1、5-5-4. 中國剩余定理及余數性質拓展教學目標1. 系統學習中國剩余定理和新中國剩余定理2. 掌握中國剩余定理的核心思想，并靈活運用知識點撥一、中國剩余定理 中國古代趣題（1）趣題一中國數學名著孫子算經里有這樣的問題：“今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？”答曰： “二十三。 ”此類問題我們可以稱為“物不知其數 ”類型，又被稱為“韓信點兵 ”。韓信點兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3 人一列余1 人、 5 人一列余2 人、 7 人一列余 4 人、 13 人一列余6 人 。劉邦茫然而不知其數。我們先考慮下列的問題

2、：假設兵不滿一萬，每5 人一列、 9 人一列、 13 人一列、 17 人一列都剩3 人，則兵有多少？首先我們先求5、 9、 13、 17 之最小公倍數9945 （注：因為5、 9、 13、17 為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積） ，然后再加3，得 9948（人）。孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之后，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。中國剩余定理（ Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數學中占有一席非常重要的地位。（ 2）趣題二我國明朝有位大數學家

3、叫程大位，他在解答“物不知其數 ”問題（即：有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？）時用四句詩概括出這類問題的優秀解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正月半，除百零五便得知”這首詩就是解答此類問題的金鑰匙，它被世界各國稱為“中國剩余定理 ”（ Chinese RemainderTheorem），是我國古代數學的一項輝煌成果詩中的每一句話都表示一個步驟：三人同行七十稀，是說除以3 所得的余數用70 乘五樹梅花廿一枝，是說除以5 所得的余數用21 乘七子團圓正月半，是說除以7 所得的余數用15 乘除百零五便得知，是說把上面乘得的3 個積加起來，減去105 的

4、倍數，減得差就是所求的數此題的中國剩余定理的解法是：用70 乘3 除所得的余數，21 乘5 除所得的余數，15 乘7 除所得的余數，把這3 個結果加起來，如果它大于105，則減去105，所得的差如果仍比105 大，則繼續減去105，最后所得的整數就是所求也就是270321215233 ， 233105128 ， 12810523為什么70， 21， 15， 105 有此神奇效用？70， 21， 15， 105 是從何而來？先看70，21，15，105 的性質：70 被3 除余1，被5， 7 整除，所以70a 是一個被3 除余a 而被5 與7 整除的數； 21 是 5 除余 1，被 3 與 7

5、整除的數，因此21b 是被 5 除余 b，被 3 與 7 整除的數；同理15c是被 7 除余 c，被 3、 5 整除的數， 105 是 3，5，7 的最小公倍數也就是說，70a21b15c 是被 3 除余a，被 5 除余 b，被 7 除余 c 的數，這個數可能是解答，但不一定是最小的，因此還要減去它們的公倍數了解了 “剩余定理 ”的秘密后，對類似于上面的題目，我們都可以用中國剩余定理來解答二、核心思想和方法對于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以孫子算經中的問題為例，分析此方法:今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？題

6、目中我們可以知道，一個自然數分別除以3，5， 7后，得到三個余數分別為2，3， 2.那么我們首先構造一個數字，使得這個數字除以3 余 1，并且還是5 和先由 5735 ，即 5 和 7 的最小公倍數出發，先看7 的公倍數。35 除以 3余2，不符合要求，那么就繼續看5 和7 的“下一個 ”倍數 35270 是否可以，很顯然70 除以3 余 1類似的，我們再構造一個除以5 余最后再構造除以7 余 1，同時又是1，同時又是3 和 7 的公倍數的數字，顯然21 可以符合要求。3， 5 公倍數的數字，45 符合要求，那么所求的自然數可以這樣計算：270321245k3,5,7233k3,5,7，其中k

7、 是自然數。也就是說滿足上述關系的數有無窮多，如果根據實際情況對數的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數。例如對上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數”，那么我們可以計算27032124523,5,723 得到所求如果加上限制條件 “滿足上面條件最小的三位自然數”,我們只要對最小的23加上 3,5,7 即可，即 23+105=128 。例題精講模塊一、余數性質綜合【例 1 】一個數除以3 的余數是2，除以 5 的余數是1，則這個數除以15 的余數是【考點】余數性質綜合【難度】 1 星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4 年級，初賽，8 題【解析】 除以 3 余 2 的數有： 2、 5、

