1、12第四章第四章 扭轉扭轉41 工程實例、概念42 外力偶矩、扭矩43 薄壁圓筒的扭轉44 圓軸扭轉時的應力、強度計算45 圓軸扭轉時的變形、剛度計算46 等直圓桿的扭轉超靜定問題47 非圓截面桿的扭轉48 開口和閉合薄壁截面在自由扭轉時的應力48 圓柱形密圈螺旋彈簧的計算扭轉變形小結扭轉變形小結3一、工程實例一、工程實例1 1、螺絲刀桿工作時受扭。、螺絲刀桿工作時受扭。2 2、汽車方向盤的轉動軸工作時受扭。、汽車方向盤的轉動軸工作時受扭。4 41 1 工程實例、概念工程實例、概念mmFFm43 3、機器中的傳動軸工作時受扭。、機器中的傳動軸工作時受扭。4 4、鉆井中的鉆桿工作時受扭。、鉆井中

2、的鉆桿工作時受扭。mm56二、扭轉的概念二、扭轉的概念受力特點：桿兩端作用著大小相等方向相反的力偶，且作用受力特點：桿兩端作用著大小相等方向相反的力偶，且作用 面垂直桿的軸線。面垂直桿的軸線。變形特點：桿任意兩截面繞軸線發生相對轉動。變形特點：桿任意兩截面繞軸線發生相對轉動。軸：主要發生扭轉變形的桿。軸：主要發生扭轉變形的桿。72 2、已知：功率、已知：功率 P P馬力馬力(Ps)(Ps)，轉速，轉速 n n轉分轉分(r(rminmin；rpm) )。外力偶矩：外力偶矩：二、內力：二、內力：T T（扭矩）（扭矩）m)(N7024nPm一、外力：一、外力：m m （外力偶矩）（外力偶矩）1 1、

3、已知：功率、已知：功率 P P千瓦千瓦(KW(KW），轉速），轉速 n n轉分轉分(r(rminmin； rpm) )。外力偶矩：外力偶矩：9549Pmn(N m)4 42 2 外力偶矩、扭矩外力偶矩、扭矩82 2、內力的符號規定內力的符號規定：以變形為依據，按右手螺旋法則判斷。：以變形為依據，按右手螺旋法則判斷。右手的四指代表扭矩的旋轉方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋轉方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背離所在截面則扭矩規定為正值，反之為負值。其矢量方向背離所在截面則扭矩規定為正值，反之為負值。T+T-mmx xm = 0m = 0T-m= 0T-m= 0T =mT

4、 =mTx1 1、內力的大小、內力的大小：（截面法）：（截面法）94 4、內力圖（扭矩圖）：表示構件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形。、內力圖（扭矩圖）：表示構件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形。作法：同軸力圖：作法：同軸力圖：例例 已知：一傳動軸，已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入，主動輪輸入 P1=500kW，從，從動輪輸出動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。，試繪制扭矩圖。nA B C Dm2 m3 m1 m4（1 1）、截開面上設正值的扭矩方向。）、截開面上設正值的扭矩方向。（2 2）、在采用截面法之前不能將外力簡化或平移。）、在采用

5、截面法之前不能將外力簡化或平移。3、注意的問題注意的問題10 15.9(kN.m)m)(N1015.930050095499549311nPm4.78(kN.m)m)(N 1078. 4300150954995493232nPmm6.37(kN.m)m)(N10 37. 630020095499549344nPm求扭矩（扭矩按正方向設）求扭矩（扭矩按正方向設）解：解：計算外力偶矩計算外力偶矩P Pmm = = 9 9 5 5 4 4 9 9n n例例 已知：一傳動軸，已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入，主動輪輸入 P1=500kW，從，從動輪輸出動輪輸出 P2=150kW，P

