1、錯位相減法求和專項錯位相減法求和適用于an'bn型數列，其中an,bn分別是等差數列和等比數列，在應用過程中要注意：項的對應需正確；相減后應用等比數列求和部分的項數為(n-1)項；若等比數列部分的公比為常數，要討論是否為11.已知二次函數的圖象經過坐標原點，其導函數/:I “亠,數列的前項和為 ，點均在函數：=y：/.：的圖象上(I)求數列的通項公式;(n)設，,是數列 的前項和，求解析考察專題：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;難度：一般答案(I)由于二次函數-的圖象經過坐標原點，則設,又點均在函數的圖象上，二當心時,©、=J ；： ； L 5 T又忙：=.：=

2、乜，適合上式,I（7 分）（n）由（i）知- 2 - :' 2 - ： | ；： : 2 ：'-'I+（2« + l）"kl ,上面兩式相減得=3 21 +2 （21 +23 十4r）-（2打+ 】卜2*4屮一才丨,: .1=2整理得：，2.已知數列的各項均為正數，是數列45 =;/ 2 4加-3斤JTRT（14 分）的前n項和，且（1） 求數列的通項公式；（2）二知二 一-答案查看解析解析解出ai = 3,又 4S n = a n? + 2a n 32當 -時 4Sn -1 =+ 2a n-1 3他7 + «叫-叫J,即丐二+ j)=o.

3、 - :.”-'"叫2( 一)二數列也“是以3為首項，2為公差的等差數列，6分二心=3 + 2(n -1) = 2/? + !Tti =3x2' +5x2?+L +(切1).又.：匚:-.:-一Ta =-3x2l-2(22 +21+A +2*) + (2n+l)2"4-'+(2卄】)2曲12分3. (2013年四川成都市高新區高三4月月考，19,12分)設函數' ： 11 1'，數列：前項和，：；：“二二；-匕斥.二，數列，滿足沢二U.(I)求數列：，的通項公式；(n)設數列屮廣 的前 項和為，數列殖的前；項和為：，證明：答案(i 由

4、'，得'kJ是以;為公比的等比數列，故叫=蘆|.用錯位相減法可求得. ? 比 丁 二.(注：此題用到了不等式：I ，I 進行放大.)4. 已知等差數列'中，； 是與的等比中項.fa 3(I)求數列的通項公式：(n)若'.求數列' 的前廠項和解析(I)因為數列'是等差數列，是 與 的等比中項.所以 '又因為，設公差為，U ''''' 1 , 所以.門 "'1',解得，或 ，當宀2時，坷二2 , % =八(沖-1)，2 =加；當d -0時，毎二4 .所以或.(6分)(n)因為&

5、#39;，所以'，所以所以'，所以二丁 1- - I :-： 2 ' I1 一？-匕=2(2° + 2' + 2:+-+2ff'l-w2tt) = 2 -n-2'兩式相減得,所以'.(13 分)5. 已知數列： 的前I：項和' ,','J ',等差數列：中= S ,且公差心2 .(I)求數列、；的通項公式；(n)是否存在正整數'，使得'''： 若存在，求出“的最小值，若不存在，說明理由.u. L £? . = 2S + L 當h 工 2 u 虬=25 .

6、+ I 亠/口解析(I)時，相減得：%=她Z ")& 6 = 2坤 4 “ 二処二地，人?'數列： 是以1為首項，3為公比的等比數列又 h、= h、碎 d =, 二勺二 m 二丿打=2m +(6分)令-處叮"存沁"¥宥“ 4細一恥汀丄“：.2：冷嚴37； =3x3*5x3J+7x31+L +(2ff-l)x3"-'+(2/1+1)3*一得:-27； =3xl + 2p + 32+L +5fl-,)-(2» + 1)x3fl二匚=V，一 o> 伽,即 3" >60 ,當 n<3，亍弋6

7、0 ,當/;>4。3" >60的最小正整數為 4.(12分)6. 數列：滿足77二Z二,等比數列：滿足"d二込.(I)求數列 ，的通項公式；(n)設，求數列"'的前*項和.解析(I)由，所以數列是等差數列，又，所以：21; -)比R由' 二“亞二込，所以,，所以，,即卑斗，打=¥所以(6分)(n)因為 ，所以',則-所以I匚 匸匚匸、:：二兩式相減的：',所以'廠.（12分）7. 已知數列滿足，其中.為數列 的前項和.（I ）求 的通項公式；（n）若數列 滿足：（），求 的前項和公式 解析I），一得，又

8、時,m，晁宀中.（5分）證丁i 1： I?兩式相減得一(13 分)8. 設d為非零實數,and+2 d2+ +(n-1)dn-1 +n C；dn(nN*).(I )寫出ai, a2, a3并判斷On是否為等比數列若是，給出證明；若不是，說明理由；(n )設 bn=nda n(n N*),求數列bn的前 n 項和 Sn.答案(I )由已知可得 ai=d, a 2=d(1+d) , a 3=d(1+d)2.scddtd+i)nt由此可見，當dz-1時，an是以d為首項，d+1為公比的等比數列；當d=-1時,a1=-1, a n=0(n > 2)，此時an不是等比數列.(7分)(n )由(I

