1、數列專題復習第一節等差數列1知識梳理】師說76頁考點一等差數列的定義和通項公式公式1：an=a1+n-1d公式2:an=am+n-md變形：1.在等差數列an中,a=2+a3=13,那么a4+a5+a6等于A.40B.42C.43D.452. 在等差數列4中,a=1,a2+a5=4,an=33,貝國為A.48B.49C.50D.513. 2021重慶在等差數列an中,a1=2,a3+a5=10,那么a7=A.5B.8C.10D.144. 2021遼寧設等差數列an的公差為d.假設數列2a1an為遞減數列,那么A.d>0B.d<0C.Rd>0D.ad<05. 設數列的通項

2、公式為an=2n7,那么a1+a2|+a15=.6,假設數列Xn酒足XnXn_1=d,nN,n>2,其中d為常數,X1+X2+X20=80,貝UX5+X16=.7. 數列an中,假設為=1,2an書=2a0+3n>1,那么該數列的通項a0二.8. 2021年重慶假設2、a、b、c、9成等差數列J,那么c-a=.9. 2021年上海在等差數列Ln中,假設a+a2+a3+a4=30,貝tja?+a3=.10. 2021年大綱等差數列Q中,a7=4,%=2a9,那么該數列的通項an=.11. 2021陜西中位數為1010的一組數構成等差數列,其末項為2021,那么該數列的首項為.12.假

3、設lg2,lg(2x1),lg(2x+3)成等差數列,那么x等于考點二等差數列的性質一一,一一._*.性質1：假設an為等差數列,且m+n=p+q(m,n,p,q=n),貝Uam+an=ap+aqo1 .(2021遼寧)在等差數列an中,34+38=16,那么a2+ai0=()A.12B.16C.20D.242 .等差數列an的公差為d(dw0),且a3+a6+a1o+a3=32,假設am=8,那么m為A.12B.8C,6D,43 .在等差數列an中,a3,a15是方程x26x1=0的兩個根,貝Ua?+a8+a9+a0+an4 .在等差數列an中,&+a11=6,貝Ua8=.5 .在等

4、差數列an中,a6=6,那么S1=.6 .在等差數列an中,假設a2a4+a2a6+a4a8+a6a8=100,貝Ua5=.7 .an為等差數列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,貝a2.等于.性質2：假設an是公差為d等差數列,那么ak,ak+m,ak+2m,k,mCN*組成公差為的等差數列.即等差數列中,下標成等差數列的項任仍然成等差數列.1 .在等差數列an中,假設a3=6,a6=9,那么4？=.2 .在等差數列an中,假設an=2n3,那么a1+23+a5Hl+a9=.3 .在等差數列4中,假設a2=6,a5=9,求數列a3nJ的前n項和Tn.n(n-1)d公式2:Sn

5、=na1+-2考點三等差數列的前n項和公式公式1：SnJ"1七2變形：1 .2021高考新課標an是公差為1的等差數列,Sn為an的前n項和,假設S3=4Sd,那么&0=()A.172B.19C.10D.121一一2 .2021局考安徽數列小中,8=1,an=an；n22,貝擻列4的前9項和等于3 .數列的通項a.=/n+2,那么其前n項和&=.4 .等差數列共有10項,其中奇數項之和15,偶數項之和為30,那么其公差是A.5B.4C.3D.25 .公差不為零的等差數列an的前n項和為&.假設a,是a3與a7的等比中項,S8=32,那么Si.等于A.18B.2

6、4C.60D.906 .設Sn是等差數列4的前n項和,a2=3,%=11,那么S7等于A.13B.35C.49D.637 .設&等差數列,的前n項和.假設a1+a3+a5=3,那么S=A.5B.7C.9D.118 .等差數列小的前n項和為0,amam1am=0,S2m二38,那么m=9 .在等差數列Ln中,an<0,a3+a8+2a3a8-35A.4B.2C.3D,4,那么S10等于.考點四等差數列的前n項和的性質性質1:設Sn是公差為d等差數列an的前n項和,那么數列Sm,5m-Sm,S3m-S2mll構成公差為的等差數列.1.設等差數列an的前n項和為Sn,假設S3=9,a=

