1、定積分的發展史起源定積分的概念起源于求平面圖形的面積和其他一些實際問題。定積分的思想在古代數學家的工作中，就已經有了萌芽。比如古希臘時期阿基米德在公元前 240240 年左右，就曾用求和的方法計算過拋物線弓形及其他圖形的面積。公元 263263 年我國劉徽提出的割圓術，也是同一思想。在歷史上，積分觀念的 形成比微分要早。但是直到牛頓和萊布尼茨的工作出現之前（1717 世紀下半葉）， 有關定積分的種種結果還是孤立零散的，比較完整的定積分理論還未能形成， 直到牛頓-萊布尼茨公式建立以后，計算問題得以解決，定積分才迅速建立 發展起來。未來的重大進展，在微積分才開始出現，直到1616 世紀。此時的卡瓦

2、列利與他的 inin divisiblesdivisibles方法， 并通過費爾馬工作，開始卡瓦列利計算度N= = 9 9 N的積分奠定現代微積分的基礎，卡瓦列利的正交公式。1717 世紀初巴羅提供的第一個證明微積分基本定理。牛頓和萊布尼茨在一體化的重大進展是在 1717 世紀獨立發現的牛頓?和萊布尼茨的微積 分基本定理。 定理演示了一個整合和分化之間的連接。 這方面，分化比較 容易地結合起來，可以利用來計算積分。 特別是微積分基本定理，允許一個要解決的問題更廣泛的類。同等重要的是，牛頓和萊布尼茨開發全面的數學框架。由于名稱的微積分，它允許精確的分析在連續域的功能。這個框架最終成為現代微積分符

3、號積分是直接從萊布尼茨的工作。正式積分定積分概念的理論基礎是極限。人類得到比較明晰的極限概念，花了大約 20002000 年的時間。在牛頓和萊布 尼茨的時代，極限概念仍不明確。因此 牛頓和萊布尼茨建立的微積分的理論 基礎還不十分牢靠，有些概念還比較模糊，由此引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，并引發了“第二次數學危機”。經過十八、十九世紀一大批數學家的努力，特別是柯西首先成功地建立了極限理論，魏爾斯特拉斯進一步給出了現在通用的極限的定義，極限概念才完全確立，微積分才有 了堅實的基礎，也才有了我們今天在教材中所見到的微積分。現代教科書中 有關定積分的定義是由黎曼給出的。術語和符號艾薩克牛

4、頓以上的變量使用一個小豎線表示一體化，或放置在一個盒子里的 變量，豎線是很容易混淆。或牛頓用來指示分化和方塊符號打印機難以 重現，所以這些符號沒有被廣泛采用。16751675 年戈特弗里德萊布尼茨改編的積分符號從字母 S S (“總結”或總、/符號表示的整合；A和B B的下限和上限，分別一體化，定義域的融合；f是積，x在區間a,b上的變化進行評估；從歷史上看，黎曼嚴格解釋無窮小的早期努力失敗后，正式定義為積分的加權求和的限制，使有差別的限制（即間隔寬度）。黎曼的間隔和連續性的依賴的缺點促使了新的定義尤其是勒貝格積分， 這是建立能力， 延長了“措 施”，以更靈活的方式的想法。 因此，符號是指在分

5、區函數值 卩測量的重量被分配到每個值，加 權總和。 在這里，A表示一體化的地區。定積分既是一個基本概念，又是一種基本思想。定積分的思想即“化整為零-近似代替-積零為整-取極限”。定積分這種“和的極限”的思想，在高等數學、物理、工程技術、其他的知識領域以及 人們在生產實踐活動中具有普遍的意義，很多問題的數學結構與定積分中求“和的極限”的數學結構是一樣的，教材通過對曲邊梯形的面積、變速直線 運動的路程等實際問題的研究，運用極限方法，分割整體、局部線性化、以 直代曲、化有限為無限、變連續為離散等過程，使定積分的概念逐步發展建 立起來。可以說， 定積分最重要的功能是為我們研究某些問題提供一種思想 方法 （或思維模式）