1、第二章平面向量單元測試卷參考答案與試題解析一.選擇題共12小題,總分值60分,每題5分1.5分2021春？玉山縣校級期中以下命題中,正確的選項是A.有相同起點的兩個非零向量不共線rr一rjrrB.假設|a|b|且a/b,那么ab線共rb5rarrrrD,向量與b不共線,那么士與b都是非零向量【分析】由平面向量的定義及零向量的應用可依次對選項判斷【答案】解：A.有相同起點的兩個非零向量也可以平行,也稱為共線,因此A錯;rrrrBb充要條件是|a|b|且萬向相同,因此B錯；rrC.當b0時,不成立,因此C錯；r,rr,rD,向量a與b不共線,那么a與b都是非零向量,D對.應選：D.【點睛】此題考查

2、了平面向量的定義與零向量的應用,屬根底題.itmrirrn3ee2與beie2共線,2. 5分2021?新鄉三模設向量irme1,e2是平面內的一組基底,假設向量1A.一3【分析】由題得存在B.C.3D.3r,使得arb,得到關于,的方程組,解之即得解.,一.r,r,【答案】解：Q與b共線,rr存在實數R,使得ab,1rHl1THi即3e%(eg),故3,i,1-.3應選：B.【點睛】此題主要考查向量共線的應用,意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理水平,屬根底題.UULT1UULU3. (5分)(2021秋？禪城區期中)點M(3,2),N(5,1),且MP-MN,那么點P是()233A

3、.(8,1)B.(1,-)C.(1,3)D.(8,1)22【分析】設出P的坐標,利用向量相等,列出方程求解即可.【答案】解：設P(x,y),UJLT1UULJJI點M(3,2),N(5,1),且MP1MN,21一可得x3,(53),解得x1.1 -3y2(12),解得y-.2 23P(1萬)應選：B.【點睛】此題考查向量的坐標運算,向量的平行,是根底題.F的大小為10N,方向與水平面4. 5分2021秋？荊門期末如下圖,一力作用在小車上,其中力成60角.當小車向前運動10m時,那么力F做的功為A.100JB.50JC.50«JD.200J【分析】根據力F做功公式W|F|S|cos,計

4、算即可.【答案】解：力F做的功為W1010cos6050J.應選：B.【點睛】此題考查了平面向量的數量積計算問題,是根底題.r5.5分2021春？綿陽期末設向量ar(1,2),br(2,3),Cr.rr(1,1),右ambnc,(其中m,nrrrC.cd0為實數),d(m,n),那么()rrrrA.cdB.c/d【分析】利用向量相等、坐標運算性質、向量共線定理即可得出.r【答案】解：Qmbnr,(1,2)m(2,3)n(1,1)(2mn,3mn),2mn13mnrrrd(1,1),cd.rrc/d,【點睛】此題考查了向量相等、坐標運算性質、向量共線定理,考查了推理水平與計算水平,屬于根底題.r

5、runrrrunrrrujirrr6. 5分2021秋？南昌期末非零向量占、b,且ABa2b,BC5a6b,CD7a2b,那么一定共線的三點是A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D【分析】證實三點共線,借助向量共線證實即可,故解題目標是驗證由三點組成的兩個向量共線即可得到共線的三點uuurunrunrrrrrrruuu【答案】解：由向量的加法原理知BDBCCD5a6b7a2b2a4b2AB,又兩線段過同點B,故三點A,B,D一定共線.應選：A.【點睛】此題考點平面向量共線的坐標表示,考查利用向量的共線來證實三點共線的,屬于向量知識的應用題,也是一個考查根底知識的基此題型.rr

6、rr一rrrr.r,7. 5分2021秋？南關區校級期末非零向量a,b滿足|b|4|a|,且a2ab,那么a與b的夾角為A.一3【分析】由題意可得可得B.一2rrrr2ag(2ab)2aagrC.3r0,設a與b的夾角為D.之6,求得cos1,一,一1,結合的范圍,2求得的值.【答案】解：由非零向量1一,2,又由于0,所以a,b滿足懶141a,且a(2ab),可得a?2ab)22as0,設a與b的夾角為,那么有2|a/a|g4|a|gcos【點睛】此題主要考查向量的數量積運算與向量夾角之間的關系,采用兩向量垂直時其數量積為零來進行轉化.本體屬于根底題,注意運算的準確性.uuuruuiruuuu

7、uuu8. 5分2021?福州一模在邊長為3的等邊ABC中,點M滿足BM2MA,那么CMgCAC.6D.15-2【分析】將uuuuCM轉化為三角形邊上的向量后再相乘可得.依題意得:urnuiuun1um2uuruun1uunuuriCMgCA(-CB-CA)gCACBgDA3332uunurn-CAgDA【答案】解:【點睛】此題考查了平面向量數量積的性質及其運算,屬根底題.r9.5分2021秋？懷仁市校級月考向量a(2,3),(1,2),假設,r(marnb)/(ar2b)于A.2B.2C.【分析】利用向量的共線的充要條件,求出mn的關系,即可得到結果.【答案】解：向量ar(2,3),b(1,