7、36那么a7+a8+ag=A.18B.27C.36D.45S41S2 .等差數列an的前n項和為且S8=3,那么S16=1 11J.A.8B3C9D.10S4S63 .Sn為等差數列an的前n項和,假設S1=1,S2=4,那么S4的值為4,等差數列an的前n項和為Sn,且Sic>=10,甑=30,那么&0=.性質2:設Sn是等差數列an的前n項和,那么Sn=pn2+qn,(p,q是常數).1 .設數歹I%的前n項和Sn=2n2n,那么a8的值為.2 .設數列4的前n項和0=2n2-n,那么%的通項公式為.3,數列an的前n項和Sn=n2+2n+1,那么an的通項公式為()A.an

8、=2n1B.an=2n+1Zn=14n=1C.an2n-1n>2D-an-,2n+1n>24,設數列QJ的通項公式為an=2n+5,假設數列bn的前n項和Sn=向,那么數列bn的通項公式為.性質3:設Sn是等差數列an的前n項和,那么數列Sn是等差數列.nSn1 .等差數列an的通項公式是an=12n,其前n項和為Sn,那么數列n的前11項和為A.-45B.-50C,-55D.-662 .等差數列an的前n項和為且5=10,8=55,那么S*:3 .等差數列an的前三項為a-1,4,2a,記前n項和為(1)假設Sk=420,求a和k的值.一S.(2)設bn=,求b3+b7+匕1+|

9、+b4n的值.namSzm性質4：假設an與bn均為等差數列,且前n項和分別為3與Tn,那么bm=d-T2mSn3n1a81 .等差數列an,bn的前n項和分別為Sn,Tn,且E=2n+3,求后的化An7n+452 .兩個等差數列an和bn的前n項和分別為A和Bn,且Bn=n+3,那么an使得,為整數的正整數n的個數是A.2B.3C,4D,5考點五等差數列的最值問題1,數列an的通項公式為an=3n2-28n,那么數列各項中最小項是第項2 .在等差數列an中,Sn為前n項和,假設首項ai=i3,且6=61,問此數列前項的和最大.a7.一一3 .2021天津模考數列爾為等差數列,假設<-1

10、,且它們的前n項和Sna6有最大值,那么使Sn>0的n的最大值為.4 .等差數列的通項為an=2n-19,前n項和記為Sn,求以下問題：(1)求前n的和&(2)當n是什么值時,Sn有最小值,最小值是多少？5,假設等差數列n)的公差d<0,且&+&1=0,那么數列Gn的前n項和&取得最大值時的項數門是()A.5B.6C,5或6D,6或76,等差數列加)的前n和為Sn,a2=4,S0=110,那么S代的最小值為/an1517A.7B.8C.萬D.萬方法提煉在等差數列an中,有關Sn的最值問題：am?0,(1)aI>0,d<0時,滿足:am+1

11、sC0的項數m使得Sn取得最大值為Sm.am00,(2)當a1<0,d>0時,滿足：am+1；>0的項數m使得Sn取得最小值為Sm.(3)關于最值問題,除上面介紹的方法外,還可利用等差數列與函數的關系來解決,nn1d2d一一,、一等差數列的刖n項和Sn=na+2d=2n+2卜,Sn可看成關于n的二次函數式且常數項為0,利用二次函數的圖象或配方法解決最值問題.考點六等差數列的判定與證實【典例】(2021大綱全國)數列QJ滿足a=1®=2,an七=2an+-an+2.設bn=an-an,證實I是等差數列；(2)求匕3的通項公式.練習：an1,在數列an中,ai=1,an

12、+l=2an+2n.設bn=2_1,證實：數歹Ibn是等差數歹I.2.正項數列aj的前n項和為Sn,且Sn=1(an+1)2(nwN*).4(1)求a1、a2;(2)求證：數列QJ是等差數列；(3)令bn=%-19,問數列bn的前多少項的和最小？最小值是多少？方法提煉等差數列的判定方法(1)定義法：對于n22的任意自然數,驗證anan1為同一常數；*(2)等差中項法：驗證2an1=an+an2(n至3,nCN)都成立；(3)通項公式法：驗證an=pn+q；(4)前n項和公式法：驗證Sn=An2+Bn.提醒：等差數列主要的判定方法是定義法和等差中項法,而對于通項公式法和前n項和公式法主要適合在選

