1、 計算方法4 數值積分0 0、基本概念：求積公式、代數精度的概念、基本概念：求積公式、代數精度的概念1、各種求積公式的代數精度、各種求積公式的代數精度2、牛頓柯特斯公式、復、牛頓柯特斯公式、復合合求積公式、龍貝格公式求積公式、龍貝格公式、高斯型求積公式、高斯型求積公式 主要知識點主要知識點2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第2頁，共45頁第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法4.1 引言 在一元函數的積分學中,我們已經熟知,若函數f(x)在區間a, b 上連續且其原?函數為F(x) ,則可用牛頓萊布尼茲公式 近似計算( )( )( )(51)baIfx dxF a

2、F b 但是在許多實際問題經常遇到下列情況：（1）原函數存在但不能用初等函數表示； （2）原函數可以用初等函數表示，但結構復雜：（3）被積函數沒有表達式，僅僅是一張函數表或圖形。 dxedxxxx10102sin和2222222139( )23( )2323ln( 223)41616 2f xxxF xxxxxx xx Newton-Leibniz公式所不能或很難解決的積分問題, 這時需要用數值解法來建立積分的近似計算方法。., 1 , 0),(,(nixfxii 4.1.1、必要性2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第3頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數

3、值積分數值積分 計算方法4.1.2 數值積分的基本思想 積分值 定義為： 其幾何意義（如圖所示） 由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)這四條邊所圍成的曲邊梯形面積。 難于計算因為它有一條曲邊y=f(x)。badxxfI)( y=f(x) a b 0110111:( )lim( ),max,nnbkkiiixakiiiii naxxxbf x dxx fxxxxx xx ab曲邊梯形的面積( )yf x 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第4頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法 建立數值積分公式的途徑比較多, 其中最常用的有兩種：

4、 （1）由積分中值定理可知，對于連續函數f(x)，在積分區間a,b內存在一點，使得即所求的曲邊梯形的面積恰好等于底為(b-a)，高為 的矩形面積。但是點的具體位置一般是未知的, 因而 的值也是未知的, 稱 為f(x) 在區間a,b上的平均高度。那么只要對平均高度 提供一種算法，相應地就獲得一種數值求積方法bafabdxxfba,)()()()(f)(f)(f)(fy=f(x)yab(a+b)/2ab(a+b)/2y=f(x)by(a+b)/2abxaby=f(x)aby=f(x)(1) 1( )()( )( )2baf x dxb af af b梯形公式(2)( )() ()2baabf x

5、dxba f中距公式1( )()( ) 4 ()( )62baa bf x dxb af aff b（）公式2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第5頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法 中矩形公式把a,b 的中點處函數值 作為平均高度f()的近似值而獲得的一種數值積分方法。(矩形近似，還有左距、右距公式) )()(21bfaf)2(baf 梯形公式把f(a), f(b)的加權平均值 作為平均高度f()的近似值而獲得的一種數值積分方法。(矩形近似) Simpson公式是以函數f(x)在a, b, (a+b)/2三點的函數值f(a), f

6、(b), 的加權平均值 作為平均高度f()的近似值而獲得的一種數值積分方法。（拋物線近似）1()4()( )62abfaffb)2(baf （2）先用某個簡單函數 近似逼近f(x), 用 代替原被積函數f(x)，即 以此構造數值算法。 從數值計算的角度考慮,函數 應對f(x)有充分的逼近程度,并且容易計算其積分,因此將 選取為插值多項式, 這樣f(x)的積分就可以用其插值多項式的積分來近似代替。)(x)(xbabadxxdxxf)()()(x)(x2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第6頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法 上述公式的

