1、第四單元 曲線運動 萬有引力與航天§2 拋體運動v0v0vyv一知識點1平拋運動 （定義、條件、性質、方法、規律）（1）時間（2）位移（水平射程，豎直高度可拓展到偏移量）（3）速度（大小與方向）（4）變量（相同時間內的v的大小與方向）（5）推論（tan=2tan，瞬時速度反向延長線過此刻水平位移的中點）2類平拋運動 （定義、性質、方法、規律）（與平拋運動類似）3斜拋運動（高考只作定性要求，但培優班要適當超越）vxvyv（1）水平方向以v0cos做勻速直線運動；（2）豎直方向先做上拋運動，再做自由落體運動；（3）時間：；（4）射程：（45度仰角時，射程最大）（5）高程：H=（6）對稱性

2、：上下時間相等，左右速度對稱，軌跡對稱，初末速度關于豎直軸對稱（7）逆向性：一是運動可逆，二是可看成兩個平拋二典例解析1平拋運動 （1）基本規律 【例1】從某高度水平拋出一小球，經過t時間到達地面時，速度方向與水平方向的夾角為不計空氣阻力，重力加速度為g，下列結論中正確的是A小球初速度大小為gt tanB若小球初速度增大，則平拋運動的時間變長C小球著地速度大小為D小球的速度增量為gt，方向豎直向下E小球在t時間內的位移方向與水平方向的夾角為變式：（2012年新課標）如圖，x軸在水平地面內，y軸沿豎直方向。圖中畫出了從y軸上沿x軸正向拋出的三個小球a、b和c的運動軌跡，其中b和c是從同一點拋出的

3、，不計空氣阻力，則abcxyOAa的飛行時間比b的長Bb和c的飛行時間相同Ca的水平速度比b的小Db的初速度比c的大（2）斜面上的平拋 【例2】（2010全國理綜1）一水平拋出的小球落到一傾角為q 的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，運動軌跡如圖中虛線所示。小球在豎直方向下落的距離與在水平方向通過的距離之比為AtanqB2tanqCD本題中若已知初速度v0夾角q，則小球在空中運動的時間是多少？變式1：（2008全國理綜卷1第14題）如圖所示，一物體自傾角為的固定斜面頂端沿水平方向拋出后落在斜面上，物體與斜面接觸時速度與水平方向的夾角滿足Atan=sinBtan=cosCtan=tanDtan=2

4、tanOabcv0變式2：（2012年上海卷）12如圖所示，斜面上a、b、c三點等距，小球從a點正上方O點拋出，做初速為v0的平拋運動，恰落在b點。若小球初速變為v，其落點位于c，則 Av0v2v0Bv2v0 C2v0v3v0Dv3v0ABv0OP變式3：如圖所示，小球從斜面底端O點的正上方P以初速度v0平拋，落點在斜面上的A點，已知OA=AB，若將平拋初速度增大為2v0，則落點A在B點B在B點上方C在AB間D在OA間oABvAvB變式4：（岳陽市一中2014屆第二次質檢）如圖所示，兩個挨得很近的小球，從斜面上的同一位置O以不同的初速度vA、vB做平拋運動，斜面足夠長，在斜面上的落點分別為A、

5、B，空中運動的時間分別為tA、tB，碰撞斜面前瞬間的速度與斜面的夾角分別為a、，已知OB2OA。則有AvA : vB=1 : 2 BtA : tB = 1 : 2 Ca > DB 球離斜面最遠的位置在A點的正上方（3）與地形有關的平拋問題 【例3】如圖所示，一個小球從高h=10m處以水平速度v0=10m/s拋出，撞在傾角=45°的斜面上的P點，已知AC=5m，求： （1）P、C之間的距離； （2）小球撞擊P點時速度的大小和方向。變式1：（2011年海南卷）如圖，水平地面上有一個坑，其豎直截面為半圓。ab為沿水平方向的直徑。若在a點以初速度沿ab方向拋出一小球， 小球會