8、8、 11、14除以 5 余 1 的數有： 1、 6、 11、16、 21觀察得到符合條件的答案是11。【答案】11【例2 】有一群猴子正要分56 個桃子每只猴子可以分到同樣個數的桃子。這時又竄來4 只猴子。只好重新分配，但要使每只猴子分到同樣個數的桃子，必須扔掉一個桃子則最后每只猴子分到桃子_個。【考點】余數性質綜合【難度】2 星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，六年級，初賽，第19題，6分【解析】 56 的約數有： 1、 2、 4、 7、8、 14、 28、 56,55 的約數有： 1、 5、11、55，其中只有11=7+4 ，所以原來有7 只猴，后來有11 只猴，每只猴子分到55 ÷

9、;11=5 個 .【答案】 5【鞏固】一群猴子分桃，桃子共有56 個，每只猴子可以分到同樣多的桃子。但在它們正要分桃時，又來了4只猴子，于是重新分配這些桃子，結果每只猴子分到的桃子數量相同，那么最后每只猴子分到個桃子。【考點】余數性質綜合【難度】 2 星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，復賽，第7題，4分【解析】56 的因數有1，2， 4， 7， 8， 14，28， 56，其中只有4 和 8 相差 4，所以最后有猴子8 只，每只猴子分到 56 ÷8 7 個桃子。【答案】 7【例 3 】 一個小于 200 的數，它除以 11 余 8，除以 13余 10，這個數是幾？【考點】余數性質

10、綜合【難度】 3 星【題型】解答【解析】 根據總結，我們發現這兩個除數與余數的差都等于118=13 10=3 ，觀察發現這個數加上3 后就能同時被 11 和 13 整除 ,所以 11 、13=143 ，所以這個數是143-3=140 。【答案】140【鞏固】不足 100 名同學跳集體舞時有兩種組合：一種是中間一組5 人，其他人按8 人一組圍在外圈；另一種是中間一組8 人，其他人按5 人一組圍在外圈。問最多有多少名同學?【考點】 余數性質綜合【難度】 3 星【題型】填空【關鍵詞】華杯賽，初賽，第10 題【解析】 此題實際是一個不足100 的整數，減去5 能被 8 整除，即除以8 余 5，減去 8

11、 能被 5 整除，即除以余 3，求其最大值。13 除以 8 余 5，除以 5 余 3， 8 和 5 的最小公倍數為40，13 2 ×40 93，為滿足條件的整數，即最多有93 名同學。5【答案】93【例 4 】5 年級 3 班同學上體育課，排成 3 行少 1 人，排成 4 行多 3 人，排成 5 行少 1 人，排成 6 排多 5 人，問上體育課的同學最少_ 人。【考點】余數性質綜合【難度】 2 星【題型】填空【關鍵詞】小數報，初賽【解析】 題意相當于：除以3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5，這樣我們根據總結知道都只能缺 ”，所以都缺1，這樣班級人數就是3

12、、 4、 5、 6-1=60-1=59 人。“湊【答案】59【鞏固】有一個自然數，除以2 余 1，除以3 余 2，除以是。【考點】余數性質綜合【難度】 2 星【題型】填空【關鍵詞】華杯賽，五年級，決賽，第7題， 10分【解析】 這個數加 1 能同時被 2 ， 3， 4， 5，6 整除，而4 余 3，除以5 余 4，除以2 ， 3，4，5，6=606 余5，則這個數最小所以這個數最小是60 1=59 。【答案】 59【鞏固】 n 除以 2 余 1，除以 3 余 2 ，除以【考點】余數性質綜合【難度】 2 星4余 3，除以 5余4，【題型】填空，除以16 余 15 。 n 最小為。【關鍵詞】走美杯