7、共同形式是利用上述公式的共同形式是利用f(x)在在a,b 的若干個點的若干個點xk上的值進行加上的值進行加權平均，其一般形式為：權平均，其一般形式為：0( )()()nnkkkIfA f x ( )baf x dx 011nnaxxxxb 求積節點xk求積系數0 1 , ,kAkn 僅與求積節點有關求積公式的截斷誤差或余項：0()( )()nbnkkakRff x dxA f x (#)(#)形如（形如（*）式的公式稱為）式的公式稱為機械求積公式機械求積公式。4.1.3、余項2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第7頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數

8、值積分 計算方法由定積分定義0001100( )lim( )(1).(2)( )(3)( )nbiiaxiniiiiiiinnniiiiif x dxfxaxxxbsfxxxxSsfx 分割近似求和思路整理2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第8頁，共48頁第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法baniiixnxinidxxfxfSxx)()(limlimmax)4(0001求極限001100( )()().()()()()( )bnnaniiiniiiiibafx dxA fxA fxA fxR fA fxR fAA fxfxfx dx由此想到機械求積公式其中權系

9、數，是加權和，也是的近似值。2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第9頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法數值積分的思想圖形描述：分割、近似、求和ab取右端點矩形近似復化型求積公式ab取左端點矩形近似( )y f x -2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第10頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法衡量某種方法好壞的標準： （1）代數精度 （2）數值穩定性（3）收斂性 對多少次多項式該方法無誤差，即計算值是準確的。 或者

10、說成靈敏度如何，也就是看舍入誤差對計算結果影響的大小。比如病態方程組，當系數矩陣中的元素有微小變化時，引起方程組無解。這實際上是由舍入誤差或者說成舍入誤差的傳遞造成的。 即是截斷誤差的大小。4.1.4、代數精度2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第12頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法代數精度的判別方法求積公式的代數精度（/*Algebraic Precision */）1Def 如果求積公式對一切不高于m次的多項式都恒成立，而對于某個m+1次多項式不能精確成立，則稱該求積公式具有m次代數精度。0()()nnkkkIfA f x 0

11、()()nnkkkIfA f x 41 .Th 求積公式具有次m代數精度的充要條件是 為 時求積公式精確成立，而 為 時求積公式不能成為等式。( )f x231mxxxx、 、( )f x1mx 可以驗證：可以驗證：梯形公式、中矩形公式的代數精確度均為梯形公式、中矩形公式的代數精確度均為1 1，SimpsonSimpson公式代公式代數精確度為數精確度為3 3。 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第13頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法代入 f(x)0 = 1： baabdx1112ba =代入 f(x)1 = x ：=代入 f(

12、x)2 = x2 ：222babaxdx 2baab 3323babax dx 222baab 代數精度代數精度 = 1。如梯形公式：2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第14頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法 定理定理2 2 對任意給定的對任意給定的n+1個互異節點：個互異節點： bxxxan 10 總存在總存在n+1個相應的求積系數個相應的求積系數 ，使求積公式（，使求積公式（*）至少具有）至少具有n次次代數精度代數精度. kA證明：證明：分別將分別將 代入代入( (* *) )，并令其精確，并令其精確成立，于是得到關于成立，于

13、是得到關于 的線性代數方程組：的線性代數方程組： ), 2 , 1 , 0()(nixxfi kA, 1 , 0),(11011 nkiibaiikkniabidxxxA（1 1） 其系數行列式為范德蒙行列式其系數行列式為范德蒙行列式 njiijnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxV021022221202100)(1111 所以（所以（1 1）有惟一解）有惟一解 。顯然，以此組。顯然，以此組 構成的（構成的（* *）對所有次）對所有次數數 的多項式都是精確的的多項式都是精確的. . kAkAn 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第15頁，共48頁2022-3-

14、12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法16利用下面方法求 nkkA0 badxxf)( bandxxL)()()()(0 xlxfxLknkkn nkjjjkjknkxxxxxl0, 2 , 1 , 0,)(（3） nkdxxlAbakk, 2 , 1 , 0,)( （4）定義2 若（*）中的 滿足（3），（4），則稱求積公式（*）為插值型的. kA沈陽航空工業學院飛機設計教研室第16頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法例1111( )( 1)4(0)(1).3f x dxfff確定求積公式的代數精度分析：由等價定義求代數精度，只對最簡單的函數xm來

