1、f不定積分解題方法總結(jié)摘要：在微分學中，不定積分是定積分、二重積分等的基礎(chǔ)，學好不定積分十分重要。然而在學習過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循”。本文論述了筆者在學習過程中對不定積分解題方法的歸納和總結(jié)。關(guān)鍵詞：不定積分；總結(jié)；解題方法不定積分看似形式多樣，變幻莫測，但并不是毫無解題規(guī)律可言。本文所總結(jié)的是一般規(guī)律，并非所有相似題型都適用，具體情況仍需要具體分析。1. 利用基本公式。(這就不多說了)第一類換元法。(湊微分)設(shè)f(訴)具有原函數(shù)FQ)。Mf'(x)'(x)dx=f'(x)cT(x)=F(x)C其中中(x)可微。用湊微分法求解不定積分時，首先要認

2、真觀察被積函數(shù)，尋找導數(shù)項內(nèi)容，同時為下一步積分做準備。當實在看不活楚被積函數(shù)特點時，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2:1 ln(x1)Tnx,例1-dxx(x1)11【解】(ln(x1)-lnx)'=-一=-x1xx(x1)ln(x1)-lnx121xlnxdx=-(ln(x1)lnx)d(ln(x1)-Inx)=-一(ln(x1)lnx)lnx,例22dx(xlnx)【解(xlnx)'=1lnx1lnx,dxlnx2dx=2x(x1)(xlnx)3. 第二類換元法:設(shè)x=%t)是單調(diào)、可導的函數(shù)，并且也t)#0.又設(shè)f"

3、;(t)P(t)具有原函數(shù),則有換元公式.f(x)dx=.f(t)'(t)dtCx(x1)2常見的變換形式需要熟記會第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式。用。主要有以下幾種：(1) Ja2-x2：x=asint;x=acost(2) 'x2+a2:x=atant；x=acott；x=asht(3) Jx2-a2：x=asect;x=acsct;x=achtn.axb：n.axb=taxbaxb；iT:；=t.cxd«cxd(4) 當被積函數(shù)含有xmax2bxc,有時倒代換1,X=-也奏效t(7)當根號內(nèi)出現(xiàn)單項式或多項式時一般用t代去根號。sinxd>t=*

4、X2tsintdt=_象cod-codtdt)-2codt2sintC=2.xcosx2sinxC但當根號內(nèi)出現(xiàn)高次籍時可能保留根號,dx12xx-1*-11dtt21tdt12-1dtt,1_t121dt61216-arcsinxc(7)當根號內(nèi)出現(xiàn)單項式或多項式時一般用t代去根號。sinxdxt=x2tsintdt=-2tco3-costdt)=-2tcost2sintC=-2xcosx2sinxC但當根號內(nèi)出現(xiàn)高次籍時可能保留根號,dx,x=1tx,x12_1tt5dtt6Jdt,1-t121dt6121-t121=一&1_t16=一一arcsinxc64.分部積分法.公式：d、

5、分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分具體選取卜、¥時，通?；∫韵聝牲c考慮:(D例3:【解】x3arccosx,dx.1-x2觀察被積函數(shù)，選取變換t=arccosx,則3xarccosx、1-x2cos3tadx=t(-sint)dt-tcostdt二sint降低多項式部分的系數(shù)簡化被積函數(shù)的類型舉兩個例子吧!213t(sint-1)dsint=td(§sint-sint)=1.3,1.3.、.1. tsinTsint-(一sint-sint)dt=331312-tsin-tsinti(sint-1)dcost=2 31,22x-一(

6、x2)1-xarccosxC3】tsin3-tsint-2cost-1cos3tC=33913-x9例4:arcsin2xdx【解】arcsin2xdx=xsin2x-c.1x2arcsinx、1一x2dXxarcsinx，i2arcsinxd.1一x2222,xarcsinx21xarcsinx、1一xdxJ-x22xarcsinx2.1-xarcsinx-2xC上面的例3,降低了多項式系數(shù)；例4,簡化了被積函數(shù)的類型。有時，分部積分會產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。在Mdv=Hv-JPdv中，卜、v的選取有下面簡單的規(guī)律：=Pm(x),、=eax,sinax,cosax=Inx,arcta