13、，5 年級，決賽，第1題，8分【解析】n 加上 1后變成 116 的公倍數，所以n1 最小為 1695711 13720720 ， n 最小為720719 。【答案】720719【鞏固】小朋友們要做一次“動物保護” 宣傳活動， 若 1 人拿 3 個動物小玩具， 則最后余下2 個動物小玩具；若 1 人拿 4 個動物小玩具，則最后余下 3 個動物小玩具；若 1 人拿 5 個動物小玩具，則最后余下 4 動物小玩具。那么這次活動中小朋友至少拿了 _個動物小玩具。【考點】余數性質綜合【難度】2 星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，3 年級，第9 題【解析】 那么再加一個玩具，玩具總數就能同時被3,4,5整

14、除，能同時被3,4,5整除最小整數位60 。所以這次活動小朋友至少拿了59 個玩具。【答案】59【鞏固】小朋友們做游戲，若3 人分成一組，則最后余下2 人；若4 人分成一組，則最后余下3 人；若5 人分成一組，則最后余下4 人。那么一起做游戲的小朋友至少有人。【考點】余數性質綜合【難度】2 星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，復賽，第15題，6分【解析】 這個數除以3 余2，除以4 余3，除以5 余4，那么加上一個人這些小朋友的數量能整除3、 4、5，3×4×5=60，那么小朋友至少59 人【答案】59【例 5 】一個自然數被7，8， 9 除的余數分別是1，2， 3，并

15、且三個商數的和是570，求這個自然數【考點】余數性質綜合【難度】 2 星【題型】解答【解析】 這個數被 7，8，9 除的余數分別是1，2，3，所以這個數加上6 后能被 7，8，9 整除，而 7,8,9504 ，所以這個數加上6 后是 504 的倍數由于這個數被7， 8， 9 除的三個商數的和是570，那么這個數加上 6 后被被 7， 8， 9 除的三個商數的和是570111573 ，而504950485047787989191 ， 5731913 ，所以這個數加上6 等于504 的 3 倍，這個數是504361506 【答案】1506【例6 】數 119 很奇特：當被2 除時，余數為除時，余數

16、為4；當被 6 除時，余數為1；當被 3 除時，余數為2；當被 4 除時，余數為5問：具有這種性質的三位數還有幾個？3；當被5【考點】余數性質綜合【難度】3 星【題型】解答【解析】 1，2， 3， 4， 5， 660 三位數中60 的倍數15 個所以，除了119 外，還有 15114 （個）【答案】14【鞏固】有一批圖書總數在1000 本以內， 若按 24 本書包成一捆， 則最后一捆差2 本；若按 28 本書包成一捆，最后一捆還是差2 本書；若按32 本包一捆，則最后一捆是30 本那么這批圖書共有本【考點】余數性質綜合【難度】 3 星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，六年級，初賽，3 題【解析】由

17、題意可知，這批書如果再多2 本，那么按24本， 28 本， 32 本一捆全書時，都將恰好分成整數本.所以這批書的本數加上2 之后是 24 ， 28 ， 32 的公倍數，而24,28,32672 ，所以這批書的本數是672k2 ( k 是整數 ).由于這批書少于1000 本，所以 k 只能為 1，這批書有670本 .【答案】 670 本【例 7 】某個自然數除以2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 1，除以 5 也余 1，則這個數最小是。【考點】余數性質綜合【難度】 3 星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第5題，6分【解析】 除以 2 余 1，除以 4 余 1，除以5 余 1

18、的最小的數減去1 能被 2、 4、5 整除，所以，所以這個數可以表示為 20n+1,n 是自然數，所以20n+1 中除以 3 余 2 的最小數是 41.【答案】41【例 8 】 一個大于10 的自然數， 除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么滿足條件的自然數最小為多少？【考點】余數性質綜合【難度】 4 星【題型】解答【解析】 根據總結， 我們發現三個數中前兩個數的除數與余數的和都是53718，這樣我們可以把余數都處理成8，即一個數除以5 余 3 相當于除以 5 余 8，除以 7 余 1 相當于除以7 余 8，所以可以看成這個數除以 5、7、 9 的余數都是8，那么它減去 8

19、 之后是 5、 7、 9 的公倍數而 5,7,9315 ，所以這個數最小為315 8323【答案】 323【鞏固】一個大于10 的數，除以3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，問滿足條件的最小自然數是多少？【考點】余數性質綜合【難度】 4 星【題型】解答【解析】 法 一：仔細分析可以發現3215273、 5、 11 除余 7，由于，所以這個數可以看成被3, 5,11165，所以這個數最小是1657172 法二：事實上，如果沒有“大于 10 ”這個條件， 7 即可符合條件，所以只需要在7 的基礎上加上3、5、11 的最小公倍數，得到172 即為所求的數【答案】172【例 9】a 是一