13、擇題中簡單判斷.第二節等比數列1知識梳理】師說78頁考點一等比數列的定義和通項公式公式1:an=a1qnJ1公式2:an=amqnm變形：1 .在等比數列an中,a2=8,a5=64,那么公比q為()A.2B.3C.4D.82 .-1,a,b,c,-9成等比數列,那么()A.b=3,ac=9B.b=3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=3,ac=-93 .記等比數列an的公比為q,那么“q>1是“an+i>annCN*的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件4 .在等比數列an中,假設a4=8,q=2,那么a7的值為.A.-64B.64C,-4

14、8D.485 .等比數列an的公比為正數,且a3a9=2a52,a2=1,那么a=A.1B.C.2D.22216 .在等比數列an中,&=-,q=2,那么24與28的等比中項是8A.4B.4C.-D.-447 .設a1=2,數列1+2%是公比為2的等比數列,貝Ua6等于A.31.5B.160C.79.5D.159.58 .2021高考廣東假設三個正數a,b,c成等比數列,其中a=5+2<6,c=5-2啟,WJb=.考點二等比數列的性質性質1:假設an為等比數列,且m+n=p+qm,n,p,q=n,那么ama=ap氣.1 .在等比數列an中,假設a5=4,那么a2aB等于.A.4B

15、.8C.16D.322a92 .在等比數列an中,假設a3a5a7a9a11=32,那么a11的值為A.4B.2C.-2D.-43 .各項不為0的等差數列an滿足2a2a2+2a12=0,數列bn是等比數列,且b7=a7,那么b3b11等于A.16B.8C,4D,24 .在各項均正的等比數列an中,lga348a3=6,那么Qw的值為A.100B,1000C.10D,1000015 .等比數列an滿足a=-,a3a5=4一1,那么a2=4'''A.2B.1C.-D.-28336.在遞減的等比數列an中,假設a3a6=8,a2+a7=萬,那么an=.性質2：右an是等比數

16、列,那么ak,ak+m,ak+2m,(k,mCN)組成公比為的等比數列.即等比數列中,下標成等差數列的項任仍然成等比數列.1 .在等比數列an中,假設a2=2,a6=8,那么a.=()A.16B.32C.64D.42 .在等比數列an中,假設a-=1a=27,貝a3+a6+a9Hl+a?i=.3 .在等比數列小中,假設an=2n,那么數列儂.,是等比數列嗎？如果是公比和首項分別是多少？考點三等比數列的前n項和公式公式1:Sn=可一q)(q¥1)公式2:Sn=三二四(q#1)1-q1-q特別地,當q=1時,Sn=na1變形：S61. 設Sn為等比數列an的前n項和,且4a3%=0,那么

17、花=()A.5B,-3C.3D,52. (2021新課標H)等比數列an的前n項和為Sn,S3=m+10a1,a5=9,那么a1=()A.3B.-3C9D.-93. 等比數列an的前n項和為Sn,且4a1,2a2,a3成等差數列,假設a=1,那么S4=()A.7B.8C.15D.164. (2021重慶高考)首項為1,公比為2的等比數列的前4項和S4=.5. (2021高考新課標)數列%中a1=2,an+=2an£為Q的前n項和,假設5 =126,貝Un=.6 .設等比數列an的公比q=1,前n項和為0,那么包=.2包7 .(2021北京)假設等比數列an滿足a2+a4=20,a3+

18、a5=40,貝U公比q=,前n項和&=.8 .假設等比數列為的公比為q,其前n項和為&=qn+k,那么卜=.9 .設數列1,(1+2),(1+2+22+-+2n),的前n項和為Sn,那么Sn=考點四等比數列的前n項和的性質性質：設Sn是公比為q等比數列an的前n項和,那么數列Sm,5m-Sm,S3m-S2mH構成公比為的等比數列.S6S91 .(2021遼寧高考)設等比數列an的前n項和為與,假設S3=3,那么忌=A.2B.3C3D.32 .設等比數列an的前n項和為Sn,假設S4=1$8=17,那么§2=3 .等比數列an的前n項和為10,前2n項和為30,那么前3