6、3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。，試繪制扭矩圖。11nA B C Dm2 m3 m1 m4112233mkN56. 9)78. 478. 4( , 0 322322mmTmmTmkN376 , 0 4243.mTmTmkN78. 4 0 , 02121mTmTmxT1m2m2m3T2m4T3繪制扭矩圖繪制扭矩圖9.56xT（kN.m）4.786.37BC段為危險截面。段為危險截面。12實驗實驗變形規律變形規律應力的分布規律應力的分布規律應力的計算公式。應力的計算公式。1 1、實驗：、實驗：4 43 3 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉一、一、薄壁圓筒橫截面上的應力薄壁圓筒橫截面上的

7、應力( (壁厚壁厚0101rt ,r0：為平均半徑）132 2、變形規律：、變形規律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動了一個不同的角度。了一個不同的角度。縱向線縱向線傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。3 3、剪應變（角應變）：、剪應變（角應變）：直角角度的改變量。直角角度的改變量。4 4、定性分析橫截面上的應力、定性分析橫截面上的應力00（1）00（2）因為同一圓周上剪應變相同，所以同一圓周上剪應力大小相等。因為同一圓周上剪應變相同，所以同一圓周上剪應力大小相等。 因為壁厚遠小

8、于直徑，所以可以認為剪應力沿壁厚均勻分布因為壁厚遠小于直徑，所以可以認為剪應力沿壁厚均勻分布, ,而且方向垂直于其半徑方向。而且方向垂直于其半徑方向。145 5、剪應力的計算公式：、剪應力的計算公式：dAdA（dA）r0 。 dA=（r0d）t。2.2020200trtdrrdATAtrT202d二、剪切虎克定律二、剪切虎克定律G)1 (2EG在彈性范圍內剪應力與剪應變成正比關系。在彈性范圍內剪應力與剪應變成正比關系。ppsb15在相互垂直的兩個面上，剪應力在相互垂直的兩個面上，剪應力總是成對出現的，并且大小總是成對出現的，并且大小相等相等，方向同時指向或同時背離兩個方向同時指向或同時背離兩個

9、面的交線。面的交線。三、剪應力互等定理三、剪應力互等定理acddxb dy tz 0Ydydzdydz 0Xdxdzdxdz0ZMdydxdzdxdydz)()(16一、圓軸扭轉時橫截面上的應力（超靜定問題）一、圓軸扭轉時橫截面上的應力（超靜定問題）幾何關系：由實驗通過變形規律幾何關系：由實驗通過變形規律應變的變化規律應變的變化規律物理關系：由應變的變化規律物理關系：由應變的變化規律應力的分布規律應力的分布規律靜力關系：由橫截面上的扭矩與應力的關系靜力關系：由橫截面上的扭矩與應力的關系應力的計算公式。應力的計算公式。一）、幾何關系一）、幾何關系：1 1、實驗：、實驗：4 44 4 圓軸扭轉時的

10、應力、強度計算圓軸扭轉時的應力、強度計算172 2、變形規律：、變形規律：圓軸線圓軸線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動了一個不同的角度。了一個不同的角度。縱向線縱向線傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。3 3、平面假設、平面假設：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀、大：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀、大小、間距不變，半徑仍為直線。小、間距不變，半徑仍為直線。4 4、定性分析橫截面上的應力、定性分析橫截面上的應力00（1）00（2）因為同一圓周上剪應變相同，所以同因為同一圓周上剪應

11、變相同，所以同一圓周上剪應力大小相等，并且方向一圓周上剪應力大小相等，并且方向垂直于其半徑方向。垂直于其半徑方向。O1A2185 5、剪應變的變化規律、剪應變的變化規律：二）物理關系：二）物理關系：彈性范圍內工作時彈性范圍內工作時PmaxGGdxdG方向垂直于半徑。方向垂直于半徑。dxddxRddxbbdxbbtg11bb1axdxGGxGGdddtg1119 應力分布應力分布（實心截面）（實心截面）（空心截面）（空心截面）20三）靜力關系：三）靜力關系：dAdAdAAOdAAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd 代入物理關系式代入物理關系式 得：得：xG

