1、離線考核組合數學（完整答案附后）滿分100分一、計算題（每小題10分，共60分。）1、求的展開式中的系數? 展開后合并同類項，則一共有多少項？2、求從1至1000的整數中能被14或21整除的整數的個數。3、一次宴會，7位來賓寄存他們的帽子，在取回他們的帽子時，問有多少種可能使得：（1）沒有一位來賓取回的是他自己的帽子？ （5分）（2）至少有一位來賓取回的是他自己的帽子？（5分）4、在平面上,對任意自然數n,連接原點O與點用表示線段上除端點外的整點個數,試求5、解遞推關系：。6、現有人手中有3張一元,2張2元和3張5元的錢幣,問該人都能買價值為多少的物品？對每種價值的物品他有幾種付款方法？ 二、

2、證明題（每小題20分，共40分。）1、證明： 。2、 證明：在任意給出的1998個自然數，中，必存在若干個數，它們的和能被1998整除。溫馨提示：完整答案附后 復制下一頁的答案到你的原卷離線考核組合數學滿分100分一、計算題（每小題10分，共60分。）1、求的展開式中的系數? 展開后合并同類項，則一共有多少項？答：在多項式的展開式中的項的系數是 =420.因為在它的展開式中不同項（合并同類項后）的個數等于從5個不同元素中有重復地取出7個元素的方法數，所以不同項的個數為。2、 求從1至1000的整數中能被14或21整除的整數的個數。解：設所求為N，令，以，分別表示中能被14和能被21整除的整數所

3、成之集，則 3、一次宴會，7位來賓寄存他們的帽子，在取回他們的帽子時，問有多少種可能使得：（1）沒有一位來賓取回的是他自己的帽子？ （5分）（2）至少有一位來賓取回的是他自己的帽子？（5分）.解：記7個來賓為，則7個來賓取帽子的方法可看成是由，作成的全排列：如果（17）拿了的帽子，則把排在第位，于是（1）沒有一位來賓取回的是他自己的帽子的取法種數等于7元重排數，即等于1854。（2）至少有一位來賓取回的是他自己的帽子的取法種數等于由，作成的至少有一個元保位的全排列數，為 4、在平面上,對任意自然數n,連接原點O與點用表示線段上除端點外的整點個數,試求解 線段的方程為 .如果n與互素,則不定方程

4、不存在適合的整數解,即如果n與不互素,則n與只能有公因數3,即可以設.則通過解不定方程,有整數點位于線段之上,且中間僅有這二個整數點,即.所以 5、解遞推關系：。解：特征方程為，特征根為，所以，其中，是待定常數，由初始條件得 解之得，所以 （）6、現有人手中有3張一元,2張2元和3張5元的錢幣,問該人都能買價值為多少的物品？對每種價值的物品他有幾種付款方法？ 解 令一元錢幣對應的能買物品的形式冪級數為；2元錢幣對應的能買物品的形式冪級數為；5元錢幣對應的能買物品的形式冪級數為,則該人能買物品對應的形式冪級數為所以,該人可以買價值分別為0,1,2,21,22元的物品,并且付款的方法數分別為0,1,2,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,2,1,1.二、證明題（每小題20分，共40分。）1、證明： 。證明 在牛頓定理中令,則有 (1)對上式兩邊的求微商,得到 .令t=1,我們就得到第一個結論. 如果我們對(1)式兩邊的進行次微商,則有.在上式兩邊同時除以r!,并令t=1,即可得到第二個結論.2、證明：在任意給出的1998個自然數，中，必存在若干個數，它們的和能被1998整除。證明：令，其中則，對任一個非負整數（01997），令 且除以1998所得余數為，則（，1，2，1997）且，如果，設是，則