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文檔簡介
1、目教學目標本講主要學習歸一及歸總問題.通過本節課的學習,學生應了解歸一及歸總問題的類型, 以及解決歸一及歸總問題的一般方法,掌握歸一及歸總問題的基本關系式,并會將這種方法 應用到一些實際問題中.知識點撥知識點說明:一、歸一問題歸一問題是一類典型應用題,這類問題是用等分除法求出一個單位的數值(單一量)之后, 再求出題目所要求解的問題,解答歸一問題的方法叫做歸一法。歸一問題可以分為兩種:一種是求總量的,求出一個單位量之后,然后利用乘法求出結 果,這種問題叫做正歸一問題(也稱正歸一);如:一輛汽車3小時行150千米,照這樣,7 小時行駛多少千米?解決此類問題的關鍵是先求出單位數量,再求幾個單位數量是
2、多少;另 一種是求份數的,求出一個單位量后,再用包含除法求出所求的結果,這類問題叫做反歸一 問題(也稱反歸一)。如:修路隊6小時修路180千米,照這樣,修路240千米需幾小時?解 決此類問題的關鍵是先求出單位數量,再求一共包含多少個單位數量?正、反歸一問題的相同點是:一般情況下第一步先求出單一量;不同點在第二步,正歸一問題是求幾個單一量是多少,反歸一是求包含多少個單一量.解答歸一問題的關鍵是求出單位量的數值, 再根據題 中“照這樣計算”、“用同樣的速度” 等句子的含義,抓準題中數量的對應關系,列出算式,求得問題的解決。有的問題一次歸一 不能解決,需要兩次歸一或與倍比相結合才能解決。歸一問題的基
3、本關系式:總工作量二每份的工作量(單一量)份數(正歸一)份數二總工作量"每份的工作量(單一量)( 反歸一)每份的工作量(單一量)二總工作量"份數二、歸總問題與歸一問題類似的是歸總問題,歸一問題是找出“單一量”,而歸總問題是找出“總量”, 再根據其它條件求出結果所謂“總量”是指總路程、總產量、工作總量、物品的總價等.板塊一、歸一問題例題精講【例1】 某人步行,3小時行15千米,7小時行多少千米? 解析:15-3X 7= 35 (千米)。答:7小時行35千米。【鞏固】一艘輪船4小時航行108千米,照這樣的速度,繼續航行 270千米,共需多少小時?解析:先求出每小時航行多少千米:
4、108-4= 27 (千米)再求出航行270千米需要幾小 時:270-27= 10 (小時)最后求出共需多少小時:10+ 4= 14(小時)綜合算式:270-( 108-4)+ 4= 14 (小時)【例2】 小紅騎車3分鐘行600米,照這樣的速度她從家到學校行了10分鐘,小紅家到學校有多少米?解析:600- 3X 10= 200 X 10= 2000(米)。【例3】一個打字員15分鐘打了 1800個字,照這樣的速度,1小時能打多少個字?解析:先求1分鐘能打多少個字,再求1小時能打多少個字:1800- 15= 120(個) 120X 60= 7200(個)【鞏固】2臺機器20分鐘造紙80噸,照這
5、樣計算,1臺機器1小時造紙多少噸?解析:1臺機器1分鐘造紙:80-20-2= 2 (噸),1小時=60分鐘,也就是1臺機器1小 時造紙2X 60= 120(噸)【例 4】 綠化隊 3天種樹 2 1 0棵,還要種 420棵,照這樣的工作效率, 完成任務共需多少天?解析:(方法一)倍比思想。因為工作效率是一定的,所以可以求出種420棵樹需要的天數是種210棵樹的倍數為:420十210= 2(倍),所以種420棵樹需要的天數為2X 3 = 6(天),也就是完成任務共需要 3+ 6= 9 (天)(方法二)歸一思想。先求出一天種多少棵樹,再求出共需幾天完成任務。單一數:210-3= 70(棵),總共的天