15、驗證。1)1(1111 kdxxIkkk解：0) 1041(31 ;32) 101 (31) 1 ()0(4) 1(31),2()(22Ifffkxxf 時時當當 ;0) 101(31) 1 () 0(4) 1(31),3()(33Ifffkxxf 時時當當 。時時當當445232) 101 (31) 1 ()0(4) 1(31),4()(Ifffkxxf 所以該求積公式的代數精度m=3。),0(1)( kxf時時當當 ) 1 ()0(4) 1(31fff 2) 1141 (31 ) 1 () 0(4) 1(31fff ),1()( kxxf時時當當 為為偶偶數數為為奇奇數數kkk,12, 0

16、;0I ;1I 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第17頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法例2: 試確定一個具有3次代數精度的公式301230( )(0)(1)(2)(3).f x dxA fA fA fA f 解：因為當30981(0,1,2,3), 3, , 9,24iix dx 時時分分別別為為和和故要公式具有3次代數精度，則必須有0123123123123=3,923=,249=9,81827=.4AAAAAAAAAAAAA 解此方程組得：01343993=, =, =, =.8888AAAA故所求公式為：303993(

17、)(0)(1)(2)(3).8888f x dxffff 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第18頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法例3 設積分區間a, b為0, 2，取 時, 分別用梯形和辛卜生公式 xexxxxxf, 1)(43220)2()0()(ffdxxf20)2() 1 (4)0(31)(fffdxxf計算其積分結果并與準確值進行比較解:梯形公式和辛卜生的計算結果與準確值比較如下表所示 f(x) 1 x x2 x3 x4 ex 準確值準確值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 梯形公式計算值梯形公式計算值 2

18、2 4 8 16 8.389 辛卜生公式計算值辛卜生公式計算值 2 2 2.67 4 6.67 6.421 從表中可以看出,當f(x)是 時,辛卜生公式比梯形公式更精確。 一般說來，代數精度越高，求積公式越精確。梯形公式和中矩形公式具有1次代數精度，辛卜生公式有3次代數精度。下面驗證梯形公式。432,xxx2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第19頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法babfafabdxxf)()(2)(取取f(x)f(x)=1時，時， abababdxba) 11 (2,1兩端相等兩端相等 取取f(x)=xf(x)=

19、x時時, , )(21)(2),(212222abbaababxdxba取取f(x)=xf(x)=x2 2 時時, , baabbabaababdxx)(21)(2),(312222332兩端不相等兩端不相等 所以梯形公式只有所以梯形公式只有1 1次代數精度。次代數精度。 兩端相等兩端相等 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第20頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法例4 試確定一個至少具有2次代數精度的公式 40)3()1()0()(CfBfAfdxxf解: 要使公式具有2次代數精度,則對f(x)=1,x,x2,求積公式準確成立，即

20、得如下方程組。 3649834CBCBCBA920,34,94CBA解之得， ) 3(20) 1 (12)0(491)(40fffdxxf所求公式為： 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第21頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法4.2.0 插值型求積公式 由插值理論可知，任一函數 給定一組節點 后，可用一n次多項式 ,對其插值，即( )f x01naxxxb( )nP x( )( )( )nnfxPxRx因此()()()bbbnnaaafx dxPx dxRx dx當 為拉格朗日插值多項式時，即nP1()()nnkkkPlxfx則(

21、1)1( )( )( )()( )(1)!nnbbbkkaaakffx dxlx fxdxx dxn1( )()nbkknaklx dxfxRf 1()nkknkAfxRf4.2 牛頓 柯特斯(NewtonCotes) 公式其中011011()()()()( )()()()()bbkknkkaakkkkkknxxxxxxxxAl x dxdxxxxxxxxx(1)( ) ( )(1)!bnaf nRfx dxn通常稱公式為插值型求積公式。2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第22頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法為簡便起見，將積分區