6、擊中坑壁上的c點。已知c點與水平地面的距離為圓半徑的一半，求圓的半徑。變式2：(2012全國物理)一探險隊員在探險時遇到一山溝，山溝的一側豎直，另一側的坡面呈拋物線形狀。此隊員從山溝的豎直一側，以速度v0沿水平方向跳向另一側坡面。如圖所示，以溝底的O點為原點建立坐標系Oxy。已知，山溝豎直一側的高度為2h，坡面的拋物線方程為y=，探險隊員的質量為m。人視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度為g。 (1)求此人落到坡面時的動能； (2)此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最小？動能的最小值為多少？ （4）臨界與多解（范圍問題，球過網問題，臺階問題等） 【例4】

7、如圖所示，AB為斜面，BC為水平面，從A點以水平速度v0拋出一小球，此時落點到A的水平距離為x1；從A點以水平速度3v0拋出小球，這次落點到A點的水平距離為x2，不計空氣阻力，則x1：x2可能等于A1：3B1：6 C1：9D1：12變式：排球場總長18m，網高2.25m，如圖所示，設對方飛來一球，剛好在3m線正上方被我方運動員后排強攻擊回假設排球被擊回的初速度方向是水平的，那么可認為排球被擊回時做平拋運動（g取10m/s2）（1）若擊球的高度h=2.5m，球擊回的水平速度與底線垂直，球既不能觸網又不出底線，則球被擊回的水平速度在什么范圍內？（2）若運動員仍從3m線處起跳，起跳高度h滿

8、足一定條件時，會出現無論球的水平初速多大都是觸網或越界，試求h滿足的條件（5）相遇問題 ABhlv【例5】 （2012年江蘇卷）如圖所示，相距l的兩小球A、B位于同一高度h (l , h均為定值）。將A向B水平拋出的同時，B自由下落A、B與地面碰撞前后，水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反不計空氣阻力及小球與地面碰撞的時間，則 AA、B在第一次落地前能否相碰，取決于A的初速度BA、B在第一次落地前若不碰，此后就不會相碰 CA、B不可能運動到最高處相碰DA、B一定能相碰變式：如圖所示，我某集團軍在一次空地聯合軍事演習中，離地面H高處的飛機以水平對地速度v1發射一顆炸彈欲轟炸地面目標，地面

9、攔截系統同時以初速度v2豎直向上發射一顆炮彈攔截（炮彈運動過程看作豎直上拋），設此時攔截系統與飛機的水平距離為s，若攔截成功，不計空氣阻力，則v1、v2的關系應滿足 Av1 = Bv1 = v2Cv1 = Dv1= v2（6）多次問題 【例5】如圖所示，M和N是兩塊相互平行的光滑豎直彈性板。兩板之間的距離為L，高度為H。現從M板的頂端O以垂直板面的水平速度v0拋出一個小球。小球在飛行中與M板和N板，分別在A點和B點相碰，并最終在兩板間的中點C處落地。求：(1)小球拋出的速度v0與L和H之間滿足的關系；(2)OA、AB、BC在豎直方向上距離之比。變式：如圖，子彈從O點水平射出，初速度為v0，穿過

10、兩塊豎直放置的薄擋板A和B，留下彈孔C和D，測量C和D的高度差為0.1m，兩板間距4m，A板離O點的水平距離為14m，不計擋板和空氣的阻力，求v0的大小（7）實驗問題 【例6】一位同學做平拋實驗時，只在紙上記下重垂線方向，未在紙上記下斜槽末端位置，并只描出如圖所示的一段平拋軌跡曲線。現在曲線上取A、B兩點，用刻度尺分別量出到的距離，AAx1，BBx2，以及AB的豎直距離h，從而可求出小球拋出的初速度V0為  ABCD變式：利用頻閃照相技術探究平拋運動規律時，將自由落體運動與平拋運動類比得出運動規律與結論。兩小球運動的頻閃照片如圖。拍攝時，光源的頻閃頻率為10Hz，a球從A點水平拋出的