20、個三位數 .它的百位數字是4， a9 能被 7 整除， a7 能被 9 整除，問 a 是多少？【考點】余數性質綜合【難度】 4 星【題型】解答【解析】 a 9 能被7 整除，說明 a97a2能被 7 整除； a 7 能被 9 整除，說明 a 7 9a 2能被 9整除；7963 ，則 63261符合上述兩個條件.(因 63261，則 a 可以寫成這樣的形式：a 63?61).又 a 是一個百位數字是4 的三位數，估算知，a63661439 .【答案】439【例 10 】一個八位數，它被3 除余 1，被 4 除余 2，被 11 恰好整除，已知這個八位數的前6 位是 257633，那么它的后兩位數字

21、是_ 。【考點】余數性質綜合【難度】4 星【題型】填空【關鍵詞】101 中學，入學測試【解析】 設后面這個兩位數為ab，前面數字和為26 除以3 余2，所以補上的兩位數數字和要除以3 余2。同理要滿足除以4 余2；八位數中奇數位數字和為（2+7+3+ a）,偶數位數字和為（5+6+3+ b）這樣要求a=b+2，所以滿足條件的只有86。【答案】 86模塊二、中國剩余定理【例11 】 “民間流傳著一則故事韓信點兵 秦朝末年，楚漢相爭一次，韓信將1500 名將士與楚王大將李鋒交戰苦戰一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人忽有后軍來報，說有楚軍騎兵追來，韓信便急速點兵迎敵他命令士兵3 人一排，結

22、果多出2 名；接著命令士兵5 人一排，結果多出3 名；他又命令士兵7 人一排，結果又多出2 名韓信馬上向將士們宣布：我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人”根據故事中的條件，你能算出韓信有多少將士么？【考點】中國剩余定理【難度】【分析】 也就是說：一個自然數在3 星1000 和【題型】解答 1100 之間，除以3 余2，除以5 余3，除以7 余2，求符合條件的數方法一：先列出除以再列出除以3 余5 余2 的數： 2，5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，3 的數： 3，8， 13， 18， 23， 28，；這兩列數中，首先出現的公共數是8

23、3 與5 的最小公倍數是15兩個條件合并成一個就是 815整數，列出這一串數是8，23， 38，再列出除以7 余2 的數2， 9， 16， 23，30，就得出符合題目條件的最小數是23而 3， 5， 7105 ，我們就把題目轉化為：求 1000 1100 之間被105 除余23 的數韓信有10510231073 （個）將士方法二：我們先找出被3 除余 2 的數： 2， 5， 8，11， 14， 17，20， 23，26， 29， 32， 35， 38， 41，44；被 5 除余 3 的數： 3， 8， 13，18， 23，28， 33，38， 43，48， 53，58；被 7 除余 2 的數：

24、 2， 9， 16，23， 32，37， 44，51三個條件都符合的最小的數是23，以后的是一次加上3， 5， 7 的公倍數，直到加到和 1100 之間結果是23105101073 具體到實際的做題過程中時，從較大的除數開1000始做會方便一些方法三：利用程大位的解法，將題目轉化為：求233 加上105 的倍數在1000 1100 之間的數通過嘗試可以求出這個數是23310581073 【答案】1073【例12 】一個數除以3 余2，除以5 余3，除以7 余 4，問滿足條件的最小自然數_.【考點】中國剩余定理【難度】3 星【題型】填空【解析】 方法一、根據總結，我們發現前面兩種都不符合，所以我

25、們只能用最普遍的“中國剩余定理”：3、 5 的公倍數3、 7 的公倍數5、 7 的公倍數15304521426335701056084140找出除以7 余4 的除以5 余3除以3 余2可以找出分別是：606335可見 60+63+35=158 滿足我們的條件， 但不是最小的自然數， 處理方法就是減去最小公倍數的若干倍，使結果在最小公倍數之內。所以答案為：158-105=53 。方法二：逐步構造符合條件的最小自然數，首先求符合后面兩個條件的最小自然數，依次用 7 的倍數加 4，當 4 被加上兩個 7 時得到 18，恰好除以 5 余 3，此時符合后兩個條件；再依次用 7 和 5 的最小公倍數的倍數