19、n項和為考點五等比數列的判定與證實【典例】設數列an的前n項和為Sn,a1=1,Sn+=4an+2.(1)設bn=an+12an,證實數列bn是等比數列；(2)證實數列審出等差數列.練習：an+an+1.、一,.一.一一一*1 .數列an"兩足a1=1,a2=2,an+2=2,nCN.(1)令bn=an+1an,證實：bn是等比數列;(2)求an的通項公式.2 .在數列也中,a1=2,an由=4an3n+1,nwNI(1)證實數列On-n是等比數列；(2)求數列aj的前n項和Sn；13 .數列a滿足：a1二2,an=4an-1+1(n?2)(1)求a+a?+a3；.1(2)令6=an

20、+-,求證：數列bn是等比數列;3'(3)求數列bn的前n項和Tn.方法提煉1 .等比數列的判定方法：an+1an(1)定乂法：假設an=q(q為非零常數,neN)或an-1=q(q為非零常數且n>2,nN),那么an是等比數列.(2)中項公式法：假設數列an中,2門*0且22+1=2門22何),那么數列an是等比數列.(3)通項公式法：假設數列通項公式可寫成an=cqn1(c,q均是不為0的常數,nN),那么an是等比數列.(4)前n項和公式法：假設數列an的前n項和Sn=kqnk(k為常數且k0,qw0,1),那么an是等比數列.2 .幾點考前須知：(1)前兩種方法是判定等比

21、數列的常用方法,常用于證實,而后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定.(2)假設要判定一個數列不是等比數列,那么只需判定存在連續三項不成等比即可.第三節等差數列與等比數列的相互轉化考點一、等比數列轉化為等差數列(1)Gn)是正項等比數列Ulogcaj(c>0,c*1)是等差數列；(2)右J既是等差數列又是等比數列之歸0)是各項不為零的常數列.【典例】在等比數列aj中,&=1,q=10,(1)假設數列bn=lgan,求數列4的通項公式；一一,1.一(2)求數列4的前n項和TnbM1練習：在等比數列QJ中,a2=3,a5=81.(1)求an(2)設bn=log3an,求數列>的

22、前n項和Sn0考點二、等差數列轉化為等比數列(1) 加是等差數列之Qan(c>0,c=1)是等比數列；(2)假設數列an是等差數列,且an=logcbn(c>0,c#1),那么數歹ibn是等比數列.【典例】函數y=f(x)的圖象經過坐標原點,且f(x)=x2x+b,數列an的前n項和Sn=f(n)(nCN).(1)求數列an的通項公式；(2)假設數列bn滿足an+2=10g3bn,求數歹Ibn的前n項和Tn；練習：等差數列aj中,a2=4,a4+a7=15.(1)求數列為的通項公式；(2)設bn=2an+n,求b十4十b3十'+bw的值.第四節數列求和數列求和的常用方法1

23、.公式法直接用等差、等比數列的求和公式.2 .倒序相加法如果一個數列an,與首末兩端等“距離的兩項的和相等或等于同一常數,那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法,如數列白前n項和公式即是用此法推導的.3 .錯位相減法如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的,那么這個數列的前n項和即可用此法來求,如數列白前n項和公式就是用此法推導的.4 .裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其一、一、,、,一1和.這種方法適用于求通項為的數列的前n項和,其中an假設為等差數列,那么anan111,11、=丁(-).anan1danan1常見拆

24、項：5 .分組轉化法把數列的每一項分成多個項或把數列的項重新組合,使其轉化成等差數列或等比數列,然后由等差、等比數列求和公式求解.6,并項求和法一個數列的前n項和中,可兩兩結合求解,那么稱之為并項求和.形如an=(1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.考點一、公式法【典例】等差數列an滿足a4=6,a6=10.(1)求數列an的通項公式；(2)設等比數列bn各項均為正數,其前n項和Tn,假設a3=b2+2,丁3=7,求Tn.練習：1 .在各項均為正數的等比數列an中,a3a5=4,那么數列log2an的前7項和等于A.7B.8C.27D.282 .等比數列an的首項為1,假設4a1,2a2,

