列 an 的 an 與 Sn的關系例 1 已知數列 an 的前 n項和 Sn 3n2 2n，求數列 an 的通項公式 an解析 : 由 S 3n22n得n所以，當 n2時3 12當 n 1 , a1S1211,滿足公式a

3、n65n所以數列的通項公式為 an 6n 5 歷年試題（ 2014 年試題）2. 已知數列an 的前 n項和 Snn22n，求（ I ） an 的前三項；（ II ）數列 an 的通項公式解析 ：（ I ）（II）當 n 2,anSnSn 1n22n( n1)22(n 1) 2n 3當 n1時 a11,滿足 an2n 3所以數列的通項公式為an2n3（ 2007 年試題）已知數列 an前 n 項和 S n(2n 1)n（ I ）求該數列的通項公式；（ II ）判斷 39 是該數列的第幾項 .解:（ I ）當 n 2,anSnSn 12n2n2(n 1)2(n 1) 4n 1當 n1時 a13,

4、滿足 an4n 1所以數列的通項公式為an4n1(II) 設 39 是 該 數 列 的 第 n 項 ， 則39 4n 1, n 10，即 39 是該數列的第 10 項二、等差數列1. 等差數列的定義如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于一個常數，這個數列就叫等差數列，這個常數叫做公差， 記為 d ，即 danan 1等差數列的一般形式為2. 等差數列的通項公式設 an 是首項為 a1，公差為 d 的等差數列， 則這個數列的通項公式為3. 等差數列的前 n項和公式設 an 是首項為 a1，公差為 d 的等差數列， Sn 為其前 n項和，則或 Sna1 n(n 1)dn124. 等差

5、中項如果 A, B,C 稱等差數列， B就稱為 A與 C 的等差中項，則 BAC2注：一般證明一個數列是等差數列時，經常是按它們的定義證明an 1and 為常量5. 等差數列的性質（ 1）在等差數列中，間隔相同抽出的項來按照原來的順序組成新的數列仍是等差數列 .對于等差數列 a1, a2 , a3 , an數列 a , a , a , a也是等差數列，數列1 352n 1a2 ,a4 , a6 , a2n也是等差數列數列 a1 , a5 , a9 , a13也是等差數列例 2 如在等差數列an 中，已知 a24,a79，求 a12解 析 ： a2 , a7 , a12 構 成 等 差 數 列

6、， 因 為a7a2945，所以 a12a759514（2）對等差數列an ，若 m,n,s,t 均為正整數，且 mnst ，則 amanasat如a1a9a2a8a3a7a4a62a5例 3 在等差數列an中，已知 a2a8 10，求a5解析：因為 a2aaa ，即 2aaa ,所855528(a2a8 )105以， a522例 4 設 an為等差數列 , 其中 a59,a1539，則 a10（ A）24 （B）127 （C） 30 （D）33解析 : 解法一由等差數列an 的通項公式ana1(n1)d知a1 4d 9 a1 14d 39解法二an 為等差數列， 所以 a5 , a10 , a

7、15 也是等差數列，所以， a10 是 a5 與 a15 的等差中項，例 5 在等差數列 an 中，如果 a22,a3 5，則S10_解析： da3a25 2 3，由 a2a1d ,得a1a2d231例 6等差數列 an中，若 a4a5 a690則其前 9項的和 S9（）A.300B.270C. 540D.135解析：an 是等差數列，所以 a4a6 2a5 ，由a4 a5a690得 3a590， a530由 Sn(a1an ) n得， S9(a1a9 ) 9，22又 a1 a9 2a5 ，所以，選 B歷年試題（ 2013 年試題）等差數列 an 中，若 a12,a36，則 a2A.3 B.4

8、 C.8D. 12解析： a2a1a3 26242（ 2012 年試題）已知一個等差數列的首項為1，公差為 3，那么該數列的前 5項和為（）A. 35 B.30C. 20D.10解析：由 Sna1 n(n1)d 得n12選 A（ 2011 年試題）已知等差數列an 的首項與公差相等，an的前 n項的和記作Sn ，且 S20840.（ ） 求數列an 的首項 a1及通項公式；（）數列an 的前多少項的和等于84?解析 :（ ） 已知等差數列an 的公差 da1又S20a20 (20 1) d20a 190d210a201211即 210a1840，所以， a14又 da1，即 d4，所以，ana

9、1(n1)d4 (n1)44n即數列 a的通項公式為 an4nn（ ）設Sn84， 又Sn(a1an ) n(4 4n) n2n22n，即 2n2222n84，解得 n6,n7（舍去）所以數列an 的前6項的和等于 84.（ 2009 年試題）面積為6 的直角三角形三邊的長由小到大成等差數列，公差為 d ，求 d 的值 ;在以最短邊的長為首項， 公差為 d 的等差數列中， 102 為第幾項？解析 : （ I ）由已知條件可設直角三角形的邊長分別為ad, a, ad,其中a0,d0,則 (ad)2a2(ad )2 ，得a4d三邊長分別為 3d,4 d,5d故三角形三邊長分別是3,4,5 . 公差

