1、思想應用到坐標（或集合特殊化）知識點系統總結方程運算逆運算以商的形式出現極限積分微分方程導數微分一、映射與函數、集合及其運算 、區間和鄰域 、映射 、函數 差集： 鄰域： （為任意正實數） 映射：像唯一，原像不唯一 函數特性：有界性、單調性、奇偶性、周期性 二、數列及函數的極限、數列的極限 、收斂數列的性質 子數列及其性質收斂數列的性質：唯一性、有界性、保號性a、 唯一性：如果數列收斂，那么它的極限唯一。（如果極限不唯一，那么極限不 存在）b、 有界性：若數列收斂，則它一定有界。（注：收斂數列必有界，有界數列不一定收斂。如：，該數列有界卻發散）c、 保號性：那么存在正整數，當時，都有函數極限的

2、性質：唯一性、局部有界性、局部保號性 a、 唯一性：若存在，那么這個函數的極限唯一。b、 局部有界性：若則存在常數使當時，有。c、 局部保號性：若，則存在常數，使得當。如果數列收斂于，那么它的任一子數列也收斂，且極限也是。 三、無窮小與無窮大及無窮小的比較、定義 （參看課本第一章第四節）、無窮小與無窮大之間的一種關系： 在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮小；反之，如果為無窮小，且，則為無窮大。 收斂+發散=發散（即有極限+無極限=無極限）、無窮小的比較 （非重點，相關內容參見課本第一章第七節）若，則是的等價無窮小，記做。 等價無窮小特例：（） 、極限運算法則、極限存在準則、兩個重

3、要極限 、定理：有限個無窮小的和是無窮小；常數與無窮小的乘積是無窮小；有限個無窮小的乘積也是無窮小；有界函數與無窮小的乘積是無窮小；兩個無窮小的商不一定為無窮小。（）、運算公式： 兩個重要極限： 夾逼準則：在這道題中，應用夾逼準則最重要的方法-放縮法，通過合適的放縮，將難變易。例：求解：設則一、微分、定義。（參見課本第二章第五節）、函數的微分定義式： 自變量的微分定義式： 可微必可導，可導必可微 、微分的運算：（當微分以商的形式出現時，便成了導數。因此，微分的運算，可全部由導數的運算推出。故其運算法則不再列舉，詳情請參見后面的導數運算法則。） 、微分形式的不變性：在微分表達式中，當更換自變量時

4、，微分的表達形式并未改變。利用該性質，我們可以使用換元法很快的求出復合函數的微分。 例： 二、導數 、定義 、求導法則 、導數公式 、高階導數及隱函數的導數函數：可導必連續，連續并不一定可導a、 函數和、差、積、商的求道法則：b、 反函數的求導法則：c、 復合函數的求導法則：（由內到外依次求導） 常數和基本初等函數的導數公式： 高階導數：二階及二階以上的導數統稱為高階導數。 （冪函數的n階導數，求一次導，降一次冪）隱函數的導數： a、顯函數及隱函數的定義。（非重點，參見課本第二章第四節） b、隱函數的求導：、求隱函數的導數。（把方程兩邊分別對求導） 例：求由方程所確定的隱函數的導數。 解：我們

5、把方程兩邊分別對求導數，注意，方程左邊對求導得隱函數的求導，最重要的是給等式兩邊的正確求導，而且一定要注意，是給x求導。 方程右邊對求導得 由于等式兩邊對的導數相等，所以 、求隱函數在處的導數。（先把方程兩邊分別求導，再將代入原方程求出，最后將即可） 、冪函數的求導一般用對數求導法。（先在方程兩邊取對數，再用隱函數求導方法）例：求的導數。 解：這函數是冪指函數，為了求這個函數的導數，可以先在兩邊取對數，得 上式兩邊對求導，注意到，得 于是便得到 、由參數方程確定的導數：利用復合函數的求導法則和反函數的求導法則求解。 設有一參數方程：，則其求導公式化簡為：。三、微分中值定理1、費馬引理。（參見課

6、本第三章第一節）2、羅爾定理。（通過幾何圖像，將費馬引理反映的函數關系進一步定義，得到該定理）3、我們將羅爾定理中的一個特殊條件：去掉，擴大羅爾定理覆蓋的范圍，使其一般化，普遍化，便得到了下面的拉格朗日中值定理：（各個定理的理解請結合課本第三章第一節，通過各個定理所表達的幾何意義去理解它們，然后將幾何現象數學化，將定理推廣到函數中）例：證明當時，。 證明：設顯然在區間上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此，有應用拉格朗日中值定理時一定要注意，題目中的各個條件都滿足該定理的存在條件！ 因此上式即為 又 故有 4、我們將任意曲線的數學定義一般化，設所有曲線均由參數方程確定，即，則在曲線上任意一點處，其

7、切線斜率為；圖像兩個端點a,b連線的斜率為，則由拉格朗日中值定理可知，曲線任一點中必存在一點，滿足 該結論同樣是對拉格朗日中值定理的另一種描述，被稱為柯西中值定理。（當時，該定理即變為拉格朗日中值定理）5.洛必達法則： 、未定式：如果當時，兩個函數都趨于零或都趨于無窮大，那么極限可能存在，也可能不存在。通常把這樣的極限表達式叫做未定式。通過該式的定義可以很明顯的看出，無法通過極限的運算法則求解該類極限。 、在拉格朗日中值定理中，設任意曲線的左端點為，右端點為，然后讓函數兩端點的距離無限小，即有： 由拉格朗日中值定理，得如下公式： 該公式是將柯西中值定理推廣到極限的結果，稱為洛必達法則。 例：求