25、a3成等差數列,那么數列的前5項和為313316A.16B.2C.16D.333 .等差數列an的通項公式為an=2n+1,其前n項和為Sn,那么數列盤的前10n項和是()A.120B.100C.75D.704 .數列?a?的前n項和記為Sn,4=1a+=20+1(nN1)(1)求Qn)的通項公式；(2)求Sn5. (2021高考四川)設數列a(n=1,2,3)的前n項和Sn滿足S=2ana3,且a,8+1,a3成等差數列.(1)求數列的通項公式；(2)設數列1的前n項和為Tn,求Tn.an方法提煉1 .數列求和應從通項入手,假設無通項,那么先求通項,然后通過對通項變形,轉化為等差數列或等比數

26、列或可求數列的前n項和的數列求和.2 .常見類型及方法(1)an=kn+b,利用等差數列前n項和公式直接求解；(2)an=aqn-1,利用等比數列前n項和公式直接求解；考點二、分組轉化法【典例】函數f(x)=2x3x1,點(n,an)在f(x)的圖象上,an的前n項和為Sn.(1)求使an<0的n的最大值；(2)求Sn.練習：1 .假設數列圾的通項式為an=2n+3n,求數列圾的前n項Sn.2 .有窮數列1,1+2,1+2+4,1+2+4+十2n所有項的和為3 .數列an的前n項是3+21,6+41,9+81,12+161,貝媵攵歹Jan的通項公式an_,其前n項和Sn_.4 .(202

27、1高考福建)等差數列Qn中,a2=4,a4+a7=15.(1)求數列On的通項公式；(2)設bn=2an+n,求bi+b2+b3+bw的值.方法提煉an=bniCn,數列bn,Cn是等比數列或等差數列,采用分組求和法求an的前n項和.考點三、裂項相消法求和【典例】等比數列an的各項均為正數,且2a1+3a2=1,a|=9a2a6.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn=log3ai+log3a2+-+log3an,求數列bn帕前n項和.練習：1 1111.1 ><4+4S<7+7X10+(3n2j(3n+1)等于(,n3n11A-3n+1B.3n+1C.1n+1D-33n+

28、112.數列aj的通項式為an=,求數列aj的前n項&n%n-113 .等差數列an的前n項和為Sn,a5=5,&=15,那么數列藐二的前100項和為()1009999101A.101B.101C100D.1004 .正數數列an的前n項和為且對任意的正整數n滿足4Sn=(an+1)2(1)求數列an的通項公式；1(2)設bn=anan+1,求數列bn的前n項和Bn.5 .(2021高考安徽)數列4是遞增的等比數列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求數列4的通項公式；設Sn為數列aj的前n項和,6=通土,求數列電的前n項和Tn.S£.16 .數列an的前n項和為

29、Sn,點(n,Sn)(nN+)在函數f(x)=3x22x的圖象上.(1)求數列an的通項公式；3(2)設bn=anan+1,求數列bn的前n項和Tn.考點四、并項法求和【典例】求Sn=1002992+982972+2212的值.練習：1 .數列(1)n(2n1)的前2012項和S2012=().A.-2012B.2012C.-2011D.20112,數列an的通項公式為an=(-1)n1(4n-3),那么它的前100項之和S100等于A.200B.-200C,400D,-4003 .假設數列的通項式為an=(-1)n<3n-2),求耳舟.4 .假設數列<an的通項式為an=(-1)n-<2n+1),求金.考點五、錯位相減法求和【典例】數列an的前n項和為Sn,且$=2n2+n,nCN*,數列bn滿足an=*410g2bn+3,nCN.(1)求an,bn；(2)求數列anbn的前n項和Tn.練習：1 .數歹！Jan的前n項和為&且an=n2n,那么Sn=.2 .設數列(aj滿足a1+3a2+3+3"=n,aN*.3(1)求數列an的通項；