7、nx,arcsinx,=Fm(x)J-eax,=cosx,sinx(3)會出現(xiàn)循環(huán)，注意卜¥選取的函數(shù)不能改變。將以上規(guī)律化成一個圖就是：(lnxarcsinx)Pm(x)(aAxsinx)但是,當N=lnx,¥=arcsinx時，是無法求解的。對丁(3)情況，有兩個通用公式：axax_一.e=esinbxdx=(asinbx-bcosbx)Cabaxaxe=ecosbxdx=(acosbxbsinbx)Ca2b2(分部積分法用處多多在本冊雜志的涉及l(fā)nx的不定積分中,分部積分)Ii?？梢钥吹?不定積分中三角函數(shù)的處理分子分母上下同時加、減、乘、除某三角函數(shù)。被積函數(shù)212

8、一dx上下同乘sinx變形為sinxcosx1dxsinxcosxcosxdcosx=I:1-cos2x1cosx令u=cosx,則為udu,111、，2-=()du121cosx1u21u21u241u4iu1cosxc1一cosx1 2x12x=一Intan_secc242只有三角函數(shù)時盡量尋找三角函數(shù)之間的關(guān)系，注意sin2x十cos2x=1的使sinxcosx,dxsinxcosx21 sinxcosx-1,dx2 sinxcosx1 sinxcosxJ_dx2 ：等sin(x+r/4)tan8J1 1=一sinx_cosxIn2 2,2三角函數(shù)之間都存在著轉(zhuǎn)換關(guān)系。被積函數(shù)的形式越簡

9、單可能題目會越難,適當?shù)氖褂萌呛瘮?shù)之間的轉(zhuǎn)換可以使解題的思路變得活晰。2. 函數(shù)的降次 形如fsinmxcosnxdx的積分（m,n為非負整數(shù)）當m為奇數(shù)時，可令u=cosx,丁是m-1fsinmxcosnxdx=-/sinmxcosnxdcosx=J（1一u2）2undu,轉(zhuǎn)化為多項式的積分當n為奇數(shù)時，可令u=sinx,丁是u-1m_nm_nm2oIJsinxcosxdx=/sinxcosxdsinx=/u（1-u）2du,同樣轉(zhuǎn)化為多項式的積分。當m,n均為偶數(shù)時，可反復(fù)利用下列三角公式：1sinKcos<=sir2x,2.21一cos2xsinx=,221cos2xcosx=,

10、2不斷降低被積函數(shù)的籍次，直至化為前兩種情形之一為止。形如ftannxdx和Jcotnxdx的積分（n為正整數(shù)）du令u=tanxdx，貝Ux=arctanu,dx=2,從而1uUnjtanxdx=2du,已轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分。類似地，footnxdx可通過代換u=cotx轉(zhuǎn)為成有理函數(shù)的積分。形如secnxdx和fcscmxdx的積分(n為正整數(shù))du當n為偶數(shù)時，右令u=tanx，則x=arctanu,dx=,丁是1u2nninJsecnxdx=1tan2x%x=1u2'du=1u22du1u已轉(zhuǎn)化成多項式的積分。類似地，fcscnxdx可通過代換u=cotx轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分

11、。當n為奇數(shù)時，利用分部積分法來求即可。當有x與三角函數(shù)相乘或除時一般使用分部積分法xsin2xdx1-cos2x,x2=1x2-1xcos2xdx42121121-字x-一xdsin2x=x-一xsin4444-12xsin2xdx41211八-xxsin2xcos2xc448(1) 幾種特殊類型函數(shù)的積分。有理函數(shù)的積分有理函數(shù)翌先化為多項式和真分式Q(x)巴之和，再把土分解為若TQ(x)Q(x)dxr2rn(ax)個部分分式之和。(對各部分分式的處理可能會比較復(fù)雜。出現(xiàn)I時，記得用遞推公式：In=JE一33n2a2(n-1)(x2a2)2a2(n-1)1.有理真分式化為部分分式之和求解簡

