1、2021屆湖南省長沙市高三第一次模擬試卷數學理科試）第I卷（共60分）一、選擇題，本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 設復數弓，弓在復平面內的對應點關于實軸對稱，4=1+'，則4弓=<）A.2B.2C.1D.1+z4567X9心1/伽煩,/ZL結束圖二B.m=26=122. 設全集U=R,函數/（x）=lg（lx+ll-l）的定義域為A,集合B=xlsinv=O,則的子集個數為（）A.7B.3C.8D.93. 函數f（x）=sin（cox+（p）（刃>0,0<（p<7r）的圖象中相鄰對稱軸的距離為三

2、,若角0的終邊經過點2（3,、廳），則/（壬）的值為（）4A.B.C.2D.2/T24. 如圖所示的莖葉圖（圖一）為高三某班50名學生的化學考試成績，圖（二）的算法框圖中輸入的為莖葉圖中的學生成績，則輸出的川，分別是（）36780123368900134466788901224566678899002445690168圖一A.”7=38，=12D.=24,n=10尤，5. 設不等式組3y>x,表示的平而區域為不等式（x+2）2+（y-2）2<2表示的平面區域為，對a+y<4于Q】中的任意一點A/和。2中的任意一點N,MN的最小值為（）2C.y/2E+mA.B(-1.2)C.(

3、0,2)6. 若函數/（、）=一的圖象如圖所示，則的范國為（7. 某多而體的三視圖如圖所示，則該多而體各面的而積中最大的是（俯視圖A.118設等差數列%的前項和為S，且滿足S20I4>0,S2O15<0,對任意正整數，都有則#的值為（）A.1006B.1007D.10099.已知非零向量兒b,:滿足修一片IT為=4,（方一8=0,若對每個確定的片，1由的最大值和最小值分別為m,n,則m-n的值（）隨I為增大而減小A.隨修I增大而增大C.是2D,是410.已知如圖所示的三棱錐D-ABC的四個頂點均在球。的球而上，AABC和所在的平面互相垂直，AB=3,=BC=CD=BD=2&

4、，則球。的表而積為（）A.4萬B.12”C.16/rD.36勿2211.已知雙曲線C：4-4=1（">0,0>0）的右頂點為A，O為坐標原點，以A為圓心的圓與雙曲crb-線C的某漸近線交于兩點F，。，若ZPAQ=60°,且OQ=3OP,則雙曲線C的離心率為（）A.B,C.D.>/743212. 己知e為自然對數的底數，若對任意的xe0,l,總存在唯一的ye-1,1,使得x+y2e>-a=0成立,則實數“的取值范圍是（）A.l，eB（1,eC.（1,6*D.1，eeL。.第II卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.

5、已知>0，（十X）。展開式的常數項為15,£（x2+x+a/4-x2）dx=.14. 設“，bwR,關于x,y的不等式Ixl+lylvl和or+4/?28無公共解，則瀝的取值范用是.15. 正項數列%的前項和為S“，且2S“=q+%（"*）,設。”=（一1）"*蘭，則數列&的2S前2016項的和為16. 已知F是橢圓C：+=1的右焦點，P是C上一點，A(2,l),當M所周長最小時，其而積20為.三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17. 如圖，在AABC中，已知點。在邊BC上，且印5花=0,sinNBAC=

6、¥，AB=3&BD鄧.(1) 求AO的長；(2) 求cosCEF=AD=-AB.18. 如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為梯形，AWE,MC尸均為等邊三角形，EF/AB,A8(1) 過8D作截而與線段FC交于點N,使得AF平面試確定點N的位置，并予以證明；(2) 在(1)的條件下，求直線與平面ABF所成角的正弦值.19. 2015年7月9日21時15分，臺風"蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮沿海登陸，造成165.17萬人受災，5.6萬人緊急轉移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農田受災，直接經濟損失12.99億元.距離陸豐巾222千米的梅州也受到了臺風

