1、 一元三次函數的圖像和性質三次函數的圖像及性質形如的函數叫做三次函數，其中是自變量，是常數。它具有以下性質：1、圖像、單調區間與極值三次函數求導以后是二次函數，它的零點個數決定了三次函數的極值情況與單調區間，下面是三次函數及其對應的導函數全部共六種圖像：2、零點個數若方程的判別式，則在R上是單調函數，無極值，值域為，故有唯一的零點。若方程的判別式，方程有兩個不等的實根、，它們是函數的極值點，則：（i）當時，有一個零點；（ii）當時，有兩個零點；（iii）當時，有三個零點。3、對稱中心三次函數一定有對稱中心。其對稱中心的橫坐標為。（三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖象的對稱中

2、心在其導函數f(x)=3ax2+2bx+c的圖象對稱軸上若三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)有極值，那么它的對稱中心是兩個極值點的中點）4、過平面內一點能作三次函數圖像切線的條數 三次函數的三大性質初探 隨著導數內容進入新教材，函數的研究范圍也隨之擴大，用導數的方法研究三次函數的性質，不僅方便實用，而且三次函數的性質變得十分明朗，本文給出三次函數的三大主要性質.1 單調性 三次函數,(1) 若，則在上為增函數；(2) 若，則在和上為增函數，在上為減函數，其中. 證明 , =，(1) 當 即時，在 R上恒成立， 即在為增函數. (2) 當 即時，解方程，得 或 在和上為增函數.在

3、上為減函數.由上易知以下結論: 三次函數,(1) 若，則在R上無極值；(2) 若，則在R上有兩個極值；且在處取得極大值，在處取得極小值.2 根的性質三次函數(1) 若，則恰有一個實根；(2) 若,且，則恰有一個實根；(3) 若,且，則有兩個不相等的實根；(4) 若,且，則有三個不相等的實根.證明 (1)(2)含有一個實根的充要條件是曲線與X軸只相交一次，即在R上為單調函數或兩極值同號，所以或，且.(3)有兩個相異實根的充要條件是曲線與X軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以，且.(4)有三個不相等的實根的充要條件是曲線與X軸有三個公共點，即有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號.所以且. 由上易

4、得以下結論：三次函數在上恒正的充要條件是(mx2),或且(m<x2) .3 對稱性三次函數的圖象關于點對稱，并且在處取得最小值，其圖象關于直線對稱.證1 易知是奇函數，圖象關于原點對稱，則關于點對稱.， 當時，取得最小值，顯然圖象關于對稱.證2 設的圖象關于點對稱，任取 圖象上點，則A關于的對稱點也在圖象上,由上又可得以下結論：是可導函數，若的圖象關于點對稱，則圖象關于直線對稱.證明 的圖象關于對稱，則 圖象關于直線對稱. 若圖象關于直線對稱，則圖象關于點對稱.證明 圖象關于直線對稱，則， ， 圖象關于點對稱.掌握上面的研究方法和三次函數的三大性質，對于解決有關三次函數的問題是十分有益的

5、. 【常用結論】1 （重點）三次函數的單調性由a來決定；b、c決定函數有沒有極值。d確定函數圖象與y軸交點。2 （重點）函數f(x)的極值由導函數f(x)=3ax2+2bx+c的判別式決定：0無極值，單調區間為R0既有極大值，又有極小值。有三個單調區間。3（了解）三次函數圖象的對稱性：三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖象是中心對稱圖形，其對稱中心是（）（三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖象經過平移后能得到奇函數圖象，可以用待定系數法求得）三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖象的對稱中心在其導函數f(x)=3ax2+2bx+c的圖象對稱軸

6、上若三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)有極值，那么它的對稱中心是兩個極值點的中點【典例精析】例題.設aR,討論關于x的方程x3+3x2-a=0的相異的實根的個數？【實戰演練】1.若函數f(x)=ax3+x恰有三個單調區間，則實數a的取值范圍是 。2.函數f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有極大值又有極小值，則a的取值范圍是 .3.已知函數y=f(x)=x3+px2+qx的圖象與x軸切于非原點的一點，且y極小=-4,那么p= ,q= .4已知函數f(x)=-x2+8x與g(x)=6lnx+m的圖象有且只有兩個不同的交點，求實數m的值？5.已知f(x)=x3-3x,過點

7、A(1,m)(m-2)可作曲線y=f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍？6.設函數f(x)=x3-6x+5,xR.（1）求函數f(x)的單調區間和極值（2）若關于x的方程f(x)=a有三個不同的實根，求實數a的取值范圍.（3）已知當x(1,+)時, f(x)k(x-1)恒成立,求實數k的取值范圍.三次函數與導數例題與練習答案例1.(14全國大綱卷文21,滿分12分）函數.（1）討論函數的單調性；（2）若函數在區間（1，2）是增函數，求的取值范圍.解：（），的判別式=36（1-a）.（）當a1時，0，則恒成立，且當且僅當，故此時在R上是增函數.（）當且，時，有兩個根：，若，則, 當或時，故在上