26、加 18，當 18 被加上 1 個 35 個，得到 53，檢驗符合三個條件 所以所求的最小自然數就是 53.【答案】 53【例 13 】一個自然數在1000 和 1200 之間，且被3 除余【考點】中國剩余定理【難度】 3 星【題型】解答【解析】 方法 1：中國剩余定理1，被5 除余2，被7 除余3，求符合條件的數3、 5 的公倍數3、7 的公倍數5、7 的公倍數15304560214263843570105140找出除以7 余3 的除以5 余2除以3 余1可以找出分別是：454270可見45+42+70=157滿足我們的條件， 但不是1000 到 1200 之間的數， 處理方法就是加上最小公

27、倍數的若干倍，使結果在最小公倍數之內。所以答案為：10510521102 。方法2：我們先找出被3 除余1 的數：1， 4， 7， 10， 13， 16， 19， 22， 25，28， 31，34， 37，40， 43，46， 49，52， ；被 5 除余 2 的數： 2， 7， 12，17， 22，27， 32，37， 42，47， 52，57， ；被 7 除余 3 的數： 3， 10， 17， 24， 31， 38， 45， 52， ；三個條件都符合的最小的數是52，其后的是一次加上3、5、 7 的最小公倍數，直到加到1000 和1200 之間結果是 105 1052 1102 方法 3：

28、先列出除以3 余 1 的數： 1， 4， 7， 10， 13， 16， ；再列出除以5 余 2 的數： 2， 7， 12， 17， 22， 27， ；這兩列數中，首先出現的公共數是7 3 與 5 的最小公倍數是15兩個條件合并成一個就是7 15 整數，列出這一串數是 7， 22， 37，52， ；再列出除以 7 余 3 的數：3， 10， 17， 24， 31， 38， 45， 52， ；就得出符合題目條件的最小數是52事實上，我們已把題目中三個條件合并成一個：被105 除余 52那么這個數在1000和 1200之間，應該是105 10 52 1102 方法 4：設這個自然數為a ，被 3 除

29、余 1，被 5 除余 2，可以理解為被3除余 3 2 1，被 5除與 52，所以滿足前面兩個條件的a 15m 7( m 為自然數 )，只需 15m 7除以 7余 3，即 15m 除以 7 余 3，而 15 7 2 1 ，只需 m 除以 7 余 3，m 最小為 3，所以滿足三個條件的最小自然數為315752，其后的是一次加上3、5、7 的最小公倍數，直到加到 1000 和 1200 之間結果是 10510521102 【答案】 1102【例 14 】一個數除以3、 5、7、 11 的余數分別是2、3、 4、 5，求符合條件的最小的數【考點】中國剩余定理【難度】 3 星【題型】解答【解析】 法一：

30、將 3、 5、 7、11 這 4 個數 3 個 3 個一起分別計算公倍數，如表：3、5、7 的公倍數中被 11 除余 5 的數不太好找， 但注意到 210 除以 11 余 1，所以 2105 1050被 11 除余 5，由此可知 770693165 10502678 是符合條件的一個值，但不是最小值，還需要減去 3、 5、7、 11 的公倍數使得它小于它們的最小公倍數由于3、5、 7、 11 的最小公倍數是 1155，所以 2678 1155 2368 是符合條件的最小值法二：對于這種題目，也可以先求滿足其中3 個余數條件的，比如先求滿足除以3、 5、7的余數分別是 2、3、4 的，既可采用中

31、國剩余定理，得到702213154263 是滿足前3 個余數條件的，從而其中最小的是263 105 2 53 ；由于 53 除以 11 的余數為 9，105 除以 11 的余數為 6，可知 9 6 3 27 除以 11 的余數為 5，所以 53 105 3368是滿足條件的最小數 也可以直接觀察發現這個數乘以2 之后除以 3、5、7 的余數分別是4、6、8，也就是除以 3、5、7 的余數都是 1，所以滿足前三個條件的數最小為(3571)253 ，后面的步驟與上面的解法相同【答案】 53【例15 】有連續的三個自然數a 、 a1 、 a2 ，它們恰好分別是9、 8、 7 的倍數，求這三個自然數中