22、間a,b 劃分為n等分,即 步長為：求積節點為：計算系數Ak： 由 , 有：nabh), 1 ,0(nkkhaxkhikxxik)( nknnkkkkkkhknkxxxxxxxx)!( !) 1()()()(110作變量代換 ，當 時,有,于是可得 thaxkbax,nt, 00000( )(1)(1)(1)(1)()!()!(1)()()!()!nbbikkaaikiiknknnnnknniikxxAlx dxdxxxt ttktktn h hdtknkhbatidtnknk4.2.1 Cotes系數系數2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第23頁，共48頁2022-

23、3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法dtitknnkCnnkiiknk00)()!(!)1( ( k=0,1,n ) 代入插值求積公式有 nkkkbaxfCabxxf0)()(d)(稱為牛頓-柯特斯求積公式,Ck稱為柯特斯系數引進記號：kkCabA)( ( k=0,1,n ) 則2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第24頁，共48頁容易驗證 10nkkC bakkkkdxxlAAabC)(1 0001( )1( )111nnbkkakknbkakbaClx dxbalx dxbadxba2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法顯然, C

24、k是不依賴于積分區間a,b以及被積函數f(x)的常數,只要給出n,就可以算出柯特斯系數。例如：當n=1時 1011002121) 1(! 1! 011tdtCdttC2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第25頁，共48頁當n=2時 220012100220(1)1(1)(2 )20 ! 2 !6(1)2(2 )2 1! 1!3(1)1(1)22 ! 0 !6Cttd tCt td tCt td t表-1給出了n從18的柯特斯系數。 當n = 8時，從表中可以看出出現了負系數，從而影響穩定性和收斂性，因此實用的只是低階公式。 2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值

25、積分 計算方法以此類推得Cotes系數表:2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第26頁，共48頁nkkkbaxfCabxxf0)()(d)(第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法4.2.2 常用的幾個積分公式 梯形公式(n=1)1101312( ) 11 ()( )( )( ( )( )222() ( )( , )12bTaTCCf x dxT fRfbaT fbaf af bf af bbaRffa b 。且 Simpson公式(n=2)(2)(2)(2)0125(4)141,666( ) ( ( )4 ()( )62() ( )( , )2880bSaSCCCf

26、 x dxS fRfbaabS ff aff bbaRffa b 且2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第27頁，共48頁第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法 Newton公式(n=3)(3)(3)(3)(3)01231331,8888( ) ( ( )3 ()3 (2 )( )83bNaCCCCf x dxN fRfbaN ff af ahf ahf bbah，且 其中。 Cotes公式(n=4)(4)(4)(4)(4)(4)0123473212327,9090909090( ) (7 ( )32 ()12 (2 )90 32 (2 )7 ( )4bCaCCCC

27、Cf x dxC fRfbaC ff af ahf ahf ahf bbah，且 其中。2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第28頁，共48頁第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法4.2.3 Newton-Cotes公式截斷誤差及代數精度公式截斷誤差及代數精度3(4)55(4)(4)( )72( ) , (-)-( )12( ) , ,1()()( )( )9022880( ) , ,8()9454SCfxa bbaRfffxa bSimpsonbabaRffffxa bCotesbaRff 定理 若在上連續，則梯形公式的余項（截斷誤差）為設在上連續 則公式的余項（

28、截斷誤差）為設在上連續 則公式的余項（截斷誤差）為7(6)(6)3(2)02(1)0()( )( )483840,( )()(1)(2).()(2)!2 ( )(1)(2).()(1)!, , nnnnnnnbafn NewtonCoteshfnttttn dtnnRfhftttn dtnnbaha bn 一般地對任意公式的截斷誤差為為偶數）為奇即數）其中，幾個常用的求積公式的截斷誤差2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第29頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法幾個常用的求積公式的代數精度1 T 公式的代數精度2222233322(