6、數是:(210+ 420)十70= 9(天)【鞏固】 綠化隊 3天種樹 200棵,還要種 400棵,照這樣的工作效率,完成任務共需多少 天?解析:方法同上:400十200= 2(倍),3X 2= 6(天)3 + 6 = 9(天)【鞏固】 綠化隊 4 天種樹 200棵,還要種 400棵,照這樣的工作效率, 完成任務共需多少天?解析:方法一:400十200= 2 (倍)4X2= 8 (天)4+ 8= 12 (天)方法二:單一數:200- 4 = 50 (棵)總共的天數是(400+ 200)十50= 12 (天)【例 5】 一只小蝸牛 6分鐘爬行 12分米,照這樣的速度, 30分鐘爬行多少分米?解析
7、:本題屬于正歸一,有兩種解題思想(方法一)歸一思想:為了求出蝸牛 30分鐘爬多少分米,必須先求出1分鐘爬多少分米 (單一數),“照這樣的速度”說明小蝸牛每分鐘爬行的速度是相等的,然后以這個數目為依據按要求算出結果。小蝸牛每分鐘爬行 12-6 = 2 (分米)30分鐘爬2X 30= 60 (分米)(方法二)倍比思想。仔細觀察題目中所給的條件,已知30分鐘正好是6分鐘的5倍, 爬行的距離也應是12的5倍,即12X 5= 60 (分米)例 6】 先根據條件提出問題,使它成為一步計算的應用題,再口頭列式解答 孫悟空3天吃了 45個桃子,? 學學買2支鋼筆花了 18元,?解析:建議老師可以先讓學生提出問
8、題使它成為一步計算的應用題:每天吃多少個每只 鋼筆多少元?再讓學生提出問題使它成為兩步計算的應用題如:7天吃多少個桃子54元可以買多少只鋼筆。例 7】 一個工人在森林中鋸木頭,他用 8分鐘把一根樹干鋸成了 3 段,那么把樹干鋸成 8 段需要多長時間?解析:前面我們已經學過植樹問題,把一根木頭據成3段,實際上只需要據3- 1 = 2(下), 所以據一下需要8寧2 = 4 (分鐘)現在要把樹干據成8段,也就是要據8-1 = 7 (下), 需要時間為:4X 7= 28(分鐘)【鞏固】 一個工人在森林中鋸木頭, 他用 12分鐘把一根樹干鋸成了 4段,如果保持工作速度 不變,要把每段木頭再鋸成兩段,還需
9、要多少分鐘?解析:4 1 = 3 (下)12十3 = 4 (分鐘)要求把每段木頭再據成兩段,也就是還需要再據 4 下,則還需要4X 4= 16(分鐘)【鞏固】 一個工人在森林中鋸木頭, 他用 40分鐘把一根樹干鋸成了 5段,如果保持工作速度 不變,要把每段木頭再鋸成兩段,還需要多少分鐘?解析:5 1 = 4 (下)40* 4= 10 (分鐘)再據5下10 X 5= 50 (分鐘)【例 8】 一個工人要磨面粉 200千克, 3 小時磨了 60千克照這樣計算,磨完剩下的面粉還 要幾小時?解析:(方法一)通過3小時磨60千克,可以求出1小時磨粉數量,問題求磨完剩下的需幾 小時,所以剩下的量除以1小時
10、磨的數量,得到問題所求(200-60)-( 60-3)= 7 (小時);(方法二)通過3小時磨60千克,可以求出1小時磨粉數量,磨完200千克面粉需 要的時間為200-( 60-3)= 10 (小時),那么磨剩下的面粉需要時間即為10-3= 7 (小時)。【例 9】 3名工人 5小時加工零件 90個,要在 10小時完成 540個零件的加工,需要工人多 少名?解析:方法一:3名工人5小時加工零件90 個,就是說每人每小時加工(90 - 3)- 5 = 6 (個), 那么1 個人10小時可以加工6X 10 = 60(個),540個零件在10小時完就需要540- 60= 9 (人)。方法二: 3名工
