1、數學運算經典題解1】 剪繩子問題：例一：【息戎注：對折三次這條繩子就變成 2八3段，有7個拐點，對折n次就有2An段，拐點 有25-1個注意是對折，與平均折三次有本質區別】解析：切一刀變成25+1份，以后每多切一刀就增加 2An份，所以切了 6刀，就變成 2八3*6+仁49.因此針對【對折剪繩子問題】得到公式如下：對折n次，均勻剪了 m刀，共變成2An*m+1份，其中有25-1份【看拐點的個數】的長度是其他繩子長度的兩倍。例二： 【變形題】將一根繩子連續對折三次，然后每隔一定長度剪一刀，共剪 6 刀。問這樣操作后，剪成兩種長度的繩子，較短的繩子比擬長的繩子多多少根？解析：一共剪成 49短，拐點

2、有 7個，因此有 7個長度是另一種長度兩倍， 49-7*2=35例三：一根鐵絲長2 0 0 0厘米，剪二種規格的小段，36厘米和19厘米的，不能有 剩余，問最少剪幾次最多剪？【息戎解析】：200036=55.20200019=105 .5我們發現： 36n+19m=2000 n 和 m 都是整數。 從上面兩個式子我們可以得到： 36 乘 以n小于55的數加上20是19的倍數。因為【余數的積】等于【積的余數】 17n+20是19可以看成【 19=17+2】的倍數 .n=10 符合條件的還有 29 48 【10 +19的倍數】 所以： 45+200019=45+20=65 . 最少要切成 65段需

3、要 64刀2】 不定值問題：例一：小明用 5天時間看完了一本 200頁的故事書 .第二天看的頁數比第一天多，第 三天看的頁數是第一、二兩天看的頁數之和，第四天看的頁數是第二、三兩天看的頁數 之和，第五天看的頁數是第三、 四兩天看的頁數之和 .那么，小明第五天至少看了多少頁 .？ 解析：設小明第一天看了 a頁，第二天看了 b頁，那么前五天看的頁數依次為：a， b， a+b， a+2b，2a+3b.上面各個數的和是 200，得到5a+7b=200.因為5a與200都是5的倍數，所以b是5的倍數.因為 b>a ，所以上式只有兩組解 ：b=20，a=12; b=25，a=5.將這兩組解分別代入2

4、a+3b，得到第五天至少看了 84頁.例二：國2007-51學校舉辦一次中國象棋比賽，有 10名同學參加，比賽采用單循環 賽制，每名同學都要與其他 9名同學比賽一局。比賽規那么，每局棋勝者得 2分，負者得 0 分，平局兩人各得 1分，比賽結束后， 10名同學的得分各不相同，：1比賽第一名與第二名都是一局都沒有輸過；2前兩名的得分總和比第三名多 20分；3第四名的得分與最后四名的得分和相等。那么，排名第五名的同學的得分是 。分分分分解析10名同學單循環比賽，共需比賽 C2io=45場，每人比賽9場。每場比賽無論 比賽結果如何，比照賽雙方得分總奉獻為 2 分假設雙方打平的話，雙方各得 1 分；假

5、設有一方獲勝，那么勝方得2分，負方得0分，因此所有人總得分是 45X 2= 90分。根 據條件1，知道前兩名之間的比賽是平局，第一名的成績最多是2X 8+1 = 17分。因為他們得分各不相同，第二名的得分最多是 16分；根據條件 2，第三名的得分最多是 13分；那么第四名的得分最多是 12 分，第五名的得分最多是 11 分。根據條件 3，后 四名七至十名的得分和最多是 12 分。假設第五名得分缺乏 11 分，那么第五名得分最 多是10分，第六名的得分最多是9分，此時所有人的得分和W 17+16+13+12+10+9+12=89 V 90分，矛盾。假設不成立，即第五名的得分恰為11分。【息戎解析