29、)11( )()22 ( ( )( )()( )22( ) 11 ( )()33 ( ( )( )()( )22bbbaaababbbaaabaf xxf x dxxdxxbababaT ff af babf x dxf xxf x dxx dxxbababaT ff af babf x dxT當時 當時所以 公式具有一次的代數精度ab1次代數精度用梯形面積近似( )yf x -2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第30頁，共48頁第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法2 S公式的代數精度22222233222331( )( )()21 ( ( )4 ()( )=(

30、4)()626221( )( )()31 ( ( )4 ()( ) =(4()=()62623( )bbaabbaaf xxf x dxxdxbabababaabS ff aff babbaf xxf x dxx dxbabababaabS ff aff babbaf xx當時 當時 當3244333441( )()41 ( ( )4 ()( )(4()()62624( ) bbaabaf x dxx dxbabababaabS ff aff babbaf x dxS f時 即精確成立因此S-公式具有三次代數精度。同理可得N-公式具有三次代數精度，C-公式具有五次代數精度。ab3次代數精度用拋

31、物形面積近似( )y f x -ab5次代數精度( )y f x -近似等于曲邊梯形的面積2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第31頁，共48頁第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法例4-2-1212111 ln20.693147181 110.75;2 211 111(4)0.6944;36 1221111(1 33)0.69375458233IdxxNewtonLeibnizIdxxISimpsonINewtonI計算。解：由公式得 由梯形公式 （） 由公式 由公式 0.693175CotesI 由公式得 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教

32、研室第32頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法例例4-2-2 分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式計算定積分分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式計算定積分 的近似值的近似值 (計算結果取計算結果取5位有效數字位有效數字) 15 . 0dxx(1) 用梯形公式計算用梯形公式計算 4267767. 0 170711. 025. 0)1 () 5 . 0(25 . 01d15 . 0ffxx(2) 用辛卜生公式用辛卜生公式 10.510.5d0.54(0.51) / 2161 0.707 1140.866 0310.4309340312x x(3) 用柯特斯公

33、式計算，系數為用柯特斯公式計算，系數為 ,10.51 0.5d70.5 320.625 120.75 320.875 71901 =4.94975 25.29822 10.39223 29.93326 7 0.43096407180 x x 積分的準確值為積分的準確值為 43096441. 032d15 . 02315 . 0 xxx三個求積公式的精度逐漸提高三個求積公式的精度逐漸提高2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第33頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法例例4-2-3 用辛卜生公式和柯特斯公式計算定積分用辛卜生公式和柯特斯公式

34、計算定積分的近似值的近似值,并估計其誤差并估計其誤差(計算結果取計算結果取5位小數位小數)3321(275)dxxxx解解: (1) 辛卜生公式辛卜生公式 322036225941613)(24)(6 bfbafafabS由于由于 由辛卜生公式余項由辛卜生公式余項 572)(23xxxxf0)()4(xfbafabfR,),(2880)()()4(5知其誤差為知其誤差為 0)(fR(2) 柯特斯公式柯特斯公式 知其誤差為知其誤差為 0)(fR3 17 (1) 32 (1.5) 12 (2) 32 (2.5) 7 (3)901351252 7 3212 9 327 92045883Cfffff

35、2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第34頁，共48頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法4.3 復化求積公式/*Compound Quadrature Formula */思想將積分區間 分成若干個小區間，然后在每個小區間上采用低階的NewtonCotes公式,a b一、復化梯形公式：/*Compound Trapezoidal Formula */將積分區間 n等分： , a b分點,kbaxakh hn 在區間 上采用梯形公式1011 , ,kkx xkn ()( )baI ff x dx 110( )kknxxkf x dx 1102()