11、人 5小時加工零件 90個,假設在時間相同的情況下 3名工人 10小時加 工零件 180 個,要完成 540 個零件用倍比思想 540 個零件是 180 的 3 倍,時間相同, 完成的零件數量是3倍,那么工人也是3倍關系,3X 3= 9(人)。【鞏固】 3名工人 5小時加工零件 90個, 10名工人 10小時加工零件多少個?解析:(90-3)-5= 6(個)那么一個人10小時可以加工6X 10= 60(個),10名工人10 小時加工零件60X 10 = 600 (個)。鞏固】 某車間用 4臺車床 5小時生產零件 600個,照這樣算, 增加 3 臺同樣的車床后, (1 )8 小時可以生產多少個零
12、件?( 2)如果要生產 6300 個零件幾小時可完成?解析:此題要求的兩個問題都需要知道 1 臺 1 小時生產的零件數,因條件中有小時和臺數兩 個量,需用“兩次歸一”即先求出 4臺1 小時生產多少,再求 1 臺1 小時生產多少 ?600 -5 - 4 X( 4+ 3)X 8 = 30 X 7X 8= 1680 (個)6300 - 600 - 5 - 4 X( 4+ 3)= 6300-( 30X 7 )= 30 (小時)答:8小時可以生產1680個零件。如果生產6300個零件需30個小時可以完成【例 10】 7輛“黃河牌”卡車 6趟運走 336噸沙土現有沙土 560噸,要求 5趟運完,求需 要增
13、加同樣的卡車多少輛?解析:首先應知道一輛卡車一次能運多少噸沙土:336- 6- 7= 56 - 7= 8(噸),560噸沙土5趟運完,每趟必須運走:560-5= 112 (噸),需要增加同樣的卡車:112-8- 7= 7 (輛)鞏固】 4輛大卡車運沙土, 7趟共運走沙土 336噸現有沙土 420噸,增加了 3輛相同的卡 車,問:幾趟可以運完?解析:1輛卡車1趟運沙土: 336-4-7= 12(噸),現在有4+ 3= 7(輛)卡車,需要420(7X 12 )= 5 (趟)例 11】孫悟空組織小猴子摘桃子 開始時, 16只小猴子 2小時摘桃子 640個,照這樣計算, 孫悟空要求它們在 3 小時內繼
14、續摘桃子 1200個,那么需要增加多少只小猴子一起來 摘桃子呢?解析:先求出1小時共摘桃的個數即1200十3= 400(個),再根據每只猴子每小時摘的個數 即640- 16-2 = 20 (個)。求需要小猴子的數量即 400十20= 20 (只)。最后求出增 加 20- 16= 4(只)。【例 12】用一個杯子盛滿水向一個空罐里倒水如果倒進 2 杯水,連罐共重 6千克;如果倒 進 5 杯水,連罐共重 9 千克這個空罐重多少千克?解析:根據倒進 2 杯水,連罐共重 6 千克;如果倒進 5 杯水,連罐共重 9 千克,可知重量由 6千克增加到 9千克是因為多倒進了( 5-2)杯水,因此可求出 1 杯
15、水重量,最后再 減去水的重量即空罐的重量: 每杯水的重量:(9-6)-( 5- 2 )= 1(千克)空罐的重量:6- 1 X 2 = 4(千 克)或 9- 1X 5= 4(千克)。例 13】 10輛小車和 3 輛卡車一次運貨 32噸,15輛小車和 3輛卡車一次運貨 42 噸每輛卡 車和每輛小車每次各運貨多少噸解析:摘錄條件:10輛小車+ 3輛卡車=32噸,15輛小車+ 3輛卡車=42噸,比較條 件,看看什么量變了, 什么量沒變。 兩個變化量之間的關系是什么?從對應量的變化 可以看出:(42- 32 )噸正好與(1510)輛小車的載重量相對應,因此每輛小車每 次可運貨:(42 32)( 15 1