12、單的有理真分式的拆分1.dxx1x=lnxln1十x4+c4注意分子和分母在形式上的聯(lián)系dxx6dx上7dt77tQO.OQO.OQO.OO.QO.OO/匕UA-匕JLA匕A匕JLA匕一LA(x1)x(x1)x(x1)x1x(x1)x3x7x73x7t3t1(11LlntIn(3+t)=-dt=+c3 提3+tJ33lnx7_In3x7=c32x22dx2x5此類題目一般還有另外一種題型：x1.dxx22x51.2_=一lnx2x22.注意分母（分子）dx有理化的使用2x3一2x一1.2x32x-11313衫2x32一衫2x32C64<2八xx-4x-2.例&x3(x，+1)2火

13、x6x4-4x2-2x6x44x22_x4x222xdx=】ln(x2x2124x22了222dx=x3(x21)21)C4x22242-xdx=x4(x21)2x21x4(x21)2dx2=x22一口2廠d=21冊=J2(1)2，門1)(-1)時C=1C(2("2)dCx2(x21)C故不定積分求得三角函數(shù)有理式的積分x2tan-sinx=l2x1tan一萬能公式:22x1-tan一2cosx=1tan2-2產(chǎn)sinx,cosx)dx可用變換t=tan化為有理函數(shù)的積分，但由丁計算較煩，Q(sinx,cosx)2應(yīng)盡量避免。對丁只含有tanx(或cotx)的分式，必化成或°

14、;快。再用待定系數(shù)cosxsinxA(acosxbsinx)B(acos'xbsin'x)一來做。(汪：沒舉例題并不代表不重要)acosxbsinx(2) 簡單無理函數(shù)的積分一般用第二類換元法中的那些變換形式。像一些簡單的，應(yīng)靈活運用。如：同時出現(xiàn)5和時，可令x=tan2t；同時出現(xiàn)*反和%/1-x時，可令x=sin2t；同時出現(xiàn)1-x2和arcsinx時，可令x=sint;同時出現(xiàn)j1-x2和arccosx時，可令x=cost等等(3) 善丁利用ex,因為其求導后不變。x1dxx1xex1txext1t：xex=lnc1xexex1dxex1xedt=lnc1txxdxexx

15、e1xe這道題目中首先會注意到xex,因為其形式比較復(fù)雜。但是可以發(fā)現(xiàn)其求導后為ex+xex與分母差ex,另外因為ex求導后不變，所以容易想到分子分母同乘以ex。(4) 某些題正的不行倒著來2IInsinx,.1ulnudu11uu2.2sinxulnU_du,u2一1=Inud.u2-1=,u2_1Inu_2-1duuduuu=tany=secysecytanydysecy=tan2ydy=tany-yc原式sinxdcotx-cotxInsinx，icotxdInsinx-cotInsin一cotInsincosxcosx,dxsinxsinxcot2xdx一cotInsincotx-xc

16、dxsinxuu=sinx這類一般的換元法行不通時嘗試下lnx2xInx1-2xIn2xdxt=Inxt1-2t8dt注意到：1-6t2et-2t3etYiy2y3t-2t3ett史苛t-2t3et1-2t8t1-2t8t=y1-y2-3y3這道題換元的思路比較奇特，一般我們會直接使用u=sinx,然而這樣的換元方法是解不出本題的。我概括此類題的方法為“正的不行倒著來”，當t2r-ndtt12t2aInt-23et-t-3Intc2t3t1-6te_2te皿r-tdtt-2t3ett-3e'o1_2t2et山dt-3廠廠dtt-3ett1-2t2e=In(nx-2(lnx)elnx)Inx-3InInx+c本題把被積函數(shù)拆為三部分：yi,y2,y3,yi的分子為分母的導數(shù)，y2的值為1,y3的分子為分母因式分解后的一部分。此類題目出現(xiàn)的次數(shù)不多，一般在競賽中出現(xiàn)。(5)