1、1.6 三角函數模型的簡單應用教學設計一、教學分析三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型,可以用來研究很多問題,在刻畫周期變化規律、預測其未來等方面都發揮著十分重要的作用. 三角函數模型的簡單應用的設置目的,在于加強用三角函數模型刻畫周期變化現象的學習.本節教材通過4個例題,循序漸進地從四個層次來介紹三角函數模型的應用,在素材的選擇上注意了廣泛性、真實性和新穎性,同時又關注到三角函數性質(特別是周期性)的應用.通過引導學生解決有一定綜合性和思考水平的問題,培養他們綜合應用數學和其他學科的知識解決問題的能力.培養學生的建模、分析問題、數形結合、抽象概括等能力.由于實際問題常常涉及一些復

2、雜數據,因此要鼓勵學生利用計算機或計算器處理數據,包括建立有關數據的散點圖,根據散點圖進行函數擬合等.二、教學目標1、知識與技能：掌握三角函數模型應用根本步驟:(1)根據圖象建立解析式; (2)根據解析式作出圖象; (3)將實際問題抽象為與三角函數有關的簡單函數模型.2、過程與方法：選擇合理三角函數模型解決實際問題，注意在復雜的背景中抽取根本的數學關系，還要調動相關學科知識來幫助理解問題。切身感受數學建模的全過程，體驗數學在解決實際問題中的價值和作用及數學和日常生活和其它學科的聯系。3、情態與價值：培養學生數學應用意識;提高學生利用信息技術處理一些實際計算的能力。三、教學重點與難點教學重點:分

3、析、整理、利用信息,從實際問題中抽取根本的數學關系來建立三角函數模型,用三角函數模型解決一些具有周期變化規律的實際問題.教學難點:將某些實際問題抽象為三角函數的模型,并調動相關學科的知識來解決問題.四、教學過程：三角函數模型的簡單應用一、導入新課 思路1.(問題導入)既然大到宇宙天體的運動,小到質點的運動以及現實世界中具有周期性變化的現象無處不在,那么究竟怎樣用三角函數解決這些具有周期性變化的問題？它到底能發揮哪些作用呢？由此展開新課. 思路2.我們已經學習了三角函數的概念、圖象與性質,特別研究了三角函數的周期性.在現實生活中,如果某種變化著的現象具有周期性,那么是否可以借助三角函數來描述呢？

4、回憶必修1第三章第二節“函數模型及其應用,面臨一個實際問題,應當如何選擇恰當的函數模型來刻畫它呢？以下通過幾個具體例子,來研究這種三角函數模型的簡單應用.二、推進新課、新知探究、提出問題回憶從前所學,指數函數、對數函數以及冪函數的模型都是常用來描述現實世界中的哪些規律的?數學模型是什么,建立數學模型的方法是什么?上述的數學模型是怎樣建立的?怎樣處理搜集到的數據? 活動:師生互動,喚起回憶,充分復習前面學習過的建立數學模型的方法與過程.對課前已經做好復習的學生給予表揚,并鼓勵他們類比以前所學知識方法,繼續探究新的數學模型.對還沒有進入狀態的學生,教師要幫助回憶并快速激起相應的知識方法.在教師的引

5、導下,學生能夠較好地回憶起解決實際問題的根本過程是:收集數據畫散點圖選擇函數模型求解函數模型檢驗用函數模型解釋實際問題. 這點很重要,學生只要有了這個認知根底,本節的簡單應用便可迎刃而解.新課標下的教學要求,不是教師給學生解決問題或帶著學生解決問題,而是教師引領學生逐步登高,在合作探究中自己解決問題,探求新知.討論結果:描述現實世界中不同增長規律的函數模型.簡單地說,數學模型就是把實際問題用數學語言抽象概括,再從數學角度來反映或近似地反映實際問題時,所得出的關于實際問題的數學描述.數學模型的方法,是把實際問題加以抽象概括,建立相應的數學模型,利用這些模型來研究實際問題的一般數學方法.解決問題的

6、一般程序是:1審題:逐字逐句的閱讀題意,審清楚題目條件、要求、理解數學關系；2建模:分析題目變化趨勢,選擇適當函數模型；3求解:對所建立的數學模型進行分析研究得到數學結論；4復原:把數學結論復原為實際問題的解答.畫出散點圖,分析它的變化趨勢,確定適宜的函數模型.三、應用例如例1 如圖1, 某地一天從614時的溫度變化曲線近似滿足函數y=sin(x+)+b.圖1(1)求這一天的最大溫差;(2)寫出這段曲線的函數解析式. 活動:這道例題是2002年全國卷的一道高考題,探究時教師與學生一起討論.本例是研究溫度隨時間呈周期性變化的問題.教師可引導學生思考,本例給出模型了嗎？給出的模型函數是什么？要解決