8、。 解：當時，而 該極限是個的未定式，而洛必達法則適用于求或型的未定式，因此，將原式化簡如下： 則此時可對極限式使用洛必達法則，即： 原式= 6、泰勒公式：泰勒公式是拉格朗日中值定理的一種推廣表達式。當拉格朗日中值定理里的一階導數變為階導數時，便得到了泰勒公式： 如果函數在含有的某個開區間內具有直到階的導數，則對任一有 四，函數中導數的應用 、函數的單調性與曲線的凹凸性 （利用導數判斷函數圖像的單調性是高中時期的重點內容，因此在此不做過多總結） 在利用導數判斷函數部分性態中，有如下定理： 定理一：設函數在閉區間上連續，在開區間內可導，則 a、如果在區間，那么函數單調遞增。 b、如果在區間，那么

9、函數單調遞減。 定理二：設連續，在內具有一階和二階導數，那么 a、若在區間，則函數的圖形是凹的。b、若在區間，則函數的圖形是凸的。 （ 函數的單調性及凹凸性，主要用來幫助我們判斷函數值的大小及函數圖像的形態分布等。）、函數圖像的拐點：函數二階導為零的點或者二階導不存在的部分點。（當二階導不存在時，檢查在處左、右兩側鄰近的符號。當兩側的符號相反時，點是拐點；當兩側的符號相同時，點不是拐點） 、函數的極值與最大值最小值 （該知識點同樣是高中時的重點掌握內容，故在此不做重點總結。相關詳細內容可參見課本第三章第五節） 運用導數判斷函數的特殊值，有以下定理： 定理一：設函數在處可導，且，則函數在處取得極

10、值。 定理二：設函數在處具有二階導數，且，那么a、 當時，函數在處取得極大值。b、 當時，函數在處取得極小值。一、 不定積分、不定積分的概念與性質 、換元積分法 、分部積分法 有理函數積分 不定積分的性質： 不定積分解題時常用的方法：a、 根號換為指數。例：求不定積分解：題目原式中有 ，故要將根號換為指數，如下： 故原式 b、 當被積函數分母只有一項而分子有多項時，將分子上的項展開，而后利用不定積分的性質做題。例：求不定積分解：在該題中，首先要展開分子上的項，即 所以，原式=c、 三角函數換元法（恒等式變形）例：求不定積分 解：通過查閱積分表不難發現，基本積分里沒有該類型的積分，故需要一定的變

11、換，將其化簡為基本積分。且已知，故將原式化簡為 此時通過查閱基本積分表，可知（求解該類型的題時，一定要做到對所有三角函數公式的完全記憶和熟練運用）d、 最簡湊微法例：求不定積分解：由于式中有，令，將的形式，則 即原式=e、 三角函數湊微法（該類不定積分的求解中常可用到：、 、等公式）例：求不定積分解：由題可知，可以從被積函數中提出一個與湊成，而剩下的可以寫成 則原式= f、 三角換元法（第二類換元法）、三角換元法例：求不定積分 解：由題可知，要想辦法將被積函數換算成基本積分表里的式子，即去掉根號，利用，令，則 原式= 但是，最終的結果中，不能出現中間變量，因此，通過輔助三角形，將上式結果中的換

12、為。 由輔助三角形可得， 則原式=、倒代法（常用它消去被積函數的分母中的變量因子） 例：求不定積分 解：若令為一個分數如，則可消去原被積函數中的分母， 令，則 則原式化為 然后通過三角換元，解得原式= 將結果中的用換回來，得最終結果：g、 分部積分法（應用公式）、若被積函數是冪函數和正（余）弦函數的乘積，或者是冪函數與指數函數的乘積，則設冪函數為。 例：求不定積分 解：原式= 對再用一次分部積分法，即有 原式=、被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，則選取對數或反三角函數為u.、需要注意，某些不定積分需要兼用換元法與分部積分法。h、 有理函數的積分、待定系數法 例1：求不定積分

13、 解：被積函數的分母可分解為，則 則設，其中為待定系數，故有： 等式兩邊各項值的系數相等，故有 解得 所以原式= 例2：求不定積分 解：被積函數分母的兩個因式與有公因式，所以還需要再分解為，則設 由例1可知，有 解得 所以原式=、根號換元法（若被積函數中含有，可以令這個簡單根式為。） 例：求不定積分 解：為了去根號，可設 所以原式=基本積分表是求解不定積分最重要的工具，具體親參閱課本第362頁附錄3二、 定積分1. 定義（非重點，詳細內容請參閱課本第五章第一節）2. 運算法則（基本公式，兩類方法）3. 特殊定積分（反常積分）4. 定積分的應用。定理一：設在區間上連續，則在區間上可積定理二：設在

14、區間上有界，且只有有限個間斷點，則在上可積定積分的性質： 規定性質：性質：性質：設性質：如果在區間性質：若在區間性質：設與分別是函數在區間上的最大值及最小值，則有： 性質：（定積分中值定理）如果函數在積分區間上連續，則在上至少存在一點，使下式成立：微積分基本公式（牛頓萊布尼茨公式）：如果函數是連續函數在區間上的一個原函數，則例：求定積分 解：原式=求解定積分類的問題時，主要有以下兩種方法：（可參照不定積分的運算來理解）、換元法： 例：計算定積分 解：設則。當 則原式=、分部積分法： 例：求定積分 解：令 則原式=關于定積分的幾個小推論： 若在上連續且為偶函數，則 若在上連續且為奇函數，則 若在上連續，則；以及 設是連續的周期函數，周期為，則