8、2),rmanb(2mn,3ma2b(4,1),r(marrnb)/(a可得:12m8nuuirD是邊BC上一點,且BDunr3DC,應選:【點睛】此題考查向量共線的充要條件的應用,考查計算水平.uurruuir10.5分2021春？沈陽期末如圖,O是ABC的重心,ABa,ACc1212【分析】由uuirB.OD1r一a1212uiurD.OD1ra1212O為ABC的重心,那么點E為BC的中點,且uurAOuuiruuir2OE,AE1uuuuur-(ABAC)uuruuirBD3DC,得：D是BC的四等分點,應選：A.再利用平面向量的線性運算可得那么uuuruurODOEuuir1uurE

9、DAE31uur11uuuBC(AB432uuur1uurAC)-(ACuurAB)1ra122b,故得解12【答案】解:如圖,延長AO交BC于E,由O為ABC的重心,那么點E為BC的中點,且uurAOuuiruuir1uuu2OE,AE-(AB2uurAC)由uurBDuur一3DC,得:D是BC的四等分點,那么uuirODuuruur1uurOEED-AE31uur11uur-BC(AB432uurAC)1uur-(AC4uurAB)1ra1251rb,12【點睛】此題考查了平面向量的根本定理及重心的特征,屬中檔題.11.(5分)(2021?濰坊模擬)點A(1,0),B(0,1),點C在第

10、二象限內,5uurAOC,|OC|2,且6uurOCuurOAuurOB的值分別是1,3B.3,1由易得:uuuuurOA(1,0),OB(0,1),uur-uuuOC(J3,1),進而由OC1uuuuuuOAOB,得到,的值.【答案】解：Q點A(1,0),B(0,1),muruuuOA(1,0),OB(0,1),5UULTQAOC,|OC|2,6luut55OC(2cos,2sin)(,.3,1),66LUUTUUUUUTQOCOAOB,(3,1)(,)即3,1,應選：B.其中根據平面向量的根本定理構造關于【點睛】此題考查的知識點是平面向量的根本定理及其意義,的方程是解答的關鍵.二.填空題(

11、共4小題,總分值20分,每題5分)12.(5分)(2021?寶山區一模)r向量a(1,2),b(0,3),那么b在a的方向上的投影為還5r【分析】根據投影公式為|b|cos二華,代值計算即可.|a|【答案】解：由于向量a(1,2),(0,3),r那么b在a的方向上的投影為r|b|cosrra86而5故答案為：6-55【點睛】此題主要考查向量投影的定義及求解的方法,公式與定義兩者要靈活運用.解答關鍵在于要求熟練應用公式.rrrrrrrrrrrrr13.(5分)(2021?南通模擬)平面向量a,b,c酒足：|c|1,bc2a,且|b|bc|,那么(ab)gc的值為_14rrc/曰r2rrr22區r

12、rr曰r2rrr2r2【分析】由bc2a可得,b2bgDc4a;由|b|bc|可得,b2bgcb,從而可求出bgca242.而根據bc2a可得出b2ac,從而得出a/a2-b2L這樣即可求出(ab)gc的444值.【答案】解：Qbc2a,b22bc£412rrrQ|b|bc|,rb2rcrcrb22rb2rrr2r2得,4bgc4ab,rrr212bgca-b,4rrrrrr由bc2a得,2acb,j2/rrr212rr2a1b24a4agbcb,且|c|1,rrr21,r212agca-b-c44rrr(ab)gDrrrrag：bgc故答案為：1.uuu2uur(AB-AD),4【

13、點睛】此題考查了向量數量積的運算,考查計算水平,屬于中檔題.14.5分2021秋？濟南期末平行四邊形ABCD中,M為CD的中點,點UULTUUTN滿足BN2NC,右uurABuuuuAMuurAN,那么的值為1一2【分析】所以uuuABuuurAMuultANUULT(AD1uuu-AB)2uuu(AB2UULT-AD,整理后結合向量根本定理即可求解.3【答案】解：平行四邊形ABCD中,M為CD的中點,點“UULTUULTN滿足BN2NC,所以uurABUUUTAM2UULT1()AD(-32LUITLUir1iurAN(AD-AB)uuu)AB,那么根據平面向量根本定理可得,解可得,1,那么

14、1,2故答案為：1.2【點睛】此題主要考查了向量的線性表示及平面向量根本定理的簡單應用,屬于根底試題.三.解做題共6小題,總分值70分1ul0ruunrrr15.10分如圖,在梯形ABCD中,DC1AB,E為AB的中點,設AEa,CEb,試用a,b表2示以下向量:uuuBE;uur(1)AD;uurCD;(3)uur(4)ED;(5)uurAC;(6)uuuCB.【分析】根據平面向量的加法與減法運算的幾何意義,結合圖形,寫出結果即可.【答案】解：梯形ABCD中,DC1AB,E為AB的中點,2-uurruuur且AEa,CEb;uuruuruur(1)ADECCE(2)uurCDLULEAuur