6、】：設第三名為a,第四名為b，第五名為c第六名為d。10名同學單循環比賽就是每倆人干一場C21o=45,所以45場共90分。下面就是看看這個90分的分配。2a+20+2b+c+d=902(a+b)+c+d=70a+b 大于等于 c+d+4所以： 3(c+d)?62c>d， c=11 可以確定。因為考場上沒有時間驗證。只能直接去確定值。例三：【息戎解析】： 95*3-94*3 可以得到， A-D=3 可以排除 B 和 D 項例四 ：五個人的體重之和是 428 斤,他們的體重都是整數 ,并且各不相同 .那么體重最輕的人 , 最重可能是 ( ) 斤34解析：4235=84.3 拋開3，先看中間

7、值是84的連續五個數82、83、84、85、86, 最輕的提高一斤，就需要 5 斤來提高整體 .3 可以忽略掉。例五： 現有鮮花 21 朵分給 5 人，假設每個人分得的鮮花數目各不相同，那么分得鮮花最多 的人至少分得朵鮮花。A7 B.8 C 、 9 D.103解析：215=41，展開23456看最高的，余數只能加到6上。余數、倍數、 約數問題：例一：【息戎解析】：先確定A的值，A是5、6、7的公倍數，其中最小公倍數是210，因為他 們的和不超過 400 只有 210符合。B:5X+5=210C:6x+6=210D:7X+7=210解出來加和便得到， 210+41+34+29=314例二：三個連

8、續自然數依次是 11、 9、 7的倍數，并且都在 500-1500之間，那么這三個數的和是？A 3129B 3132C 3135D 3140【息戎解析】：三個數的和一定 9的倍數，“棄九法各位數字加和看是否是 9 的倍數。例三：一個自然數 ,被7除余 2,被8除余3,被9除余 1,1000以內一共有多少個這樣的自然 數有多少個？A 2B 3C 4D 5【息戎解析】：7n-5與8n-5的最小公倍數是56n-5可以化成56n+51,這個數與9n+1的最小公倍數可以寫成： 504n+X ,在 1 000內只有 n=0、1 符合。所以有兩個。【這里面X是一個大于51小于504的一個正整數，我們沒有必要

9、求出這個 數來】例四： ？【息戎解析】：此題考查的是中國剩余定理。先找，7、8的最小公倍數，被 9除余 3；7、9的最小公倍數，被 8整出余 4；8、9的最小公倍數，被 7整出余 6的。569=6.2, 2*6=12 除以 9 余 3,56*6 符合同理可以找到：能被7, 8整除，被9除余3的數為566=336能被8, 9整除，被7除余6的數為72X3=216學習文檔 僅供參考能被7, 9整除，被8除余4的數為63M=252804-504=300公式就是 :504n+300 最小值是 300.2 3 4 5 6 的最小公倍數是 60N=05 10 15 符合4】濃度問題例一：甲杯中有濃度為 1

10、7% 的溶液 400 克，乙杯中有濃度為 23% 的溶液 600 克。現在從 甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的 倒入甲杯中，使甲、乙兩杯溶液的濃度相同。問現在兩倍溶液的濃度是多少 ( )A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4% 解析：兩杯混合后溶液是 1000，通過尾數法直接選 B。【轉載天字一號】 鹽水交換問題例二：有甲乙兩杯含鹽率不同的鹽水，甲杯鹽水重12 0克，乙杯鹽水重8 0克.現在 從兩杯倒出等量的鹽水，分別交換倒入兩杯中這樣兩杯新鹽水的含鹽率相同從每杯 中倒出的鹽水是多少克？公式：交換量 =mn/(m+n)通過公式可以直