12、dd pIT圓軸扭轉時橫截面上任一點的剪應力計算式。圓軸扭轉時橫截面上任一點的剪應力計算式。pGITx dd 21橫截面上橫截面上TPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量，單位：抗扭截面模量，單位：m m3 3 mmmm3 3 。整個圓軸上整個圓軸上等直桿：等直桿：TWTmaxmax變直桿：變直桿：maxmax)(TWT三、公式的使用條件：三、公式的使用條件：1 1、等直的圓軸，、等直的圓軸， 2 2、彈性范圍內工作。、彈性范圍內工作。I Ip p截面的極慣性矩，單位：截面的極慣性矩，單位： m m4 4 mmmm4 4二、圓軸中二、圓軸中maxmax的確定的確定TW22四、四、I I

13、p p, W, Wt t 的確定的確定 ：1 1、實心圓截面、實心圓截面42032232122DdddAIDAAP3max1612DDIIWPPT2 2、空心圓截面、空心圓截面D D234423442 2d dP PA A2 244441 1I=I= dA=2dA=2 d d = = (D - d)(D - d)32321 1= = D (1-D (1- ) )3232)1 (161243DDIWPTDdDdOdDOdAIApd223 實心圓軸的直徑實心圓軸的直徑d =100 mm，長，長l =1m，作用作用在兩個端面上的外力偶之矩均為在兩個端面上的外力偶之矩均為Me=14 kNm，轉，轉向相

14、反。材料的切變模量向相反。材料的切變模量G=8104 MPa。求：。求：圖示橫截面上圖示橫截面上ABC三點處切應力的大小及方向。三點處切應力的大小及方向。24 A= B= max= 71.3 MPa C=35.7 MPapIT6414 50 1071.33.14 10032ABpTMPaI25五、圓軸扭轉時斜截面上的應力五、圓軸扭轉時斜截面上的應力低碳鋼試件：低碳鋼試件：沿橫截面斷開。沿橫截面斷開。鑄鐵試件：鑄鐵試件：沿與軸線約成沿與軸線約成45 的的螺旋線斷開。螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應力。因此還需要研究斜截面上的應力。26mT方法：取單元體（單元體上的應力認為是均勻分布的）方法

15、：取單元體（單元體上的應力認為是均勻分布的） x270cos)sin(sin)cos(0dAdAdAN0sin)sin(cos)cos(0dAdAdAT2sin2cos設：設：efef 邊的面積為邊的面積為 dAdA 則則 xntefbeb邊的面積為邊的面積為dAcosef邊的面積為邊的面積為dAsin282 2、maxmax：=0=00 0， maxmax=（=0=0）。橫截面上！）。橫截面上！1 1、maxmax：=4545。 maxmax=（=0=0）。）。4545斜截面！斜截面！結論：結論： 如果材料的抗剪切能力差，構件就沿橫截面發生破壞如果材料的抗剪切能力差，構件就沿橫截面發生破壞（

16、塑性材料）；（塑性材料）； 如果材料的抗拉壓能力差，構件就沿如果材料的抗拉壓能力差，構件就沿4545斜截面發生破壞斜截面發生破壞（脆性材料）。（脆性材料）。2cos ; 2sin 分析：分析： 4529 扭轉失效與極限應力扭轉失效與極限應力塑性材料塑性材料屈服屈服斷裂斷裂脆性材料脆性材料斷裂斷裂扭轉扭轉屈服應力屈服應力 s ，扭轉強度極限扭轉強度極限 b 扭轉極限應力扭轉極限應力 u圓軸扭轉圓軸扭轉屈服時橫截面上的最大切應力屈服時橫截面上的最大切應力扭轉屈服應力扭轉屈服應力圓軸扭轉圓軸扭轉斷裂時橫截面上的最大切應力斷裂時橫截面上的最大切應力扭轉強度極限扭轉強度極限扭轉極限應力扭轉失效形式30