36、()()nkknkhf xf xRf 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第35頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法復化梯形公式1122( )( )()( )nnkkhTff af xf b 復化梯形公式的幾何意義小梯形面積之和近似( )y f x -2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第36頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法復化梯形公式的余項31012()()()nnnkkhRfITff 設2( ) , f xCa b 101min( )()( )nka x ba x b

37、kmfxfmax fxMn 由介值定理 , a b 101( )()nkkffn 212( )( )( )nnbaRfITfh f 余項估計式2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第37頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法復化梯形公式的收斂性1122( )( )()( )nnkkhTff af xf b 10112()()nnkkkkbabaf xf xnn ( )()baf x dx n 01( )lim()nbkkakf x dxfx 其中定積分與區間分法和 的取法無關k 設( ) , f xC a b 2008年10月6日12時7

38、分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第38頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法二、復化Simpson公式： /*Compound Simpon Formula */分點,kbaxakh hn 在區間 上采用Simpson公式10 11, ,kkxxkn ( )( )baI ff x dx 110( )kknxxkf x dx 1110246()()()( )nkknkkhf xf xf xRf 其中122()()kkhf xf x 將積分區間 n等分： , a b2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第39頁，共84頁2022-3-12第第

39、4 4章章 數值積分數值積分 計算方法復化Simpson公式111012426( )( )()()( )nnnkkkkhSff af xf xf b 復化Simpson公式的幾何意義小拋物面積之和近似( )y f x -2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第40頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法復化Simpson公式的余項4140180 2( )( )( )()nnnkkhhRfISff 設4()(),fxCab 144401()()()m in()()()nkaxbaxbkmfxfm ax fxMn 由介值定理 , a b 144

40、01( )( )( )()nkkffn 441802( )( )( )( )nnbahRfISff 余項估計式2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第41頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法復化Simpson公式的收斂性111012426( )( )()()( )nnnkkkkhSff af xf xf b ( )()baf x dx n () ,fxC a b 類似地可以得到復化Cotes公式111100427321290()()()()nnnkkkkhCff afxfx 1130143214()()( )nnkkkkfxfxf b

41、2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第42頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法例2：分別利用復化梯形公式、復化Simpson公式計算積分 的近似值，要求按復化Simpson公式計算時誤差不超過 。10sin xIdxx 60 510. 解：首先來確定步長1bahnn 444418021802( )( )( )nb a hb a hR ffM 復化Simpson公式的余項：44()max()axbMfx 其中2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第43頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分

42、計算方法4M本題 的求法：sin( )xf xx 10costxdt 11002( )sincos()fxttxdtttxdt 11220022( )coscos()fxttxdtttxdt 由歸納法知102( )( )cos()kkkfxttxdt 1100121( )( )cos()kkkkfxttxdtt dtk 415M 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第44頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法4441111180 2900 2()nRfMnn 60 5 10. 4n 解不等式得將區間 8等分，分別采用復化Simpson、

43、梯形公式0 1, 0 1/8 1/4 3/8 10.9973980.9896880.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 10.9588510.9361560.9088580.8771930.841471ix()if x2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第45頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法復化梯形公式(n=8)復化Simpson公式(n=4)81113022 8848153712848( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )T ffffffffff 18h 0 945692. 411357046

44、4888811321424( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )Sffffffffff 0 9460832. 14h 0946083070367.2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第46頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法復化梯形公式1122()( )()( )nnkkhTff af xf b 復化Simpson公式111012426( )( )()()( )nnnkkkkhSff af xf xf b 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第47頁，共84頁2022-3-12第第4 4

45、章章 數值積分數值積分 計算方法（1）使用復化梯形公式、Simpson公式，首先要確定步長 ；h（2）而步長要根據余項確定，這就涉及到高階導數的估計；（3）高階導數的估計一般比較困難，且估計值往往偏大；（4）計算機上實現起來不方便，通常采用“事后估計法”。三、積分步長的自動選取：注意事項：基本思想：將積分區間逐次分半終止法則：前后兩次近似值的誤差小于已知精度2nnII 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第48頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法具體過程（以復化梯形公式為例）1、首先將區間 n等分： , a bbahn 1122( )