11、接得到例三： 某容器中裝有鹽水。老師讓小李再倒入 5%的鹽水 800 克，以配成 20%的鹽水。 但小李卻錯誤地倒入了 800 克水。老師發現后說，不要緊，你再將第三種鹽水 400 克倒 入容器，就可以得到 20%的鹽水了。那么第三種鹽水的濃度時多少？A20% B、30% C、40% D、 50%【息戎解析】：拆補法解題。因為 800 清水與 400 克溶液混合，再把它們分成 800 克 5%的溶液和400克20%的溶液。800*5%+400*20%=120120400*100%=30%例四：有濃度為30%的溶液假設干，加了一定數量的水后稀釋為 24%的溶液，如果再加 入同樣多的水后，濃度將變

12、為多少？【息戎解析】：設中間量24%為100克。所以溶質為24克原有溶液：2430%=80克，所以加了 20克水，再加20克水溶液變成120克。例五【十字交叉法】：容器中有某種濃度的酒精，參加一杯水后，容器中的純酒精含量為25%，再參加一杯純酒精，容器中的純酒精含量為 40%。問原來容器中有幾杯酒精，濃度是多少？【息戎解析】：10015140=2560m得到：m=4 ,4-仁3有三杯，X25325=0X-251可以解出X的值&&&&&&&&&&&&&&&&&&

13、amp;&&&&&&&&&&&&&&&4】排列組合例一：用1，2，3，4，5這五個數字組成沒有重復數字的自然數，從小到大順序排列： 1，2, 3, 4, 5, 12,，54321其中，第206個數是A. 313 B. 12345 C.325 D. 371解析：p5 1+P52 +P5 3+P54=205所以選B例二【變形題】：用1, 2, 3, 4, 5這五個數字組成沒有重復數字的自然數，從小到大順 序排列：1，2, 3, 4，5，12,解析：p5 1+P52*2 +P5 3

14、*3 =225第226 一定是1.例三：五個人站成一排，甲乙站在一起最后的站法共有種.【息戎解析】：甲乙站到一起P2 2，然后全排P44 -捆綁法例四：五個人站成一排，甲乙不站在一起最后的站法共有種：【息戎解析】：三個人全排p3 3有四個空，p4 2-插孔法例四：三邊長均為整數，且最大邊長為100的三角形的個數為A2500 個B2550 個C2600 個D2650 個【息戎解析】：100以內共有100個數可以選擇，以后每選擇一邊遞減2,行程等差數列。100+2*502=2550例五：將14封信投入23個郵筒，有多少種不同的投法？【息戎解析】：每個封信有23中選擇，共14封。所以是14個23相乘

15、23八14例六：8本不同的書，任選3本分給3個同學，每人一本，有多少種不同的分法？【息戎解析】：首先，C8 3然后p3 3【轉載自天字一號】P33，我們來看第一個同學可以有 3種書選擇，選擇完成后，第2 個同學就只剩下2種選擇的情況，最后一個同學沒有選擇。學習文檔僅供參考【變形題】8本不同的書，任選3本分給3個同學，有多少種不同的分法?【息戎解析】：C8 3，然后3八3。例七：從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出 3臺，其中至少要有甲型和乙型電視機 各1臺，那么不同的取法共有(A)140 種(B)84 種(C)70 種(D)35 種解析：C9 3- C43 -C53=70錯位排列：D仁0 D2

16、=1 D3=2D4=9 D5=44例八：五個瓶子都貼了標簽，其中恰好貼錯了三個，那么貼錯的可能情況有幾種？息戎解析：C5 3 *2例九：2名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，假設每個路口 4人，那么不同的分配方案共有C(4,12)C(4,8)C(4,4) _ 種【轉自天字一號】【解析】每個路口都按次序考慮第一個路口是C12取4第二個路口是C8取4第三個路口是C4取4那么結果是C12取4XC8取4XC4取4可能到了這里有人會說 三條不同的路不是需要P33嗎 其實不是這樣的 在我們從12人 中任意抽取人數的時候，其實將這些分類情況已經包含了對不同路的情況的包含。如果再沖33那么是重復考慮了