17、圓軸扭轉強度條件圓軸扭轉強度條件max nu maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圓軸等截面圓軸: :變截面或變扭矩圓軸變截面或變扭矩圓軸: : u材料的扭轉極限應力材料的扭轉極限應力n - 安全因數安全因數塑性材料塑性材料： =（0.50.577） 脆性材料脆性材料： = （0.81.0） t 為保證軸不因強度不夠而破壞，要求軸內的最大扭轉切應力不得超過扭轉許用切應力危險點處于純剪切狀態，又有危險點處于純剪切狀態，又有31 圓軸合理強度設計圓軸合理強度設計1. 合理截面形狀合理截面形狀若若 Ro/d d 過大過大將產生皺褶將產生皺褶空心截面比空心截面比實心截面好實心截面好2. 采

18、用變截面軸與階梯形軸采用變截面軸與階梯形軸注意減緩注意減緩應力集中應力集中32六、圓軸扭轉時的強度計算六、圓軸扭轉時的強度計算1 1、強度條件：、強度條件： TWTmaxmax2 2、強度計算：、強度計算：1 1）校核強度；）校核強度；2 2）設計截面尺寸；）設計截面尺寸；3 3）確定外荷載。）確定外荷載。maxmaxtWTmmaxtWTmaxTWt）（空：實：433116 16 DDWt33 例例 題題例 5-1 已知已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，試試根據強度條根據強度條件設計實心圓軸與件設計實心圓軸與 = = 0.9 的空心圓軸，并進行比較。的空心圓軸，并進行比較。解

19、：1. 確定確定實心圓軸直徑實心圓軸直徑 316dT 316 Td mm 54 d取取：m 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 max 163pmaxdTWT 342. 確定空心圓軸內、外徑確定空心圓軸內、外徑 )1(161643odT mm 3 .76)1 (1634o Tdmm7 .68oi dd mm 68 mm 76 io dd，取：取：3. 重量比較重量比較%5 .394)(422i2o ddd 空心軸遠比空心軸遠比實心軸輕實心軸輕 43op116 dW35解：1. 扭矩分析扭矩分析例 5-2 R050 mm的的薄壁圓管，左、右薄壁圓管，左、右段的壁厚段的壁厚分

20、別分別為為 d d1 1 5 5 mm，d d2 2 4 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， 50 MPa，試校核圓管強度試校核圓管強度。362. 強度校核強度校核危險截面危險截面：1202d d RTAA 2202d d RTBB 截面截面 A與與 BMPa 6 .442120 d d RmlMPa 9 .2722220 d d Rml37一、變形：（相對扭轉角）一、變形：（相對扭轉角）dxGITdGITdxddxdGITPPP4 45 5 圓軸扭轉時的變形、剛度計算圓軸扭轉時的變形、剛度計算PGITL T=常量,且分段。PGITL T=常量)(xTT LPGITd

21、x單位：弧度（單位：弧度（radrad）。）。GIGIP P抗扭剛度。抗扭剛度。38PGITL單位長度的扭轉角，mrad二、剛度條件：二、剛度條件： PGITmaxmax 0maxmax180PGITm0三、剛度計算：三、剛度計算：1 1、校核剛度；、校核剛度；2 2、設計截面尺寸；、設計截面尺寸；3 3、確定外荷載。、確定外荷載。 max max GT Ipm max pGIT 39 例例 功率為功率為150 150 kW，轉速為，轉速為15.4 15.4 轉轉/ /秒的電動機轉子軸如圖所秒的電動機轉子軸如圖所示，示，許用剪應力許用剪應力 =30 =30 M Pa, Pa, 試校核其強度。試

22、校核其強度。).(1055. 160*54. 1150954995493mNnPmTBCT1.55 kN.m解解：求扭矩及扭矩圖求扭矩及扭矩圖計算并校核剪應力強度計算并校核剪應力強度D3 =135D2=75 D1=70ABCmmxMPa2316701055. 1161363maxDTWTt40 例例 長為長為 L=2 m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m= =20 Nm/m 的作用，如圖，的作用，如圖，若桿的內外徑之比為若桿的內外徑之比為 =0.8 =0.8 ，G=80 =80 GPa ，許用剪應力，許用剪應力 =30 =30 MPa，試設計桿的外徑；若，試設計桿的外徑；若 =2/=2/m