16、0)= 2(噸),那么每輛卡車每次可運貨 4噸,其 實這就是二元一次方程的思路。鞏固】 30輛小車和 3輛卡車一次運貨 75噸, 45輛小車和 6輛卡車一次運貨 120噸.每輛卡 車和每輛小車每次各運貨多少噸?解析:摘錄條件:30輛小車+3輛卡車=75噸45輛小車+6輛卡車=120噸;比較 條件,轉化為:60輛小車+ 6輛卡車=150噸;45輛小車+ 6輛卡車=120噸,從對 應量的變化可以看出( 150 120 )噸正好與( 6045 )輛小車的載重量相對應, 因此 每輛小車每次可以運貨(150 120 )-( 60 45)= 2 (噸),那么每輛卡車每次可 以運貨(75 30 X 2 )-
17、 3 = 5(噸)鞏固】 阿呆去商店買了 2 個筆袋, 3 支圓珠筆,用去 25 元;小新去商店買了 1 個筆袋, 2 支圓珠筆,用去 14元;那么買 1 個筆袋, 1 支圓珠筆,分別需要多少元?解析:摘錄條件:2個筆袋+ 3支圓珠筆=25元1個筆袋+ 2支圓珠筆=14元,由知 道:2個筆袋+ 4支圓珠筆=28元,由與可知:1支圓珠筆=3元,那么再 由可知 1 個筆袋= 8 元。【鞏固】 有A、B、C三種貨物,甲購 A物3件、B物5件、C物1件付款20元;乙購A物4 件、B物7件、C物1件付款25元;丙購A B C三種貨物各1件,應付多少元?解析:摘錄條件:3A+ 5B+ 1C= 20 4A+
18、 7B+ 1C= 25,由可得:1A+ 2B= 5, 式X 2可得: 2A + 4B= 10 ;由可得:1A+ 1B+ 1C= 10 (元)【例 14】 王奶奶家養了 5頭奶牛, 7天產牛奶 630千克,照這樣計算, 8頭奶牛 15天可生產 牛奶多少千克?解析:以1頭奶牛1天產的牛奶為單一量:630十5十7= 18 (千克);8頭奶牛1天生產牛奶 18X 8= 144(千克); 8 頭奶牛 15 天產奶: 144X 15= 2160(千克)。【鞏固】 王奶奶家養了 5 頭奶牛, 7天產牛奶 630 千克,照這樣計算, 8頭奶牛 12天可生 產牛奶多少千克?解析:同上,630- 5- 7= 18
19、(千克),18X 8= 144(千克),144X 12= 1728(千克)【例 15】花果山上桃樹多, 5只小猴分 200棵.現有小猴 60只,按剛才的分法分后還余 90棵, 請算出桃樹有幾棵?解析:每只小猴子分:200-5 = 40 (棵),現在一共分:410X 60 = 2400 (棵),一共有桃樹2400+ 90= 2490(棵)例 16】學校買來一些足球和籃球 .已知買 3個足球和 5個籃球共花了 281 元;買 3個足球和 7個籃球共花了 355元.現在要買 5個足球、 4個籃球共花多少元?解析:要求 5 個足球和 4 個籃球共花多少元, 關鍵在于先求出每個足球和每個籃球各多少元,根
20、據已知條件分析出第一次和第二次買的足球個數相等。 而籃球相差7-5= 2 (個), 總價差355-281 = 74 (元),74元正好是兩個籃球的價錢,從而可以求出一個籃球的 價錢,一個足球的價錢也可以隨之求出了。 列式為:一個籃球的價錢:(355-281) -(7-5)= 37 (元)一個足球的價錢:(281 - 37X 53 = 32 (元)一共花多少元? 32X 5+ 37X 4= 308 (元)。【鞏固】 媽媽買了 2斤蘋果, 4斤菠蘿,花去 14元;爸爸買了 3斤蘋果, 2斤菠蘿,花去 13 元;那么 1 斤蘋果, 1 斤菠蘿各多少錢?解析: 1 斤蘋果 3 元, 1 斤菠蘿 2 元