15、AEa,LLUurna,(3)BEEA(4)uurEDLUUEAUUITADrarb,Luuruuruuurar(5)ACAEECb,uuuuuruuurrar(6)CEDEEDb【點睛】此題考查了平面向量的線性運算問題,向量的加減運算是用向量解決問題常用的方法,是根底題目.16.12分2021秋？赫山區校級期末112,2,求與a垂直的單位向量1r的坐標;一,r,rrr,r2a3,2,b2,1,假設ab與arb平行,求實數的值.,一r2x2y0八、-【分析】(1)設C(x,y),那么有22,解之可得;xy1一,-rrrr,(2)可得向量ab與ab的坐標,由平行可得關于實數的方程,解之即可.【答

16、案】解：(1)設C(x,y),那么有2x2y0(3分)22xy1解得亞2點一2eXy-2-(6分)rr(2)Qab(32,2rr_1),ab(32,2)(8分)rr,r由于ab與arb平行,所以(3化簡可得210,解得1.(12分)2)(2)(21)(32)0(10分)【點睛】此題考查平面向量的平行于垂直的應用,涉及模長公式,屬根底題.r一一r一.一rlr17.(12分)2021春？鞍山期中)向量士與向量b的夾角為45,其中|aQ2,b1.rr(1)求a2b的值；(2)假設向量2ab與a3b的夾角是銳角,求實數的取值范圍.rrr【分析】(1)根據條件可求出agD1,從而可求出(a2b)2io,

17、從而得出m2bJ10；rrrrrr(2)根據2ab與a3b的夾角是銳角即可得出(2ab)&a3b)0,并且2ab與a3b不同rrrr向.根據(2ab)da3b)0即可得出1a6,根據2ab與a3b不同向即可彳#出J6,從而得出的取值范圍.,一r一一r一r-r【答案】解：(1)Q向量a與向量b的夾角為45,且aJ2,b1;rr2(a2b)r2rra4agbr2°“4b24410;|<r2b|10;,、一r(2)Q2ar,rr-b與a3b的夾角是銳角;rrrr(2abK3b)0,且2ab與53b不同向；小rrrrr22rrr22(2ab)g(a3b)2a(6)aS3b4(6

18、)30;解得16；一.rr,rrrrrr-2k當2ab與a3b同向時,設2abk(a3b),k0,那么：3k解得k.6;k6;綜上得,實數的取值范圍為(1,而)u(V6,6).【點睛】考查向量夾角的概念,向量數量積的運算及計算公式,向量長度的求法,共線向量根本定理.18. (12分)(2021秋？閔行區期中)平行四邊形OABC中,假設P是該平面上任意一點,那么滿足umruuuuunOPOAOB(,R).(1)假設P是BC的中點,求的值；(2)假設A、B、P三點共線,求證：1.iuur1uuuuuu1【分析】(1)P是BC的中點時,可得出OP-OAOB,從而根據平面向量根本定理得出-；22uuu

19、r,uiuuuuuuuuuruuuuuu(2)根據A,B,P二點共線可得出AP與AB共線,從而得出APkAB,進而彳#出OP(1k)OAkOB,這樣根據平面向量根本定理即可得出1.,uuur1uuuuuir1uuruuuuuu1uuuum【答案】解：(1)右P是BC的中點,那么OP-(OBOC)-(OBOBOA)OAOB,222uuuiuuuuuu又OPOAOB,-根據平面向量根本定理得,2,11一；2(2)證實：QA,B,P三點共線,uuruuuAP和AB共線,uuuiur存在實數k,使APkAB,LuuuuuuuuuunOPOAk(OBOA),uuruuuuuuOP(1k)OAkOB,uu

20、iuuuuuu又OPOAOB,根據平面向量根本定理得,1kk1.【點睛】此題考查了向量加法的平行四邊形法那么,共線向量和平面向量根本定理,以及向量減法的幾何意義,向量的數乘運算,考查了計算和推理水平,屬于根底題.uuuuuuuujr19. (12分)(2021春？遼寧期末)如圖,OP(2,1),OA(1,7),OB(5,1),設Z是直線OP上的一動點.uruuuuuu(1)求使ZAgZB取最小值時的OZ；(2)對(1)中求出的點Z,求cosAZB的值.【分析】(1)運用向量共線的坐標表示,求得向量ZA,ZB的坐標,由數量積的標準表示,結合二次函數的最值求法,可得最小值,及向量OZ;(2)求得t2的向量ZA,ZB,以及模的大小,由向量的夾角公式,計算即可得到.【答案】解：(1)QZ是直線OP上的一點,uuruuuOZ/OP,uuuuuu設實數t,使OZtOP,uurOZt(2,1)(2t,t),uuruuruuir那么ZAOAOZ(1,7)(2t,t)(12t,7t),uuuuuuuuuZBOBOZ(5,1)(2t,t)(52t,1t).uruuuZAgZB(12t)(52t)(7t)(1t)2-一一25t20t125(t2)8.uuruur當t2時,ZAgZB有最小值8uuur此時OZ(2t,t