23、 ，試校核此桿的，試校核此桿的剛度，并求右端面轉角。剛度，并求右端面轉角。解解：設計桿的外徑設計桿的外徑maxmaxtWTxT(x)=mx=20 xTmax=20*2=40Nm41314max 116）（TD40NmxT代入數值得：代入數值得： D 0.0226m。 由扭轉剛度條件校核剛度由扭轉剛度條件校核剛度180maxmaxPGIT mD/89. 1)1 (108018040324429右端面轉角右端面轉角為：為：弧度）( 033. 0 2)(200PLPLPGImLdxGImxdxGIxTmaxTWt 116D 43）（tW42 例例 某傳動軸設計要求轉速某傳動軸設計要求轉速n = 50

24、0 r / min，輸入功率，輸入功率P1 = 500 馬力，馬力， 輸出功率分別輸出功率分別 P2 = 200馬力及馬力及 P3 = 300馬力，已知：馬力，已知：G=80 GPa ， =70 M Pa， =1/m ，試確定：，試確定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC 段直徑段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應為多少？若全軸選同一直徑，應為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？主動輪與從動輪如何安排合理？解解：圖示狀態下圖示狀態下, ,扭矩圖扭矩圖500400P1P3P2ACBTx7024 4210(Nm)m)(N7024nPm).(7024500500702411mNmT).(4210

25、500300702432mNmT4316 31TdWt mm)(4 .67107014. 3421016163632Td180 32 4 GTdIp mm)(80107014. 3702416163631Td由剛度條件得：由剛度條件得：由強度條件：由強度條件：maxmaxtWT180maxmaxPGITmm)(4 .741108014. 3180421032 180 32492422 GTdmm)(841108014. 3180702432 180 32492421 GTd44 mm4 .74 ,mm8421 dd綜上：綜上：全軸選同一直徑時全軸選同一直徑時 mm841 dd 軸上的軸上的絕對

26、值絕對值最大最大的扭矩的扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1輪和輪和2輪應輪應 該該換位。換位。換位后換位后, ,軸的扭矩如圖所示軸的扭矩如圖所示, ,此時此時, ,軸的最大直徑才軸的最大直徑才 為為 75 75mm。Tx 4210(Nm)28144546A1A2=1.28347 等直圓桿的扭轉超靜定問題等直圓桿的扭轉超靜定問題解扭轉超靜定問題的步驟：解扭轉超靜定問題的步驟：平衡方程；平衡方程；幾何方程幾何方程變形協調方程；變形協調方程；補充方程：把物理方程（力與變形的關系）代入幾何方程得；補充方程：把物理方程（力與變形的關系）代入幾何方程得；解由平衡方程和補充方程組成的方程組。解由平衡

27、方程和補充方程組成的方程組。48 例例 長為長為 L=2 m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如圖，的作用，如圖，若桿的內外徑之比為若桿的內外徑之比為 =0.8 =0.8 ，外徑，外徑 D=0.0226 m =0.0226 m ，G=80 GPa，試求：固定端的反力偶。試求：固定端的反力偶。解解：桿的受力圖如圖示，桿的受力圖如圖示， 這是一次超靜定問題。這是一次超靜定問題。 平衡方程為：平衡方程為：02mmmBA幾何方程幾何方程：0BA49 力的補充方程力的補充方程：040220)(200PAPALPBAGImdxGIxmdxGIxTmN 20 Am 由平衡方程得

28、由平衡方程得：另另: :此題可由對稱性直接求得結果。此題可由對稱性直接求得結果。mN 20Bmx50CMeabABl51ACBMeMeAMeB00eee MMMMBAxCMeabABl52CMeabABlBCAC 1ppACT aM aGIGI e eA APeP2GIbMGIbTBBC baMMABee 0eee MMMBAlMaMlMbMBA/ee ACBMeMeAMeB53MeMelAB54e0 xabMMMMBA ppabABaabbM lM lG IG IMeMeMelABMaMb55ppaaabbbG IMMG IpppaaaaabbG IMG IG IpppbbbaabbG IM