7、的問題是什么？怎樣解決？然后完全放給學生自己討論解決. 題目給出了某個時間段的溫度變化曲線這個模型.其中第(1)小題實際上就是求函數圖象的解析式,然后再求函數的最值差.教師應引導學生觀察思考:“求這一天的最大溫差實際指的是“求6是到14時這段時間的最大溫差,可根據前面所學的三角函數圖象直接寫出而不必再求解析式.讓學生體會不同的函數模型在解決具體問題時的不同作用.第(2)小題只要用待定系數法求出解析式中的未知參數,即可確定其解析式.其中求是利用半周期(14-6),通過建立方程得解.解:(1)由圖可知,這段時間的最大溫差是20 .(2)從圖中可以看出,從614時的圖象是函數y=Asin(x+)+b

8、的半個周期的圖象,A=(30-10)=10,b= (30+10)=20.=14-6,=.將x=6,y=10代入上式,解得=. 綜上,所求解析式為y=10sin(x+)+20,x6,14.點評:本例中所給出的一段圖象實際上只取614即可,這恰好是半個周期,提醒學生注意抓關鍵.本例所求出的函數模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情況,因此應當特別注意自變量的變化范圍,這點往往被學生忽略掉.互動探究圖5表示的是電流I與時間t的函數關系圖5I=Asin(x+)(0,|)在一個周期內的圖象.(1)根據圖象寫出I=Asin(x+)的解析式;(2)為了使I=Asin(x+)中的t在任意一段s的時間內電流I

9、能同時取得最大值和最小值,那么正整數的最小值為多少?解:(1)由圖知A=300,第一個零點為(,0),第二個零點為(,0),()+=0,+=.解得=100,=,I=300sin(100t+).(2)依題意有T,即,200.故min=629.例2 做出函數y=|sinx|的圖象并觀察其周期例3 如圖2,設地球外表某地正午太陽高度角為,為此時太陽直射緯度,為該地的緯度值,那么這三個量之間的關系是=90-|-|.當地夏半年取正值,冬半年取負值. 如果在北京地區(緯度數約為北緯40)的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓,要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋,兩樓的距離不應小于多少? 活動: 如圖2

10、本例所用地理知識、物理知識較多,綜合性比擬強,需調動相關學科的知識來幫助理解問題,這是本節的一個難點.在探討時要讓學生充分熟悉實際背景,理解各個量的含義以及它們之間的數量關系. 首先由題意要知道太陽高度角的定義:設地球外表某地緯度值為,正午太陽高度角為,此時太陽直射緯度為,那么這三個量之間的關系是=90-|-|.當地夏半年取正值,冬半年取負值. 根據地理知識,能夠被太陽直射到的地區為南、北回歸線之間的地帶,圖形如圖3,由畫圖易知太陽高度角、樓高h0與此時樓房在地面的投影長h之間有如下關系: h0=htan. 由地理知識知,在北京地區,太陽直射北回歸線時物體的影子最短,直射南回歸線時物體的影子最

11、長.因此,為了使新樓一層正午的太陽全年不被遮擋,應當考慮太陽直射南回歸線時的情況.圖3 解:如圖3,A、B、C分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回歸線時樓頂在地面上的投影點.要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋,應取太陽直射南回歸線的情況考慮,此時的太陽直射緯度2326.依題意兩樓的間距應不小于MC. 根據太陽高度角的定義, 有C90|40(2326)|2634, 所以MC=2.000h0, 即在蓋樓時,為使后樓不被前樓遮擋,要留出相當于樓高兩倍的間距. 點評:本例是研究樓高與樓在地面的投影長的關系問題,是將實際問題直接抽象為與三角函數有關的簡單函數模型,然后根據所得的函數模型解決問題.

12、要直接根據圖2來建立函數模型,學生會有一定困難,而解決這一困難的關鍵是聯系相關知識,畫出圖3,然后由圖形建立函數模型,問題得以求解.這道題的結論有一定的實際應用價值.教學中,教師可以在這道題的根底上再提出一些問題,如下例的變式訓練,激發學生進一步探究.變式訓練 某市的緯度是北緯23,小王想在某住宅小區買房,該小區的樓高7層,每層3米,樓與樓之間相距15米.要使所買樓層在一年四季正午太陽不被前面的樓房遮擋,他應選擇哪幾層的房？圖4解:如圖4,由例3知,北樓被南樓遮擋的高度為h=15tan90-(23+2326)=15tan433414.26,由于每層樓高為3米,根據以上數據,所以他應選3層以上.