21、。鞏固】 2個籃球的價錢可以買 6個排球, 6 個足球的價錢可以買 3個籃球。買排球、足球、 網球各一個的價錢可以買 1 個籃球。那么,買 1 個籃球的價格可以買多少個網球?解析:6個籃球的錢可以買排球、足球、網球各6 個,即可買5=( 2+ 3)個籃球及6個網球, 因此買 1 個籃球的價格可以買 6個網球。【例 17】一列火車從甲地開往乙地,開出 2.5 小時,行了 150 千米。照這樣的速度,再行駛3 小時到達乙地。甲、乙兩地相距多少千米?解析:火車每小時行多少千米:150-2.5 = 60 (千米)火車共行了多少小時:2.5 + 3 = 5.5 (小時)甲乙兩地相距多少千米:60 X 5
22、.5 = 330(千米)。板塊二、歸總問題【例 18】8個人 10天修路 840米,照這樣算,20 人修 4200米,要天.解析:綜合算式:4200-( 840- 10-8X20)= 20 (天)【鞏固】 5 個人 2 小時植樹 20 棵,6 個人 3 小時植樹多少棵 ?解析:20-5-2X 6X 3 = 2 X 6X 3 = 36 (棵)例 19】一輛汽車從甲地開往乙地,每小時行 60千米,5小時到達若要 4小時到達,則每小時需要多行多少千米?解析:甲地到乙地是多少千米?60 X 5 = 300 (千米)4小時到達每小時需行多少千米?300-4= 75 (千米)每小時多行多少千米?75-60
23、= 15(千米)鞏固】 學校買 4 套課桌椅,共用去 480 元,如果買同樣的課桌椅 7 套,共需多少錢?如果 有 3000 元,可以買進這樣的課桌椅多少套?解析: 480-4= 120 (個)120X 7 = 840(個) 3000- 120= 25 (套)。【例 20】一項工程, 8 個人工作15小時可以完成,如果 12個人工作,多少小時可以完成?解析:工程總量相當于1個工人工作多少小時? 15X 8= 120 (小時)12個人完成這項工作需多少小時:120- 12= 10(小時)【鞏固】 5個人挖 3米長的溝需要用 3個小時,那么用 50個小時挖 50米的溝需要多少名工人? 解析:因為
24、5 個人挖 3米長的溝需要用 3 小時,那么 5個人用 1 小時就可以挖 1 米的長溝, 所以 5個人用 50個小時也就挖 50米的長溝。鞏固】 王師傅 2 小時加工了 62個零件,照這樣計算,他每天工作 8 小時可以加工多少個零 件?如果要加工 372個零件,需要幾小時?解析:1小時加工零件:62 - 2 = 31 (個),8小時可以加工零件:31 X 8= 248 (個)加工372 個零件需要時間:372- 31 = 12 (小時)。【例 21】有 20人修筑一條公路,計劃 1 5天完成動工 3天后抽出 5人植樹,留下的人繼續 修路如果每個人的工作效率不變,那么修完這段公路實際用多少天?解
25、析:這條公路的總工作量有:20X 15= 300人次,動工3天后抽出5人,20人修3天完成 了: 20X3=60 人次,那么剩下 30060=240人次,這些剩下的工作給 15 個人做, 每人就還需要工作240- 15= 16 (天),這樣,實際工作就有 3 + 16= 19 (天)【鞏固】 修一條公路,原計劃 60人工作, 80天完成現在工作 20天后,又增加了 30人,這 樣剩下的工作再用多少天可以完成?解析:修完這條公路共需要 60 X 80 = 4800 (個)勞動日,60人工作20天,還剩下:4800 60X 20= 3600(個)勞動日,剩下的工作又增加了 30人,共90人需要再用
26、:3600-( 60 + 30)= 40 (天)。例 22】學校買來一批粉筆,原計劃 18個班可用 60天,實際用 45天后,有 3個班外出了, 剩下的粉筆夠用多少天?解析:剩下的粉筆18個班可用60 45= 15(天),現在有18 3= 15(個)班,可用的天數 為:18X 15- 15= 18 (天)。鞏固】 某廠運來一批煤,計劃每天用 5 噸,40 天用完,如果改進鍋爐,每天節約 1 噸,這 批煤可以用多少天?解析:求出煤的總噸數 5X 40= 200 (噸)改進后每天用煤量 51= 4(噸)天數為:200-4= 50 (天)。例 23】某工程隊預計 30天修完一條水渠, 先由 18人修