29、G IG IMbMaMeBA MeMelAB56一、非圓截面桿與圓截面桿的區別圓桿扭轉時圓桿扭轉時 橫截面保持為平面；橫截面保持為平面；非圓桿扭轉時非圓桿扭轉時 橫截面由平面變橫截面由平面變 為曲面（發生翹曲）。為曲面（發生翹曲）。 非圓截面桿的扭轉非圓截面桿的扭轉57二、研究方法：二、研究方法：彈性力學的方法研究彈性力學的方法研究三、非圓截面桿扭轉的分類：1 1、自由扭轉（純扭轉）、自由扭轉（純扭轉）2 2、約束扭轉。、約束扭轉。四、分析兩種扭轉：1 1、自由扭轉：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸），、自由扭轉：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸）， 任意兩相鄰截面翹曲程度相同

30、。任意兩相鄰截面翹曲程度相同。受力特點：兩端受外力偶作用。受力特點：兩端受外力偶作用。變形特點變形特點: :相鄰兩截面翹曲完全相同，縱向長度不變，所以縱相鄰兩截面翹曲完全相同，縱向長度不變，所以縱 向應變等于零。向應變等于零。應力特點：橫截面上正應力等于零，剪應力不等于零。應力特點：橫截面上正應力等于零，剪應力不等于零。2 2、約束扭轉：由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹、約束扭轉：由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹 曲程度不同。曲程度不同。受力特點：兩端受外力偶作用。受力特點：兩端受外力偶作用。58變形特點變形特點: :相鄰兩截面翹曲不相同，縱向長度發生變化，所以相鄰兩截面翹曲不

31、相同，縱向長度發生變化，所以 縱向應變不等于零。縱向應變不等于零。應力特點：橫截面上正應力不等于零，剪應力不等于零。應力特點：橫截面上正應力不等于零，剪應力不等于零。五、矩形截面桿的自由扭轉：1 1、分布：、分布：2 2、應力計算、應力計算： 2maxhbTWTt（整個橫截面上最大的剪應力）。（整個橫截面上最大的剪應力）。短邊中點短邊中點max13 3、變形：、變形：3hbGTLGITLt長邊中點長邊中點 , tGITh bh 1T max 注意！注意！b59六、非圓截面桿扭轉的有關規律：1 1、截面周邊各點處剪應力的方向與周邊平行（相切）。、截面周邊各點處剪應力的方向與周邊平行（相切）。2

32、2、在凸角處的剪應力等于零。、在凸角處的剪應力等于零。31 ; ) 10 : (bh即對于狹長矩形60一、剪應力流的方向與扭矩的方向一致。一、剪應力流的方向與扭矩的方向一致。二、開口薄壁截面桿在自由扭轉時的剪應力分布如圖（二、開口薄壁截面桿在自由扭轉時的剪應力分布如圖（a），厚），厚 度中點處，應力為零。度中點處，應力為零。4 48 8 開口和閉合薄壁截面在自由扭轉時的應力開口和閉合薄壁截面在自由扭轉時的應力61三、閉口薄壁截面桿在自由扭轉時的剪應力分布如圖（三、閉口薄壁截面桿在自由扭轉時的剪應力分布如圖（b b），同），同 一厚度處，應力均勻分布。一厚度處，應力均勻分布。62四、閉口薄壁截面

33、桿自由扭轉時的剪應力計算，在（四、閉口薄壁截面桿自由扭轉時的剪應力計算，在（c）圖上取）圖上取 單元體如圖（單元體如圖（d）。）。圖（c）d xd d 2d d1 1 2圖（d）2211 d d ; 0ddxxX常量2211 dd63dminmax2Tddd22)(ddsT積。為厚度中線所包圍的面 21dds 64 例例 圖示橢圓形薄壁截面桿，橫截面尺寸為：圖示橢圓形薄壁截面桿，橫截面尺寸為：a=50 mm， b=75 mm，厚度，厚度t =5 mm，桿兩端受扭轉力偶，桿兩端受扭轉力偶 T=5000 Nm， 試求此桿的最大剪應力。試求此桿的最大剪應力。解解：閉口薄壁閉口薄壁桿自由扭轉時的最大剪