13、例4貨船進出港時間問題:海水受日月的引力,在一定的時候發生漲落的現象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時駛進航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節每天的時間與水深關系表:時刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米5.07.55.02.55.07.55.02.55.0(1)選用一個函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系,給出整點時的水深的近似數值(精確到0.001).(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4米,平安條例規定至少要有1.5米的平安間隙(船底與洋底的距離),該船何時能進入港

14、口?在港口能呆多久?(3)假設某船的吃水深度為4米,平安間隙為1.5米,該船在2:00開始卸貨,吃水深度以每小時0.3米的速度減少,那么該船在什么時間必須停止卸貨,將船駛向較深的水域? 活動:引導學生觀察上述問題表格中的數據,會發現什么規律?比方重復出現的幾個數據.并進一步引導學生作出散點圖.讓學生自己完成散點圖,提醒學生注意仔細準確觀察散點圖,如圖6.教師引導學生根據散點的位置排列,思考可以用怎樣的函數模型來刻畫其中的規律.根據散點圖中的最高點、最低點和平衡點,學生很容易確定選擇三角函數模型.港口的水深與時間的關系可以用形如y=Asin(x+)+h的函數來刻畫.其中x是時間,y是水深,我們可

15、以根據數據確定相應的A,h的值即可.這時注意引導學生與“五點法相聯系.要求學生獨立操作完成,教師指導點撥,并糾正可能出現的錯誤,直至無誤地求出解析式,進而根據所得的函數模型,求出整點時的水深.圖6 根據學生所求得的函數模型,指導學生利用計算器進行計算求解.注意引導學生正確理解題意,一天中有兩個時間段可以進港.這時點撥學生思考:你所求出的進港時間是否符合時間情況？如果不符合,應怎樣修改？讓學生養成檢驗的良好習慣. 在本例(3)中,應保持港口的水深不小于船的平安水深,那么如何刻畫船的平安水深呢？引導學生思考,怎樣把此問題翻譯成函數模型.求貨船停止卸貨,將船駛向深水域的含義又是什么?教師引導學生將實

16、際問題的意義轉化為數學解釋,同時提醒學生注意貨船的平安水深、港口的水深同時在變,停止卸貨的時間應當在平安水深接近于港口水深的時候.進一步引導學生思考:根據問題的實際意義,貨船的平安水深正好等于港口的水深時停止卸貨行嗎？為什么？正確結論是什么？可讓學生思考、討論后再由教師組織學生進行評價.通過討論或爭論,最后得出一致結論:在貨船的平安水深正好等于港口的水深時停止卸貨將船駛向較深水域是不行的,因為這樣不能保證貨船有足夠的時間發動螺旋槳.解:(1)以時間為橫坐標,水深為縱坐標,在直角坐標系中畫出散點圖(圖6).根據圖象,可以考慮用函數y=Asin(x+)+h刻畫水深與時間之間的對應關系.從數據和圖象

17、可以得出:A2.5,h5,T12,0,由T12,得.所以這個港口的水深與時間的關系可用y2.5sinx+5近似描述.由上述關系式易得港口在整點時水深的近似值:時刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754時刻12:0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.

18、5002.8353.754(2)貨船需要的平安水深為4+1.55.5(米),所以當y5.5時就可以進港.令2.5sinx+5=5.5,sinx=0.2.由計算器可得MODEMODE2SHIFTsin-10.2=0.201 357 920.201 4.如圖7,在區間0,12內,函數y2.5sinx+5的圖象與直線y5.5有兩個交點A、B,圖7因此x0.201 4,或x0.201 4.解得xA0.384 8,xB5.615 2.由函數的周期性易得:xC12+0.384 812.384 8,xD12+5.615 217.615 2.因此,貨船可以在0時30分左右進港,早晨5時30分左右出港;或在中午

19、12時30分左右進港,下午17時30分左右出港.每次可以在港口停留5小時左右.圖8(3)設在時刻x貨船的平安水深為y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x2).在同一坐標系內作出這兩個函數的圖象,可以看到在67時之間兩個函數圖象有一個交點(如圖8). 通過計算也可以得到這個結果.在6時的水深約為5米,此時貨船的平安水深約為4.3米;6.5時的水深約為4.2米,此時貨船的平安水深約為4.1米;7時的水深約為3.8米,而貨船的平安水深約為4米.因此為了平安,貨船最好在6.5時之前停止卸貨,將船駛向較深的水域. 點評:本例是研究港口海水深度隨時間呈周期性變化的問題,題目只給出了時間與水深的關系表,要想由此表直接得到函數模型是很困難的.對第(2)問的解答,教師引導學生利用計算器進行計算求解.同時需要強調,建立數學模型解決實際問題,所得的模型是近似的,并且得到的解