46、()( )nnkkhTf af xf b 2、再將區間 2n等分，即步長減半： , a b12hh 11121102222( )()()( )nnnkkkkhTf af xf xf b 1102122()nnkkbaTf xn 122()()kkhf xf x 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第49頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法上述條件滿足，程序終止；否則，繼續分半計算。3、終止條件：由復化梯形公式的余項知2112()()nba baITfn 222122()()nba baITfn 24nnITIT ( )fx 變化不大時

47、由此得到近似關系式2214 1()nnnITTT 誤差控制條件214 1()nnTT 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第50頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法收斂速度慢對于復化Simpson公式、Cotes公式可以類似得到222141()nnnISSS 223141()nnnICCC 不足2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第51頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法加速收斂2214 1()nnnITTT 222141()nnnISSS 223141()nnnICCC 應

48、用步長逐次減半得到的復化梯形值、復化Simpson值、復化Cotes值與精確值的比較nS nC nR 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第52頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法4 Romberg積分法/*Romberg Integration Method */ Romberg積分思想由上節分析知，用復化梯形公式計算積分值I2nT的誤差大約為：213()nnTT 令2213()nnnI TTT 243nnTT 由復化梯形公式知12102122()nnnkkbaTTf xn 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研

49、室第53頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法12102412333()()nnnnkkTTbaTf xn 1122( )()( )nnkkbaTf af xf bn 11102246( )()( )()nnkkkkbaf af xf bf xn nS 111012426( )( )()()( )nnnkkkkhSff af xf xf b 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第54頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法梯形加速公式：2244134 14 1nnnnnTTSTT 利用復化梯形公式前后兩次

50、積分近似值 和 ，按2nTnT照上式作出的線性組合得到了具有更高精度的積分值。上述公式說明：Romberg積分公式正是由此產生2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第55頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法Romberg 值序列Simpson加速公式：222441nnSS Cotes加速公式：323441nnnCCR 類似于梯形加速公式的處理方法，得到：222141()nnnISSS 222441nnnSSC 223141()nnnICCC 323441nnCC 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第56頁，共8

51、4頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法通過上述3個積分值序列求積分近似值的方法，稱之為Romberg積分法。4個積分值序列： 2kT梯形值序列Simpson值序列Romberg值序列Cotes值序列 2kS 2kC 2kR122244 1kkkTTS 122222441kkkSSC 132232441kkkCCR 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第57頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法Romberg積分法的一般公式11111441,jm jmjm jjTTT 其中1121,()mmTTm 2222,()

52、mmTSm 3323,()mmTCm 4424,()mmTRm 2 3 4, , ;jmj2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第58頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法Romberg積分表1 1,T2 1,T3 1,T4 1,T5 1,T2 2,T3 2,T4 2,T5 2,T3 3,T4 3,T5 3,T4 4,T5 4,T21111222,()babaTTf 12102122()nnnkkbaTTf xn 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第59頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積

53、分 計算方法例3：利用Romberg 積分法式計算積分 ,要求精確到小數點后面7位。1 5011.Idxx 解：11( )f xx 111 501 51 052,. ( )( . ).Tff 根據Romberg 積分法計算得2 11111 50 750 9535714292,.( .).TTf 2 1112 240 9214285713,.TTT 312 110 750 751 1250 9259835752,. ( .)( .).TTff 3 12 13 240 9167876243,.TTT 3 22 23 3160 9164782283,.TTT 具體結果見下表2008年10月6日12時

54、7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第60頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法105.1,kT2,kT3,kT4,kTk132450953571429.0921428571.0925983575.0918741799.0916905342.0916787624.0916327874.0916293190.0916478228.0916297224.0916290077.0916294351.0916290776.5 40 916290762,.T 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第61頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數