17、如果這里不考慮路口的不同即都是相同路口 那么情況又不一樣 因為我們在分配人數的時候考慮了路口的不同。所以最后要去除這種可能情況所以在上述結果的情況下要 ¥33 例十：在一張節目表中原有8個節目，假設保持原有節目的相對順序不變，再增加三個 節目，求共有多少種安排方法？【轉自天字一號】 先用一個節目去插9個空位，有P(9,1)種方法；再用另一個節目去插 10個空位，有P(10,1)種方法；用最后一個節目去插11個空位，有P(11,1)方法，由乘法 原理得：所有不同的添加方法為 P(9,1) >P(10,1) >P(11,1)=990種例一 :從10雙不同顏色的手套中任取3只，

18、顏色各不相同，問有多少種取法？【息戎解析】:C10 3 *2八3=120*8=960先取出、例十二：從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有 。(A)240(B)180(C)120(D)60【息戎解析】：先取顏色六種顏色先去一種，這種就是一雙，在從剩下五種顏色中取出兩種來，再從這兩種顏色中各取一只與完整的一雙來搭配。C61*C52*2八2=240【變形題】從6不同顏色各2雙的手套中任取 4只，其中恰好有一雙同色的取法有。六種顏色選一種，這一種顏色有兩種選擇，C61 *C21再選兩種顏色C52 *4八212*10*16=1920例十三：用0, 2,3,4, 5這五個數字，組成沒

19、有重復數字的三位數，其中偶數共有A . 24 個 B. 30 個 C. 40 個 D. 60 個【息戎解析】：此題我們先做出全部沒有重復數字的來，減去奇數的就是偶數的。C41*C41*C31-C21*C31*C31=30.首先，全部：百位只能安排 2345,先安排一個，十位安排剩下的四個，個位安排剩下的 三個。奇數：先安排個位，3和5,剩下4個，在安排百位，百位上不能安排 0所以只 能安排3個，剩下3個，取一個安排到十位上。例十四：八位同學出去野營，晚上他們在沙灘上玩游戲，游戲需要這八個同學圍成兩個四人的圓圈，請問一共有多少種方法？A720B900C1080D1260【息戎解析】：此題考查分組

20、問題，分成兩組就是C84A22 ,再就是圓圈全排列，A33A33， 答案選D例十五：4個不同小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子，那么恰有一個空盒的放法有 _ 種【息戎解析】：C42,把其中倆球捆到一起，放到4個盒子里面P43, C42*P43=6*4*3*2=144例十六：8塊奶糖和另外3個不同品牌的水果糖要放到編號為 1 11的盒子里面，每個盒 子至少放1個，有多少種方法？【息戎解析】：方法一：先挑出8個空來安排八塊奶糖，C11 8,剩下三個全排列P3 3. 方法二：直接安排3種奶糖，剩下的8個自然放到剩下的盒子里。就是 P11 3 兩種方法都得990.伎球問題核心公式的方法徽為w回I自

21、己的方法數為60珅,向傳給乙或者為方法數，與X第二讓近的整數仕是傳緒門已的方法數麗個人傳N次球，記X色匕1L,型與x愎接近的整數為傳給6非自己的某人円的M 如上圖之中.沁最按近伸數®第二接近的整數是娥朋處例十七：某人去A BCDE五個城市旅游，第一天去 A城市，第七天到E城市。如果他今 天在某個城市，那么他第二天肯定會離開這個城市去另一個城市，那么他一共有多少種 旅游行程安排？A204B205C819D820【息戎解析】：首先確定，從第一天開始到第七天，有 6次轉移，因為5個城市，因此， 底數是5-1，所以是4八6=4096,40965=819.2在這里我們想到“公務員精神第一選擇給