27、了 1 2天后完成工程的一半, 如果要 提前 9 天完成,還要增加多少人?解析:18X 12= 216 (個)勞動日,故總工作量為216X 2 = 432個勞動日,還剩216個勞動日, 現需30 12 9= 9天完成。故需216-9 = 24 (人),所以還需補 24 18 = 6(人)。【例 24】小紅生病住院了,為了祝她早日康復,三 (一)班和三 (二)班一起為她疊千紙鶴兩 個班的同學 3天一共疊了 2400只千紙鶴, 現在兩個班級的同學同時開始疊, 在相同 的時間內,三(一)班疊了 2430只千紙鶴,三(二)班疊了 2370只千紙鶴那么三(一) 班和三 (二)班每天各疊多少只千紙鶴?解析
28、:求兩班每天共疊 2400- 3= 800 (只),“相同時間”是:(2430+ 2370 )十800= 6 (天),三班每天疊2430- 6= 405 (只),三班每天疊:2370-6 = 395 (只)。【例 25】甲、乙、丙三人在外出時買了 8個面包,平均分給三個人吃甲沒有帶錢,乙付了 5個面包的錢, 丙付了 3個面包的錢后來,甲帶來了他應付的四元八角錢, 請問, 應還給乙、丙各多少錢?解析:8個面包的總價是:48X 3= 144(角)面包的單價是:144-8= 18 (角)乙應 收回:18X 5 48= 42角=4元2角;丙應收回:18X 3 48 = 6角。例 26】某車間需要加工
29、3960個零件, 3 個工人 10小時加工了 1320個,其余的要求在 15 小時內完成,需要增加多少個工人?解析:每個工人每小時加工:1320-3- 10 = 44(個)。現在剩下:3960 1320= 2640(個) 零件,15小時內完成需要工人2640-44- 15= 4 (個),即需增加1個工人。【鞏固】 5臺拖拉機 24天耕地 12000公畝要18天耕完 54000公畝土地,需要增加同樣拖拉 機多少臺?解析:1臺拖拉機1天耕地:12000- 24- 5= 100(公畝),18天耕完54000公畝地需要拖拉 機:54000- 18- 100= 30 (臺),需要增加 30- 5= 25
30、 (臺)拖拉機。【鞏固】 家具廠生產一批桌椅, 原計劃每天生產 30 套, 12 天完成 實際只用原來時間的一半 就完成了任務,那么實際每天比計劃多生產多少套?解析:這批桌椅一共有30 X 12 = 360(套),實際上用了 12-2 = 6(天),實際每天生產360 -6 = 60 (套)實際每天比計劃多生產60 - 30= 30(套)【例 27】某工廠一個車間,原計劃 20人4天做 1280個零件,剛要開始生產,又增加了新任 務,在工作效率相同的情況下,需要 15 個人 7 天才能全部完成,問增加了多少個 零件?解析:先求出每人每天生產的零件數 1280-20- 4= 16(個)(2) 15人7天生產的零件數16 X 15X 7= 1680 (個)增加的零件數 1680- 1280= 400(個)。【鞏固】 光華機械廠一個車間,原計劃 15人 3天做 900個零件。生產開始后,又增加一批任 務,在工作效率相同下,要 10 個人 8 天完成。問增加了幾個零件 ?解析:先求出每人每天做的個數 900- 15-3
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