7、的影響，適逢暑假，小明調查了梅州某小區的50戶居民由于臺風造成的經濟損失，將收集的數據分成0,2000,(2000,4000,(4000,6000,(6000,8000,(8000J0000五組，并作出如圖頻率分布直方圖:（1）試根據頻率分布直方圖估計小區平均每戶居民的平均損失（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）：（2）小明向班級同學發出倡議，為該小區居民捐款，現從損失超過4000元的居民中隨機抽取2戶進行捐款援助，設抽出損失超過8000元的居民為g戶，求&的分布列和數學期望：（3）臺風后區委會號召小區居民為臺風重災區捐款，小明調查的50戶居民捐款情況如圖，根據圖表格中所給數據，分

8、別求人，c,a+h,c+d,a+c,b+c,c/+O+c+的值，并說明是否有95%以上的把握認為捐款數額多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關？經濟損失不超過4000元經濟損失超過4000元合計捐款超過500元“=30b捐款不超過500元Cd=6合計P(K'Nk)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：臨界值表參考公式：K2=|',n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知拋物線。的頂點在原點，其焦點F（O,c）（c>0）到直線

9、/：x-y-2=0的距離為半，設"為直線/上的點，過點F作拋物線C的兩條切線必，PB,其中A,B為切點、.（1）求拋物線C的方程：（2）當點P（x°,光）為直線/上的定點時，求直線的方程：（3）當點P在直線/上移動時，求AF-BF的最小值.ax21. 已知函數/(x)=+點M(O,1)在曲線y=/(x)±,且曲線在點M處的切線與直線。+12工一)，=0垂直.(1) 求。，Z?的值；V(2) 如果當時，都有/(x)>-+求A的取值范圍.e-1請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. 選修4-4：坐標系與參數方程x=2cos(

10、p,己知曲線Q的參數方程是*(°為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標y=3sin。系，曲線q的極坐標方程是q=2,正方形ABCD的頂點都在G上，且A,B,C.。依逆時針次序排列，點人的極坐標為(2,生).3(1) 求點A,B,C,。的直角坐標；(2) 設P為G上任意一點，求ipaF+ipbF+ipcF+ipdF的取值范圍.23. 選修4-5：不等式選講設/(x)=IaI-I2a-1I,記f(x)>-1的解集為M.(1) 求集合M:(2) 已知a&M,比較a2-a+與的大小.2021屆湖南省長沙市高三第一次模擬試卷數學理科試題參考答案一、選擇題1-5:

11、BCABC6-10:DCCDC11、12：CB二、填空題13.+-+a/314.16,16115.16.433LJ2017三、解答題17. 解:(1)因為而京=0,則ADLAC,所以sinABAC=sin(:+/BAD)=cos匕BAD,即cosABAD=在ABD中，由余弦定理，可知BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosZBAD.即AO28AO+15=0,解得AD=5,或AD=3.因為所以AO=3.(2)在A4BD中，由正弦定理，可知一一=一一，sinZBADsinZADB22i又由cosABAD=,可知sinZBAD=-,33-ABsinZBAD扼所以sinZADB=.BD3因為ZAD

12、B=ZDAC+C=-+C,所以cosC=.2318. 解：(1)當N為線段NC的中點時，使得AF/平而BDN.證法如下：連接AC,BD,設AC=.四邊形ABCD為矩形，.0為AC的中點，又：N為FC的中點，：.ON為NCF的中位線，AF/ON,AF(Z平而BDN,ONu平平BDN,AAF/平而BDN,故N為FC的中點時，使得AF平而(2)過。作PQ/AB分別與A。，BC交于P,Q,因為。為AC的中點，所以P,。分別為AO,BC的中點,V與勇仁尸均為等邊三角形，且AD=BC,MDE三ABCF,連接EP,FQ,則得EP=FQ,.:EF/AB,AB"PQ,EF=)AB,=2:.EF/PQ,

13、EF=?PQ,.四邊形EPQF為等腰梯形.取EF的中點M,連接MO,則MOLPQ.又9：AD±EP.AD±PQ,EPC)PQ=P，:.ADL平面EPQF,過。點作OG±AB于G,則OG/AD.OG±OM,OG1OQ.分別以況，O。，成的方向為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標系OA)，z,不妨設AB=4,i 3則由條件可得：0(0,0,0),A(l,2,0),B(l,2,0),F(0,l,JJ),。(_1,一2,0),設/；=(x,y,z)是平面ABF的法向量,AB=0,則即，nAF=0,4y=0,-x+3y+=0,所以可取3=(、R,0,l),可得