22、 別人，題目去的不是 A城市，最接近819,因此選C,如果回到A城市就選820。【變形題】：某人去A BCDE五個城市旅游，第一天去 A城市，第七天到E城市。那么他 一共有多少種旅游行程安排？A204B3125C819D820解析：此題從底數入手，第二天有 5種選擇，所以不需要減1【變形題】：某人去A BCDE五個城市旅游。如果他今天在某個城市，那么他第二天肯定會離開這個城市去另一個城市，共旅游七天。那么他一共有多少種旅游行程安排？【息戎解析】：答案是：5*4096。先設定其中一個城市，共有4八6種選擇。共有5個城市。 要乘以5.【變形題】：某人去A BCDE五個城市旅游，第一天去 A城市，第

23、二天到只能去CDE城 市，第三天去A城市，第七天回到A城市。如果他今天在某個城市，那么他第二天肯定會 離開這個城市去另一個城市，那么他一共有多少種旅游行程安排？【息戎解析】：3*1*4*4*4*4第一接近給別人154不給A, 153給A.5】行程問題例一：甲乙兩人同時從 A、B兩地出發相向而行，甲到達 B地后立即往回走，回到 A 地后，又立即向B地走去；已到達A地后立即往回走，回到B地后，又立即向A地走去。 如此往復，行走的速度不變，假設兩人第二次迎面相遇，地點距 A地500米，第四次迎 面相遇地點距B地700米，那么A、B兩地的距離是多少？【息戎解析】：這是典型的兩岸型相遇問題。 如果這個題

24、是第一次是距 A地500米，第二 次距B地700米我們可以用兩岸型公式得出500*3-700=800,但是這里問的是 第二次和第四次，這個公式就不實用了。需要我們繼 續推導。*條件：甲、乙兩車分別同時從 A、B兩地出發，各自到頭即返回。假設其m小于n第m次相遇距A點是a千米，第n次相遇距B點式b千米，全程為s 那么甲乙兩車兩次分別共走了 2m-1和2n-1個全程，甲走了(m-1)s +a,乙走了 ms-a，同樣 甲走了 ns-b，乙走了 (n-1)s+b，由于分別走的時間相同可以根據等量列等式：(m-1)s +a ms-a = ns -b(n-1)s+b化簡可以得到：S= (2n-1)a +

25、2m-1b m+n-1同樣我們來推導單岸型。條件：甲、乙兩車分別同時從 A、B兩地出發，各自到頭即返回假設其m小于n，第m次相遇距A點是a千米，第n次相遇距A點式b千米，全程為s 那么甲乙兩車兩次分別共走了 2m-1和2n-1個全程，第一次甲走了(m-1)s +a,乙走了 ms-a, 同樣甲走了 (n-1)s+b，乙走了 ns-b，由于分別走的時間相同m-1s+a ms-a =(n-1)s+b ns-b化簡得到：s=(2n-1)a - 2m-1)b n-m因此此題我們代入已經推導出來的公式：7*500+3*7002+4-仁1120通過推導出來的公式我們還可以發現：(2n-1)a -2m-1)b

26、中2n-1、2m-1為全程的個數。追擊問題：例二：一條街上，一個騎車人和一個步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3倍，每個隔10分鐘有一輛公交車超過一個行人。每個隔 20分鐘有一輛公交車超過一個騎車人，如果公交車從始發站每隔相同的時間發一輛車，那么間隔幾分鐘發一輛公交車？A 10 B 8 C 6 D 4解析：這到題的本質不是人與騎車人的相遇問題 ，而是公交車與人，公交車與騎車人的追 趕問題.因為發車間隔相同，公交車車速一樣，所以兩輛公交車的間距也一樣.我們不妨 設兩公交車的間距是 S,人的速度是V1,騎車人的速度是3V1,公交車的速度是V.假設第 一輛公交車超過人，那么據題意第二輛公交車超過