32、最小的數至少是多少？【考點】中國剩余定理【難度】 3 星【題型】解答【解析】 法一：由 a1 是數 a 除以8 的倍數，得到a 被 8 除余 7，由 a2 是 7 的倍數，得到a 被 7 除余 5，現在相當于一個9 余 0，除以 8 余 7，除以 7 余 5.運用中國剩余定理求a (用逐步滿足的方法也可以)7 和 8 的公倍數中除以9 余 1 的最小為280； 7 和 9 的公倍數中除以8 余 1 的最小是公倍數中除以7 余 1 的最小是 288，根據中國剩余定理，符合各個余數條件，但4527 不是最小的，還需要減去441；8 和 9 的7、8、9 的公倍數，可知 452778 98495 是

33、滿足各個余數條件的最小值，所以a 至少是 495法二：仔細觀察，可知由于a 、 a 1、 a 2 恰好分別是 9、8、7 的倍數，那么 a9、 a18 、 a2 7 也分別是 9、8、7 的倍數，即 a9是 9、 8、 7 的公倍數，那么 a 9 的最小值是9 87504，即 a 至少是 504 9 495【答案】 495模塊三、余數性質的拓展應用 新中國剩余定理【例 16 】有一個數，除以3 余 2，除以 4 余 1，問這個數除以12 余幾？【考點】余數性質的拓展應用 新中國剩余定理【難度】 3 星【題型】解答【關鍵詞】首師大附中，分班考試【解析】 方法一：除以3 余 2 的數有： 2， 5

34、， 8，11， 14， 17， 20， 23， ；它們除以12 的余數是： 2， 5，8， 11， 2， 5， 8， 11， ；除以 4 余 1 的數有： 1， 5， 9，13， 17，21， 25， 29， ；它們除以12 的余數是： 1， 5，9， 1， 5，9， ；一個數除以12 的余數是唯一的上面兩行余數中，只有5 是共同的，因此這個數除以512 的余數是方法二：一個數，除以3 余2，除以4 余1，可以理解為除以3 余 32 ，除以4 余 41，所以這個數減去5 后，既能被3 整除，又能被4 整除，設這個數為a ，則a12m5 ，(m 為自然數)所以這個數除以12 余5【答案】5【例1

35、7 】如圖，在一個圓圈上有幾十個孔(不到 100 個 )，小明像玩跳棋那樣，從A孔出發沿著逆時針方向，每隔幾孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A 孔他先試著每隔2 孔跳一步， 結果只能跳到B 孔他又試著每隔4 孔跳一步，也只能跳到B 孔最后他每隔6 孔跳一步，正好跳回到A 孔，你知道這個圓圈上共有多少個孔嗎?BA【考點】余數性質的拓展應用 新中國剩余定理【難度】3 星【題型】解答【關鍵詞】華杯賽【解析】 設想圓圈上的孔已按下面方式編了號：A 孔編號為1，然后沿逆時針方向順次編號為 2， 3， 4， ， B 孔的編號就是圓圈上的孔數我們先看每隔2 孔跳一步時，小明跳在哪些孔上?很容易看出應在1， 4

36、， 7，10， 上，也就是說，小明跳到的孔上的編號是3 的倍數加1按題意，小明最后跳到B 孔，因此總孔數是3 的倍數加1同樣道理，每隔4 孔跳一步最后跳到B 孔，就意味著總孔數是5 的倍數加1；而每隔6 孔跳一步最后跳回到A 孔，就意味著總孔數是7 的倍數如果將孔數減1，那么得數既是3 的倍數也是5 的倍數， 因而是 15 的倍數這個 15 的倍數加上1 就等于孔數，設孔數為 a ，則 a 15m 1 （ m 為非零自然數）而且 a 能被 7 整除注意 15 被 7 除余 1，所以 15 6 被 7 除余 6， 15 的 6 倍加 1 正好被 7 整除我們還可以看出， 15 的其他 (小于的