9、)可知，an=d(d+1)n-1,從而 bn=nd 2(d+1) n-1 ,Sn=d 21+2(d+1) +3(d+1)2+ +(n-1) (d+1)n-2 + n(d+1)n-1.當 d=-1 時,Sn=d 2=1.當dz-1時，式兩邊同乘d+1得(d+1) S n=d2(d+1) +2(d+1)2+ +(n-1) (d+1) n-1+ n(d+1) n.，式相減可得-dSn=d 21+(d+1) +(d+1)2+ +(d+1) n-1-n(d+1) n=d 2魁出陽)"|.化簡即得 Sn=(d+1) n(nd-1) +1.綜上,Sn=(d+1) n(nd-1) +1. (12 分

10、)9. 已知數列an滿足 a1=0, a 2=2,且對任意 m, n N *都有 a2m-1 +a 2n-1 =2a m+n-1 +2(m-n) 2(I )求 a3, a 5;(n )設 bn=a 2n+1 -a 2n-1 (n N*),證明:bn是等差數列；(川)設cn=(a n+1 -an) q n-1 (q豐0, n令N 求數列cn的前n項和Sn.答案(I 由題意，令 m=2, n=1 可得 a3=2a 2-a 1+2=6.再令 m=3, n=1 可得 a5=2a 3-a1+8=20. (2 分)(n )證明：當n N *時，由已知(以n+2代替m)可得a2n+3 +a2n-1 =2a

11、2n+1 +8.于是a 2(n+1) +1 -a 2(n+1) -1 -(a 2n+1 -a 2n-1 )=8,即 b n+1 -b n=8.所以，數列bn是公差為8的等差數列.(5分)(川)由(I )、( n 的解答可知bn是首項b1=a3-a1=6,公差為8的等差數列.則 bn =8n-2,即 a2n+i -a2n-i =8n-2.另由已知(令m=1)可得,an=2-(n-1) 2那么,a n+1 -a n =2-2n+仁Bi)2-2n+仁2n.于是Cn=2nqn-1當 q=1 時，Sn=2+4+6+ +2n=n(n+1).當 qMl 時,Sn=2 q+4 c+6 #+ +2n nq1 .

12、兩邊同乘q可得qSn=2 &+4 q+6 3+ +2(n-1) n-1q+2n q.上述兩式相減即得(1-q) S n=2(1+q1+q 2+ +qn-1 ) -2nq方-2nql-(n41) qx,+nq,H1所以Sn=2綜上所述n(n+l)(q-1) Sn上憐沖沖(12 分)10. 已知數列an是公差不為零的等差數列,a1=2,且a2,a4,a8成等比數列(1) 求數列an的通項公式；求數列an "的前n項和.答案(1)設數列an的公差為d(d豐0),由條件可知：(2+3d) 2=(2+d) (2+7d解得 d=2.(4 分)故數列an的通項公式為an=2n(n N*).

13、(6分)(2) 由(1)知an =2n x3n,設數列an 的前n項和為Sn,則 Sn=2 x3+4 x3+6 x3+ +2n x3n,32Sn=2 x3+4 x3+ +(2n -2) x25 +2n x3n+2 ,故-8Sn=2(3 2+34+3 6+ +32n)- 2n X32n+2 ,(8 分)L4I(8»-1>kj+1+9所以數列an.1的前n項和Sn=.(12分)11. 已知等差數列： 滿足込二二心-土、二覚又數列： 中軋=H且(1) 求數列 ，:的通項公式；(2) 若數列 :，:的前"項和分別是S叮7；，且耳=工(2： +耳 求數列詁訃的前”項和'

14、若1;-:對一切正整數-恒成立，求實數，的取值范圍.fa, +2rf = 5,答案(1)設等差數列 5的公差為,則有仁 仆 斗 八工(斫 +4J)-2(cj X解得門，虹產0, 字二工慶f）.數列： 是以 ；為首項，公比為 的等比數列/.Aw=3x3fl-' -3ft(/ier h 4分由可得+ 2/ - IJ=沖233F1-3'迸.扌近亠亡札，-. I ，+Sx3s+（« i）淇 3卄、+押乂（2）得-V*L 宜 1，:. ，1-3：、 I 分0(3) ' 廠扌(亦 Igs 11 #(2“1)>3J1 =9(j + l)x3u>0 ,.當時,取最

15、小值，甌；=當匚宀I時,解得即實數附的取值范圍是 一或冊 I * .14分12.設丄為數列的前"項和，對任意的"弋，都有n *為常數，且'"一山（1）求證：數列L-是等比數列（2）設數列；譏的公比，J '，數列"滿足'':F，求數列"的通項公式；（3）在滿足（2）的條件下，求數列的前凡項和 - 1 u. - Va答案188. （ 1）當一 I時，解得即；心5 i .又嶋為常數，且r',擻列m1,公比為小的等比數列（2 ）由（1）得, ' ,?1. 1kl是首項為2,公差為i的等差數列.22/i1仃T'4-丄百-鞏2Z）（3 ）由（2）知，則；.町二+ 卡2” 'x（2rj*3）+2"x：（2rt-l）21 + 23+25+得=2"11 x（2n-l）-2-21-2M2加1-2分1413.設等差數列an的前n項和為Sn,且S4=4S 2, a2n=2a n+1.(I )求數列an的通項公式(n )設數列bn的前n項和為Tn,且Tn+ -=入(為常數),令Cn=b 2n(n N*),求數列Cn 的前n項和Rn.答案(I設等差數列an的首項為ai,公差為d.由 S4=4S 2, a 2n =2a n + 1 得