8、是增函數；當時，故在上是減函數；若，則當或時，故在和上是減函數；當時，故在上是增函數；（）當 且時, ,所以當時，在區間（1，2）是增函數.當時， 在區間（1,2）是增函數，當且僅當且，解得.綜上，的取值范圍是.例2.(14安徽文數 20)（本小題滿分13分）設函數，其中。（1）討論在其定義域上的單調性；（1） 當時，求取得最大值和最小值時的的值.（）的定義域為，令，得所以當或時，；當時，故在內單調遞減，在內單調遞增（）因為，所以（）當時，由（）知，在0，1上單調遞增，所以在和處分別取得最小值和最大值（）當時，由（）知，在0，上單調遞增，在，1上單調遞減，因此在處取得最大值又，所以當時，在處取

9、得最小值；當時，在和處同時取得最小值；當時，在處取得最小值。例4.（14年天津文科19,滿分14分）已知函數（1） 求的單調區間和極值；（2）若對于任意的，都存在，使得，求的取值范圍解：（）由已知，有令，解得或當變化時，的變化情況如下表：0-0+0-0所以，的單調遞增區間是；單調遞減區間是，當時，有極小值，且極小值；當時，有極大值，且極大值（）解：由及（）知，當時，；當時，設集合，集合，則“對于任意的，都存在，使得”等價于，顯然，.下面分三種情況討論：（1）當，即時，由可知，而，所以不是的子集。（2）當，即時，有，且此時在上單調遞減，故，因而；由，有在上的取值范圍包含，則所以，（3）當，即時，

10、有，且此時在上單調遞減，故，所以不是的子集。綜上，的取值范圍是課后練習、作業1.設.(1)若在上存在單調遞增區間,求的取值范圍；(2)當時，在上的最小值為，求在該區間上的最大值.解：（1）已知，函數在上存在單調遞增區間，即導函數在上存在函數值大于零的部分（2） 已知, 在上取到最小值，而的圖像開口向下，且對軸軸為，則必有一點使得此時函數在上單調遞增，在上單調遞減，此時，由，所以函數2已知函數，（1）討論函數的單調區間；（2）設函數在區間內是減函數，求的取值范圍4解：（1）求導：當時，在上遞增當，求得兩根為即在遞增，遞減，遞增（2），且解得：3. 設函數（）當求曲線處的切線斜率（）求函數的單調區

11、間與極值；【解析】解：(09天津文21)（本小題滿分12分）（1）w.w.w.k.s當所以曲線處的切線斜率為1.（2）解：，令，得到因為當x變化時，的變化情況如下表：+0-0+極小值極大值在和內減函數，在內增函數。函數在處取得極大值，且=函數在處取得極小值，且=（3）解：由題設， 所以方程=0由兩個相異的實根，故，且，解得因為若，而，不合題意若則對任意的有則又，所以函數在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是,解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 綜上，m的取值范圍是4.已知函數，若在上的最小值記為。（1）求；（2）證明：當時，恒有解：(14浙江文21,15分)（）因為，所以（

12、）當時，若，則，故在上是減函數；若，則，故在上是增函數；所以（）當時，有，則，故在（-11）上是減函數，所以綜上，（）證明：令，（）當時，若，得，則在上是增函數，所以在設的最大值是，且，所以，故若，得，則在上是減函數，所以在設的最大值是令，則知在上是增函數，所以，即，故（）當時，故，得此時在（-1，1）上是減函數，因此在-1，1上的最大值是，故綜上，當時，恒有5. (14廣東文數21) 已知函數（1）求函數的單調區間；（2）當時，試討論是否存在，使得解：（1），方程的判別式，所以，當時，此時在上為增函數；當時，方程的兩根為當時，此時為增函數；當時，此時為減函數；當時，此時為增函數；綜上時，在上

13、為增函數；當時，的單調遞增區間為，的單調遞減區間為（2）所以，若存在，使得，必須在上有解，方程的兩根為，因為，所以只能是依題意，即所以，即又由，得，故欲使滿足題意的存在，則所以，當時，存在唯一的滿足當時，不存在使得6.已知函數.(1)若，求的單調區間；(2)若在單調增加，在單調減少，證明:6.（21）解：(09海南寧夏理21)（本小題滿分12分）（）當時，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當當從而單調減少.()由從而因為所以 將右邊展開，與左邊比較系數得，故又由此可得于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7.設函數（1）對于任意實數，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅有一個實根，求的取值范圍解：(1) , 因為, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值為 (2) 因為 當時, ;當時, ;當時, ; 所以 當時,取極大值 ; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當時,取極小值 ; 故當 或時,