1、3.3三角函數的奇偶性與單調性【知識網絡】1正弦、余弦、正切函數的奇偶性、對稱性；正弦、余弦、正切函數的的單調性【典型例題】例1(1) 已知，函數為奇函數，則a（）（A）0（B）1（C）1（D）1(1)A 提示：由題意可知，得a=0（2）函數的單調增區間為()A BC D(2)C 提示：令可得（3）定義在R上的函數既是偶函數又是周期函數，若的最小正周期是，且當時，則的值為 ( )A. B. C. D. (3)B 提示：（4）如果是奇函數，則 (4)由（）已知函數滿足以下三個條件： 在上是增函數以為最小正周期是偶函數試寫出一滿足以上性質的一個函數解析式(5)提示：答案不唯一，如還可寫成等例2判斷

2、下列函數的奇偶性（）； (2 ) ； (3 ) ； (4 ) 解：（1）的定義域為，故其定義域關于原點對稱，又為奇函數（2）時，而， 的定義域不關于原點對稱，為非奇非偶函數。（3）的定義域為R，又 為偶函數。（4） 由得，又 ，故此函數的定義域為 ，關于原點對稱，此時 既是奇函數，又是偶函數。例3已知:函數 (1)求它的定義域和值域； (2)判斷它的奇偶性； (3)求它的單調區間； （4）判斷它的周期性,若是周期函數,求它的最小正周期.解:(1).由 定義域為, 值域為(2).定義域不關于原點對稱,函數為非奇非偶函數（3）的遞增區間為 遞減區間為(4).是周期函數,最小正周期T.例4已知函數，

3、求:(I) 函數的最大值及取得最大值的自變量的集合；(II) 函數的單調增區間解(I)當,即時, 取得最大值.函數的取得最大值的自變量的集合為. (II) 由題意得: 即: 因此函數的單調增區間為.【課內練習】1函數f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)的圖像關于原點對稱的充要條件是 （）A=2k，kZ B=k，kZ C=2k，kZ D=k，kZ1D 提示： 令可得2在中，若函數在0，1上為單調遞減函數，則下列命題正確的是（A） （B）（C） （D）2C 提示：根據所以3.同時具有性質“ 最小正周期是； 圖象關于直線對稱； 在上是增函數”的一個函數是( ) A B C D 3D 提示：由

4、性質(1)和(2)可排除 A和C ,再求出的增區間即可4設函數，若，則下列不等式必定成立的是 （）A B C D 4B提示：易知，且當x時，為增函數又由，得，故 |，于是5.判斷下列函數奇偶性（1）是 ；（2）是 ； （3）f（x）=是 5（1）偶函數（）非奇非偶函數（）奇函數提示：先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，然后用奇函數和偶函數的定義判斷6.若是以5為周期的奇函數，且，則= 6 -4 提示：五個函數中，同時滿足且的函數的序號為7提示：不滿足不滿足8求下列函數的單調區間.(1) (2) 解:(1).原函數變形為令,則只需求的單調區間即可.,()上即,()上單調遞增,在,上即,上單調遞減

5、故的遞減區間為:遞增區間為:. (2)原函數的增減區間即是函數的減增區間,令由函數的圖象可知:周期且 在上,即上遞增, 在即在上遞減故所求的遞減區間為,遞增區間為()已知為奇函數，且當時，（） 當時，求的解析式；（） 當時，求的解析式解：（）當時，則，又為奇函數，所以（） 當時，為奇函數，所以由（）知10已知函數是上的偶函數，其圖象關于點對稱，且在區間上是單調函數，求的值解：由是上的偶函數，得，即，展開整理得：，對任意都成立，且，所以又，所以由的圖象關于點對稱，得取，得，所以，所以，即；綜上所得，作業本A組函數y=xcosx的部分圖象是（）1.D提示：y=xcosx為奇函數，且當.2函數y=2

6、sin（2x）（x0，）為增函數的區間是 （ ）A.0，B.， C.， D.，2C提示：由y=2sin（2x）=2sin（2x）其增區間可由y=2sin（2x）的減區間得到，即2k+2x2k+，kZ.k+xk+，kZ.令k=0，故選C.若是周期為的奇函數，則可以是 （ ）A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x3B4.已知，則4-17 提示:5已知的一條對稱軸為軸,且.求= .5提示：由可得已知函數（1）畫出的圖象，并寫出其單調區間、最大值、最小值；（2）判斷是否為周期函數.如果是，求出最小正周期.解：（1）實線即為的圖象.單調增區間為2k+，2k+，2k+，2k+2（kZ），單調

7、減區間為2k，2k+，2k+，2k+（kZ），f（x）max=1，f（x）min=.（2）f（x）為周期函數，T=2.7.比較下列各組中兩個值的大?。海?），；（2），解：（1），又及在內是減函數，可得（2），而在上遞增，8.是定義在上的偶函數，當時，；當 時，的圖象是斜率為，在軸上截距為2的直線在相應區間上的部分.（1）求，的值；（2）求的解析式，并作出圖象，寫出其單調區間.解：（1）當x（，2時，y=f（x）=x2，又f（x）是偶函數，f（2）=f（2）=2.又x0，時，y=f（x）=cosx，f（）=f（）=.（2）y=f（x）=單調增區間為，0，2.單調減區間為2，0，。 B組1函數是

8、奇函數的充要條件是（ ）ABCD1D 提示：由奇函數的定義可得2函數y = xcosxsinx在下面哪個區間內是增函數 （ ）A.（，） B.（，2） C.（，） D.（2，3）2B 提示：利用導數判斷3設是一個鈍角三角形的兩個銳角，則下列四個不等式中不正確的是（A） （B） （C） （D）3D 提示：取特值，如取4給出下列命題：正切函數的圖象的對稱中心是唯一的；y=|sinx|、y=|tanx|的周期分別為、；若x1x2，則sinx1sinx2；若f（x）是R上的奇函數，它的最小正周期為T，則f（）=0.其中正確命題的序號是_. 4 提示：正切函數的對稱中心是；y=|sinx|、y=|tan

9、x|的周期都是正弦函數在定義域上不是單調函數；5設函數。若是奇函數，則_5 提示 由可得6已知函數(1) 這個函數是否為周期函數?為什么?(2) 求它的單調增區間和最大值.解:(1)是以為周期的周期函數.(2) 當時,增區間為,最大值為;當,增區間為,最大值為7.設函數，圖象的一條對稱軸是直線(1) 求;(2) 求函數的單調增區間;(3) 證明直線與函數的圖象不相切.解:(1)是函數的圖象的一條對稱軸 (2)由(1)知,因此 由題意得 所以函數 的單調增區間為.(3)證明:,所以曲線的切線斜率取值范圍為-2,2,而直線的斜率為,所以直線與函數的圖象不相切.8已知偶函數的最小值是0，求的最大值及此時的集合解：因為是偶函數，所以對