11、同時，b球從B點開始下落，背景的坐標紙小方格為相同的正方形。重力加速度g取10m/s2，不計阻力。根據照片顯示的信息可求， a球沿水平方向的運動初速度為 m/s，運動過程中a球與b球之間的距離最小為 m。 2類平拋運動 電場中的類平拋暫不涉及）【例7】 如圖所示，一光滑寬闊的斜面，傾角為，高為h，現有一小球在A處以水平速度v0射出，最后從B處離開斜面，下面說法中正確的是 A小球的運動軌跡為拋物線B小球的加速度為gtanC小球到達B點的是間為D小球到達B點的水平方向位移為變式：如圖所示，A、B兩質點從同一點O分別以相同水平速度v0沿x軸正方向被拋出，A在豎直平面內運動，落地點

12、P1，B沿光滑斜面運動，落地點為P2，P1和P2在同一水平面上，不計空氣阻力，則AA、B運動時間相同BA沿x軸方向的位移比B沿x軸方向的位移小CA比B先落地D落地時動能相同3斜拋運動 【例8】 如圖所示，槍口A瞄準懸掛于高處B處的一只玩具熊，當子彈以初速v0射出時，B處的玩具同時自由落下。試問：（1）子彈能否射中玩具熊？（2）射中與否跟初速度v0、拋射角及射程是否有關？變式：一個噴水池的噴頭以相同的速率噴出大量水射流，這些水射流與地面成0°90°的所有角度噴出，豎直射流可高達2.0m，如圖所示。取g=10m/s2，試計算水射流在水池中落點所覆蓋的圓的半徑。典例解析

13、參考答案例1：D變式：B、D 例2：D（本題速度夾角已知。水平速度與豎直速度之比是不是tan？）變式1：D（本題位移夾角已知，本題中增大平拋初速度，會不會改變接觸時速度與斜面的夾角？）變式2：A變式3：C變式4：D【例3】（1）；（2），垂直斜面撞擊。變式1：【解析】設圓半徑為r，質點做平拋運動，則：過c點做cdab與d點，RtacdRtcbd可得即為：由得：變式2：【參考答案】（1）；（2）， 【例4】ABC變式：（1）；（2）h=2.4m【例5】A D變式：C【例5】  (1)(2)hOAhABhBC(13)(57)94129變式：80m/s【例6】B變式：10.1【例7】ABC

14、變式：BCD【例8】 (1)能；（2）只要射程足夠遠，也就是子彈軌跡（拋物線）與玩具熊軌跡（豎直線）在空中有交點，就能射中。變式：4.0m三對應練習1（2012年上海卷）以初速為v0，射程為S的平拋運動軌跡制成一光滑軌道。一物體由靜止開始從軌道頂端滑下，當其到達軌道底部時，物體的速率為 ，其水平方向的速度大小為 。2Av0P圖（a）圖（b）（2011年安徽卷）一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替。如圖（a）所示，曲線上的A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側的兩點作一圓，在極限情況下，這個圓就叫做A點的

15、曲率圓，其半徑叫做A點的曲率半徑。現將一物體沿與水平面成角的方向已速度0拋出，如圖（b）所示。則在其軌跡最高點P處的曲率半徑是A B C DhA3（2013年上海卷）19如圖，轟炸機沿水平方向勻速飛行，到達山坡底端正上方時釋放一顆炸彈，并垂直擊中山坡上的目標A。已知A點高度為h，山坡傾角為，由此可算出A轟炸機的飛行高度B轟炸機的飛行速度C炸彈的飛行時間D炸彈投出時的動能4水平拋出的小球，t秒末的速度方向與水平方向的夾角為1，t+t0秒末速度方向與水平方向的夾角為2，忽略空氣阻力，則小球初速度的大小為  Agt0（cos1-cos2）BCgt0（tan1-tan2）D5在水平地面上M點

16、的正上方某一高度處，將S1球以初速度v1水平向右拋出，同時在M點右方地面上N點處，將S2球以初速度v2斜向左上方拋出，兩球恰在M、N連線的中點正上方相遇，不計空氣阻力，則兩球從拋出到相遇過程中 A初速度大小關系為 v1 = v2B速度變化量相等C水平位移相等D都不是勻變速運動6如圖所示,A、B兩球之間用長6 m的柔軟細線相連,將兩球相隔0.8 s先后從同一高度同一點均以4.5 m/s的初速度水平拋出,則A球拋出后多長時間,A、B兩球間的連線可拉直. （g=10 m/s2） A1 sB2 sC3 sD4 s7如圖所示，M和N是兩塊相互平行的光滑豎直彈性板，兩板之間的距離為L，高度為H。現從M板的