34、應力桿自由扭轉時的最大剪應力：batMPa42107550525000 229minmaxdabtTT654 48 8 圓柱形密圈螺旋彈簧的計算圓柱形密圈螺旋彈簧的計算一、概述一、概述彈簧的特點彈簧的特點變形大變形大彈簧的用途彈簧的用途緩沖作用、控制機械運動、測量力的大小等。緩沖作用、控制機械運動、測量力的大小等。圓柱形密圈螺旋彈簧圓柱形密圈螺旋彈簧外型為圓柱型、螺距很小（外型為圓柱型、螺距很小（5 50 0）、）、 彈簧沿軸線方向成螺旋式。彈簧沿軸線方向成螺旋式。二、二、 應力的計算應力的計算FFsTFF66tsTQWTAFmax近似值：近似值：3238124162dDFDddFdFD前提條

35、件前提條件 （1） 角很小，角很小，忽略忽略角的角的影響，認為簧絲橫截面與彈簧軸線在影響，認為簧絲橫截面與彈簧軸線在同一平面內（與同一平面內（與 F F力在同一平面）。力在同一平面）。 （2 2）dD ，忽略簧絲曲忽略簧絲曲率內影響，按直桿計算。率內影響，按直桿計算。=+ Q TFsT=PD/2Fs=PDFFsT67三、強度條件三、強度條件: : 83maxdDFK精確值：（修正公式，考慮彈簧曲率及剪力的影響）精確值：（修正公式，考慮彈簧曲率及剪力的影響）33max88615. 04414dDFKdDFCCC其中：dDC C.CCK61504414稱為彈簧指數。稱為曲度系數。68四、變形計算四

36、、變形計算1、定義：彈簧沿軸線方向的伸長或縮短量、定義：彈簧沿軸線方向的伸長或縮短量“”。2、分析彈簧的變形：、分析彈簧的變形：（1）、各橫截面由扭轉變形引起的軸向方向的伸長或縮短；）、各橫截面由扭轉變形引起的軸向方向的伸長或縮短；（2）、各橫截面由剪力引起的變形（）、各橫截面由剪力引起的變形（ dD ），可忽略。），可忽略。3、變形公式、變形公式TABTdSD/2OO1dd設：設：B截面相對截面相對A轉動轉動d角度角度4416)32()2()(2)(2dGFDdsdGdsFDGITdsddDdtgDdP428dGdsFDd69為彈簧常數。 64 ; 643443nRGdKKFGdnFR434

37、2420428888GdnFDDndGFDLdGFDdsdGFDdLsD=2R，R為彈簧的平均半徑，為彈簧的平均半徑，n為彈簧的有效圈數。為彈簧的有效圈數。討論討論1、 d 越小越小越大，減震越好；但此時越大，減震越好；但此時將增大。將增大。 2、n、D越大越大越大，減震越好；但越大，減震越好；但n大時將引起大時將引起 側向彎曲從而發生失穩破壞（解決方法：在中間側向彎曲從而發生失穩破壞（解決方法：在中間 加導桿）。加導桿）。70 例例 圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑為：圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑為：D=125=125mm，簧絲直，簧絲直 徑為：徑為：d =18=18mm，受拉力，受拉力 F=500=500N 的作用，的作用，試求最大剪應力試求最大剪應力的近似值和精確值；若的近似值和精確值；若 G =82GPa，欲使彈簧變形等于，欲使彈簧變形等于 6mm， 問：彈簧至少應有幾圈？問：彈簧至少應有幾圈？解解：最大剪應力的近似值：最大剪應力的近似值：MPa