14、ICOS<麗3>1=I麗云II伽|，;|直線&V與平而ABF所成角的正弦值為V2319. 解:(1)記每戶居民的平均損失為三元,則x=(1000x0.00015+3000x0.00020+5000x0.0009+7000x0.00003+9000x0.00003)x2000=3360.(2)由頻率分布直方圖，可得超過4000元的居民共有(0.00009+0.00003+0.00003)x2000x50=15戶,損失超過8000元的居民共有0.00003x2000x50=3戶,因此g的可能值為0,1,2,萱=土此35S的分布列為:0P2235121235135221212E(

15、4)=0x+lx+2x=一3535355(3) 解得/?=9,c=5,a+h=39»c+d=11»”+c=35,b+d=15,a+b+c+d=50,=4.046>3.841,犬2=50x(30x6-9x5)239x11x35x15所以有95%以上的把握認為捐款數額多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關.20.解：（1）依題意，設拋物線C的方程為疽=4力，由（）_二2七龍,結合c>o,解得c=1V22所以拋物線C的方程為r=4），.（2）拋物線C的方程為子=舒，即y=-x求導得y'=-x,21?xv-設>4（%!,y）,B（x2,y2&

16、#39;）（其中»y2=則切線僅4，的斜率分別為!玉，|x2,2所以切線必的方程為），一凹=（x-x1）,即），=?工_£；+），|,222即xlx-2y-2y1=0.同理可得切線PB的方程為x/-2y-2y2=0,因為切線04,所均過點P3o，y（）,所以為與一2乂）一2）、=0,x2x（）-2y0-2y2=0,所以（珀，凹），（巧，）'2）為方程X/-2%-2y=0的兩組解,所以直線AB的方程為一2），一2%=0.（3）由拋物線定義可知IAFI=）+1,18/1=力+1,所以1人尸118尸1=（凹+1）（力+1）=凹力+（凹+力）+1，xnx-2y-2yn=0,

17、.聯立方程；消去尤整理得y2+(2%-V)y+=0.N=4y,由一元二次方程根與系數的關系可得凹+）3=易2-2）h，乂巧=y02,所以IAFIIBF1=凹力+()'+)2)+1=)+*(/2光+1，又點2（易,光）在直線/上，所以入0=）%+2,io所以>?（）2+V一2），0+1=2）子+2y°+5=2（y0+-）2+-,1 9所以當y0=-時，IAFIIBFI取得最小值，且最小值為2 2-X.y,、(1(CX+1)C1XX.21. 解：(1)fx)=-be(e+1)-依題意/(O)=1,y(O)=!-,解得a=b=.2rx(2)由(1)可知/(%)=-+代入/&#

18、171;>-+得e+1e-1工+廣>_L_+*x，即ex+bl虻一廣因為當x>0時，一。7>0,xvO時，WeTvO,所以*>0,ex廣所以1k>0,即I們(寸-廣-蘭)>0,W-廣lk2令=t»設g(x)一W-次，貝ijr>0»-k又gx)=ex+e-x-t. 當0<t32,即k<0時，g'(x)=ex+e-x-t>2-t>0恒成立，所以g(x)=ex-ex-tx在R上單調遞增，所以(i) 當x>0時，g(x)>g(O)=O,又因為此時ex-e-x>0,-k>0,所以"F(/一廣一蘭)>o,即f(x)>y_+u成立：e-elke-1(ii) 當xvO時，g(x)vg(O)=O,又因為此時ex-ex<0,-k>0,(1R)9rY所以一(疽一廣一一)>0,即+炫T成立.e-elke-1x因此當k<0時，當x#0時，都有/«)>乙一+如t成立，符合題意.e-1tJt24t+lt 當/>2,即Ovkvl時，由g'(x)=b+。-"一，=0,得x=In,x2=In22因為，>2,所以x2>0>xx=-x2<0,當xe(0,x2)