17、頂端O以垂直板面的水平速度v0拋出一個小球。小球在飛行中與M板和N板分別在A點和B點相碰（假設碰撞時無能量損失），并最終在兩板間的中點C處落地。求：OA、AB、BC在豎直方向上的距離之比 A3124B4129 C439D4123 8如圖所示，P是水平面上的圓弧凹槽。從高臺邊B點以速度v0水平飛出的小球，恰能從固定在某位置的凹槽的圓弧軌道的左端A沿圓弧切線方向進入軌道。O是圓弧的圓心，1是OA與豎直方向的夾角，2是BA與豎直方向的夾角則Acot1tan22  Btan1tan22Ccot1cot22  Dtan1cot229如圖，斜面上有a、b、c、d四個

18、點，ab =bc =cd。從a點正上方的O點以速度v0水平拋出一個小球，它落在斜面上b點。若小球從O點以速度2v0水平拋出，不計空氣阻力，則它落在斜面上的 Ab與c之間某一點     Bc點Cc與d之間某一點 Dd點10（2011年廣東卷）如圖6所示，在網球的網前截擊練習中，若練習者在球網正上方距地面H處，將球以速度v沿垂直球網的方向擊出，球剛好落在底線上。已知底線到網的距離為L，重力加速度取g，將球的運動視作平拋運動，下列表述正確的是A球的速度v等于B球從擊出到落地的時間為C球從擊出點到落地點的位移等于LD球從擊

19、出點到落地點的位移與球的質量有關11如圖所示，一架在2000m高空以200m/s的速度水平勻速飛行的轟炸機，要想用兩枚炸彈分別炸山腳與山頂的目標A和B，已知山高720m，山腳與山頂的水平距離為1000m，若不計空氣阻力，g取10m/s2，則投彈的時間間隔應為A4sB5sC9sD16s12如圖所示，一網球運動員將球在邊界處正上方水平向右擊出，球剛過網落在圖中位置(不計空氣阻力)，相關數據如圖，下列說法中正確的是（ AD ）A擊球點高度h1與球網的高度h2之間的關系為h1=18h2，B若保持擊球高度不變，球的初速度v0只要不大于，一定落在對方界內C任意降低擊球高度(仍高于h2)，只要擊球初速度合適

20、，球一定能落在對方界內D任意增加擊球高度，只要擊球初速度合適，球一定能落在對方界內13（2012安徽蚌埠聯考）如圖所示，電動玩具小車A從傾角=45°的斜面底端以速度沿斜面向上做勻速運動，同時在斜面底端正上方處，將小球B以初速度v2水平拋出，它們在斜面上恰好相碰（g取10m/s2）求： v2的大小 從兩物開始運動到相碰所用的時間t14（2011年江蘇卷）如圖所示，長為L、內壁光滑的直管與水平地面成30°角固定放置。將一質量為m的小球固定在管底，用一輕質光滑細線將小球與質量為M=km的小物塊相連，小物塊懸掛于管口。現將小球釋放，一段時間后，小物塊落地靜止不動，小球繼續向上運動，

21、通過管口的轉向裝置后做平拋運動，小球在轉向過程中速率不變。(重力加速度為g)(1) 求小物塊下落過程中的加速度大小；(2) 求小球從管口拋出時的速度大小；(3) 試證明小球平拋運動的水平位移總小于15（2010年北京卷）如圖，跳臺滑雪運動員經過一段加速滑行后從O點水平飛出，經過3.0 s落到斜坡上的A點。已知O點是斜坡的起點，斜坡與水平面的夾角37°，運動員的質量m50 kg。不計空氣阻力。（取sin37°0.60，cos37°0.80;g取10 m/s2）求（1）A點與O點的距離L;（2）運動員離開O點時的速度大小; （3）運動員落到A點時的動能。16拋體運動在各類體育運動項目中很常見，如乒乓球運動現討論乒乓球發球問題，設球臺長2L、網高h，乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉和空氣阻力(設重力加速度為g)(1)若球在球臺邊緣O點