55、值積分數值積分 計算方法高精度的求積公式 不失一般性，設不失一般性，設 ，考慮下列求積公式，考慮下列求積公式 我們將會看到，適當的選取求積節點我們將會看到，適當的選取求積節點 可以使上述求積公式具有可以使上述求積公式具有 次代數精度，這種高精度的求次代數精度，這種高精度的求積公式稱為高斯（積公式稱為高斯（Gauss）公式，高斯公式的求積節點稱為高）公式，高斯公式的求積節點稱為高斯點。斯點。1,1ab 111nkkkf x dxA f x1,2,kxkn21n高斯點的基本特性 盡管高斯點的確定原則上可以化為代數問題，但是由于所歸結盡管高斯點的確定原則上可以化為代數問題，但是由于所歸結的方程組是非

56、線性的，而它的求解存在實質性的困難，所以我的方程組是非線性的，而它的求解存在實質性的困難，所以我們要從研究高斯點的基本特性著手解決高斯公式的構造問題。們要從研究高斯點的基本特性著手解決高斯公式的構造問題。 設設 是求積公式中的高斯點，令是求積公式中的高斯點，令 則有如下結論：則有如下結論： 定理定理 節點節點 是高斯點的充分必要條件是高斯點的充分必要條件是多項式是多項式 與一切次數與一切次數 的多項式的多項式 正交，即正交，即成立成立(1,2, )kx kn 12nxxxxxxx(1,2, )kx kn x1n P x 110f x P x dx 2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院

57、飛機設計教研室第62頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法63勒讓德多項式 以高斯點以高斯點 為零點的為零點的 次多項式次多項式稱為勒讓德稱為勒讓德(Legendre)多項式。多項式。 一般的，勒讓德多項式可以依據一般的，勒讓德多項式可以依據來求得。來求得。(1,2, )kx knn 12nnPxxxxxxx 2!12!nnnnndPxxndx2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第63頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法64n 牛頓柯特斯型求積公式是封閉型的（區間a,b的兩端點a, b均是求積節點）而

58、且要求求積節點是等距的,受此限制，牛頓柯特斯型求積公式的代數精確度只能是n(n為奇數)或n+1(n為偶數)。而如果對求積節點也適當的選取,即在求積公式中不僅Ak而且xk也加以選取,這就可以增加自由度，從而可提高求積公式的代數精確度。 0 ( )() 22,(0,1, ),(0,1, )nbkkakkf x dxA f xnAknknkk求積公式含有個待定參數x適當選擇這些參數使其具有2n+1次代數精度。這類求積公式稱為高斯公式。x是高斯點。高斯公式高斯公式2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第64頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法0

59、0 ( )()(0,1,)()( )0)()(nbkkakknkkbafx dxA fxxknxxPnxx dxx 定 理 ： 插 值 型 求 積 公 式其 節 點是 高 斯 點 的 充 分 必 要 條件 是 以 這 些 點 為 零 點 的 多 項 式 與 任 意 次 數 不 超 過 的 多 項 式 P(x)均 正 交 ： 高斯公式高斯公式(續1）2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第65頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法0( )( ) ( )21 ( ) ( )() ()( )0(0,1, ), ( ) ( ) 0nbkkkakkbaP xP xxP xx dxA P xxxknP xx dxk必要性證明： 設是次數不超過n的多項式則次數不超過 n 。若x 是高斯點，則有 又因故有 21 f(x)=P(x)(x)+Q(x ) ,n充分性證明：對一次數不超過的多項數f(x),用 （x)除f(x)，則有高斯公式高斯公式(續2）2008年10月6日12時7分沈陽航空工業學院飛機設計教研室第66頁，共84頁2022-3-12第第4 4章章 數值積分數值積分 計算方法000()(