27、人是 10分鐘后,而此時人與第二輛距離 就是S,所以的得到S=10(V-V1),同理依據騎車人與公交車的關系可得S=20(V-3V1),兩個方程得V=5V1，間隔時間即T=S/V=40V1/5V1=8分鐘例三：某人沿電車線路行走，每12分鐘有一輛電車從后面追上，每4分鐘有一輛電車迎面 而來.2個起點站的發車間隔相同，那么這個間隔是多少？【息戎解析】：此題直接套公式。時間間隔t=2*t1*t2 t1+t22*12*412+4 =6我們來推導下這個公式：根據路程差 二速度差*時間條件：每t1分鐘有一輛電車從后面追上，每t2分鐘有一輛電車迎面而來，路程間隔為S設速度電車為V1人的速度為V2，S=t1

28、(v1-v2)S=t2(v1+v2)兩式合并得到：得到 V仁t1+t2v2 (t1-t2) t1+t2時間間隔 T=Sv=t1(v1-v2)v1代入化簡得到 T=2t1t2t1+t2例四：從甲、乙兩車站相對同時開出公車，此后兩站每隔 8分鐘再開出一輛，依次類推， 每輛車的車速相同且勻速，每輛車到達對方站都需 45分鐘，現 有一乘客坐甲站開 出的第一輛車去乙站，問他在路上會遇到幾輛從乙站開出的公共汽車？【息戎解析】：這個題我們要從總體上去考慮，假設路上有車那么每4分鐘遇到一輛，454=111共遇到11兩，但是因為乘客坐的是第一輛，所以要減去路程中的車。458=55,途中有5輛，11-5=6例五：

29、100名學生要到離校33千米處的少年宮活動.只有一輛能載 25人的汽車，為了 使全體學生盡快地到達目的地，他們決定采取步行與乘車相結合的方法.學生步行 速度為每小時5千米，汽車速度為每小時55千米.要保證全體學生都盡快到達目的地， 所需時間最少是？【息戎解析】：把100名學生分成4組，每組25人，每組步行3份路程，汽車代步一份。 將第一批人放到離終點3分路程，在離起點1份路程處接到第二那批人。此時汽車共行 走11份路程555=11，(11-1)2=5 總路程為1+5+3=9分路程。33/9=11/3(千米(11/3)*6/55=04(小時)(11/3)*3/5=2.2(小時)0.4+2.2=2

30、.6小時總結：汽車：人-12就是汽車占路程的分數。【變形題】：甲乙兩個班從A地到B地，A、B兩地相距100千米，甲班乘車先行，余下 的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那局部人，全部人員 同時到達。甲班速度為8千米/小時，乙班速度為5,汽車速度為40千米/小時。問使 團體全部成員同時到達,B地需要多少時間？【息戎解析】：首先，甲a/./b乙設甲班步行為a,乙班步行為b,當接甲班時，汽車走的路程為 408=5 故為5a,同理為 8b 。所以 4a=7b,a=7b4所以甲班：汽車(空車)：乙班=7b4:7b2:b=7:14:4此時我們總結出公式：甲班占路程份數 =汽車速度 乙

31、班-1 *2乙班占路程份數 =汽車速度甲班-1 *2空車占路程份數 =汽車速度甲班-1 *汽車速度 乙班 -13.5+1.8=5.3【變形題】：甲乙丙三個班從A地到B地，A、B兩地相距100千米，甲班乘車先行，余 下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那局部人，全部人 員同時到達。甲班速度為 8 千米/小時，乙班速度為 5，丙班速度為 10，汽車速度為 40千米/小時。問使團體全部成員同時到達 ,B 地需要多少時間？B 4.43 D5【息戎解析】：我們先推導下。分別設甲乙丙分別走了a b c段距離，接甲乙丙空車汽車走的路程是 S1 S2 S3量：速度是v1 v2 v3,，汽車的速度為V，總路程為S,可以求出汽車與他們的速度 比： n1 n2 n3所以：當甲班走a時，汽車就走n1 *a，S1空車路程就是：(n 1-1)a2同理得出，乙班、丙班的 S2 S3空車路程為，n2-1b2和(n3-1)c2我們知道：總路程S=a+b+c+空車所以： S1=S2=S3(n1-1)a2=n2-1 b2