10、 d1(II) 以 3 為首項，1 為公差的等差數列通項公式為故第 100項為 102（ 2008 年試題）已知等差數列an中,a19,a3a80. 求數列 an的通項公式 ; 當 n為何值時 ,數列 an 的前 n項和 Sn 取得最大值 ,并求該最大值 .解析:設等差數列an的公差為 d,由已知a3a80, 得 2a19d0.又已知 a19,所以 d2.數列 an的通項公式為 a9 2 n1,即nan112n. 解法一：數列an的前 n項和Sn9112nn210nn225.5n2當 n5時， Sn 取得最大值25.112 ,令解 法二： 由 知annan112n0n11,所以數列前5 項的和

11、2最大，最大值為S5a54 d595 4225.5122三、等比數列1. 等比數列的定義如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于一個常數，這個數列就叫等比數列，這個常數叫做公比，記為anq ，即 qan 1等比數列的一般形式為2. 等比數列的通項公式設 an 是首項為 a1，公比為 q 的等比數列，則這個數列的通項公式為3. 等比數列的前 n項和公式設 an 是首項為 a1，公比為 q的等比數列， Sn 為其前 n項和，則或 Sna1an q (q1)1q4. 等比中項如果 A, B,C 稱等比數列， B就稱為 A與 C 的等比中項，則 B2AC 或 BAC注：一般證明一個數列是等

12、比數列時，經常是按它們的定義證明an 1q為常量an5. 等比數列的性質（1）在等比數列中，間隔相同抽出的項來按照原來的順序組成新的數列仍是等比數列.對于等比數列 a1, a2 , a3 , an數列 a , a , a , a也是等比數列，數列1 352n 1a2 ,a4 , a6 , a2n也是等比數列數列 a1 , a5 , a9 , a13也是等比數列例 7 如在等比數列an 中 , a26,a424, 則a6（）A. 8B. 24C. 96D. 384解 析 ： a , a ,a6是等比數列，因為24a6a4244，a4a26a64a4 42496，選 C（2）對等比數列an ，若

13、m,n,s,t 均為正整數，且 m n st ，則 am anas at如 a a a2a a a7a4a a 2198365例如在等比數列an 中，已知 a1 a516，求 a3解析： a 2aa16，即 a16 43153例8 設等比數列an的各 項都為正數，若a3 1,a59，則公比 q=（A）3（B）2（C） -2（D）-3a1qn 1知解析 : 由等比數列an 的通項公式 an例 9 設等比數列an 的公比 q=2，且 a2 a48則a1 a7（A）8（B）16（C） 32（D）64解析 : 由等比數列 an 的通項公式ana1qn 1知例 10在 等 比 數 列 an中 ， 若a3

14、2S25,a42S35 ， 則an的 公 比q _解析：a4a32S35 (2S25) 2(S3S2 )， 又S3S2a3 ，所以 a4a32a3，即 a43a3 ,qa43，填3a3例 11 已知等比數列an中， a210,a320，那么它的前 5項和 S5_解 析 ： 由 a2 10,a320，可求得公比qa3202，從而 a1a210a210q52所以 S5a1 (1 q5 ) 5 (1 25 )155，填 1551 q12例 12已知等比數列an的各項都為正數，a12,前 3 項的和為 14（I ）求該數列的通項公式；（II ）設 bnlog 2 an ,求數列 bn的前 20項的和解

15、析 :（I ）設等比數列an 的公比為 q, 則22q2q214所以 q2q 60, q2,q231(舍去)所以數列的通項公式為an2n（II ） bnlog2 anlog 2 2nn則例 13 設 an 為等差數列 , 且公差 d 為正數 ,已知 a2a3a415,又a2 , a31,a4 成等比數列解析 :由 an 為等差數列知由此得歷年試題（ 2015 年試題）若等比數列an 的公比為 3, a49,則 a1A.1B.193C.3D.27（ 2014 年試題）等 比 數 列an中 , 若 a28 , 公 比 為 14a5_（2015 年試題）, 則已 知 等 差 數列 a的公 差 d0,

16、 a1，且n12a1,a2 , a5 成等比數列（I ）求數列an 的通項公式（II ）若數列 an 的前項和 Sn50，求 n.（2013 年試題）已 知 公 比 為 q 的 等 比 數 列an中 ,a24,a532（ I ）求 q；（ II ）求 an 的前 6項和 S6解: （I ）由已知得 a q3a ，即 4q332，解得 q225（II） aa q 1212（ 2012 年試題）已知等比數列an中,a1a2a327（I ）求 a ；2（ II ）若 an的公比 q1,且 aaa13，123求 an 的前 5項和解析 :（I ）因為 an為等比數列，所以 a1a3a22 ，又 a1a2a3 27，可得 a23 27，所以 a23（II）由 a1a2a313，a23得 a1 a310，由 a a a27,a3得 a a9，123213解方程組a1 a310，得a1或9a1a391 a1a11a19由 a（舍去）3，得或12q3q3所以 an的前 5項和 S1(1 35)121513（ 2010 年試題）已知數列1an 中， a12,an 12 an（ 1）求數列 an 的通項公式（