37、7)倍數加1 都不能被7 整除，而 157105 已經大于100 7 以上的倍數都不必考慮，因此，總孔數只能是15 6191【答案】 91【例 18 】三個連續三位數的和能夠被13 整除，且這三個數中最大的數被9 除余 4，那么符合條件的三位數中最小的數最大是。【考點】余數性質的拓展應用 新中國剩余定理【難度】 3 星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，6 年級【解析】 設中間數是 a ，三個連續自然數的和是中間數的3 倍即 3a ，由 13| 3a 得 13| 3a ，所以中間數能被13 整除，而其中最大的數被9 除余 4，說明中間數被9 除余 3，從 1000 往下試能被13 整除的數為988

38、， 975 ， ，975 符合兩個條件。所以符合條件的三位數中的最小的數的最大是975-1=974.【答案】 974【例 19 】某小學的六年級有一百多名學生若按三人一行排隊，則多出一人；若按五人一行排隊，則多出二人；若按七人一行排隊，則多出一人該年級的人數是【考點】余數性質的拓展應用 新中國剩余定理【難度】 3 星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，六年級，二試，第6題，5分【解析】 符合第一、第三條條件的最少人數為3 ×7+1=22 人，經檢驗， 22 也符合第二個條件，所以22 也是符合三個條件的最小值，但該小學有一百多名學生，所以學生總人數為22+3 ×5×7=

39、127 。【答案】 127【例 20 】智慧老人到小明的年級訪問，小明說他們年級共一百多名同學，老人請同學們按三人一行排隊，結果多出一人，按五人一行排隊，結果多出二人，按七人一行排隊，結果多出一人，老人說我知道你們年級原人數應該是（）人。【考點】余數性質的拓展應用新中國剩余定理【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】華杯賽決賽第6 題，10分【解析】 根據條件，該數除以3余1，除以 5余 2，除以7 余 1，逐級滿足法，令該數為a，則 a÷ 3 .1a÷ 5 .2a÷ 7 .1符合條件 的有1，4， 7， 10， 13，16 .符合條件 的有 2，7， 12 .同時滿

40、足 、 的最小值為 7，以后 a=7+15 m 均滿足 、 ；現在來看（7+15 m） ÷ 7 ，.1則 15m÷ 7 ，.1則 m 最小取 1，符合，最小的符合的數為a=22 。以后每隔3,5,7105即符合。該年級有100多名學生，為 22+1-5=127 。【答案】 127【例 21 】三個連續的自然數，從小到大依次是4、 7、 9 的倍數，這三個自然數的和最小是【考點】余數性質的拓展應用 新中國剩余定理【難度】 3 星【題型】填空【關鍵詞】 學而思杯， 6 年級， 1 試，第 3 題【解析】 本題看起來是一個關于整除或約數、倍數的題，但實際上不大用得上被4、 7、

41、9 整除的數的特征或者約數、倍數的一些性質，而如果以這三個連續的自然數中的某一個為基礎，比如以中間的那個數為基礎，那么另外的兩個數分別為這個數減1 和這個數加1，那么題目變為：一個數除以4 余 1，除以 9 余 8，且能被 7 整除，且這個數的最小可能值這是一個余數問題，我們可以采用逐步滿足法，也可以采用中國剩余定理來解方法一：逐步滿足法除以4余1的數有： 1， 5， 9，13， 17， 21，；除以9余8的數有： 8， 17，26，可見同時滿足這兩條的數最小為17，由于4,936 ，那么滿足除以 4 余 1 且除以9 余 8 的數有： 17， 53， 89， 125， 161，197 其中能被 7整除的數最小為161，所以所求的3 個連續自然數的中間的那個數最小為161，那么它們的和最小為 161 3 483 方法二：代數表示法根據題意， 設這三個數分別為7 k1 、7k 、7k1（ k 是整數），那么 7 k1是 4 的倍數， 7 k1是 9 的倍數，由于 7k 18kk1， 7 k19k2k 1 ，所以 k1 是 4 的倍數， 2k1是 9 的 倍 數 ， 由 k1 是 4 的 倍 數 知 2k 2 是 8 的 倍 數 ， 設 2k 19n ， 那 么2k 2 9n3 8n n3 ，所以 n3 是 8的倍數，