1、第五章一元函數積分學例1:求不定積分sin3xdx解：被積函數sin3x是一個復合函數，它是由f(u)sinu和u(x)3x復合而成，因此，為了利用第一換元積分公式，我們將sin3x變形為sin3xsin3xdxu3x1'1-sin3x(3x)dx一331cos3xC=3sin3xd(3x)3xu1-sin3x(3x),1八-(cosu)C故有例2：求不定積分.a2x2dx(a0)解：為了消去根式，利用三解恒等式.2.sint2,cost1,可令xasint(二22-12-2_772Txax.aasintacostacosdt,因此，由第二換元積分法,所以積分化為x2dxacostac

2、ostdt22.acostdt1cos2t,xdt2dtaacos2td(2t)t422aasin2tC42a(tsintcost)C2由于xasint(arcsin(x/a),利用直角三角形直接寫出cost鄰邊斜邊2.xdxa212arcsin(x/a)x、.ax22例3:求不定積分xsinxdx分析：如果被積函數f(x)xsinx中沒有x或sinx,那么這個積分很容易計算出來,所以可以考慮用分部積分求此不定積分，如果令u=x,那么利用分部積分公式就可以消去x(因為u1)解令ux,dvsinxdx，貝Ududx,vcosx.是xsinxdxudvuvvdux(cosx)(cosx)dxxco

3、sxsinx然后直悉分部積分公式以后，沒有必要明確的引入符號u,v,而可以像下面那樣先湊微分,接用分部積分公式計算：xsinxdxxdcosx(xcosxcosxdx)xcosxsinxCdy-,例4：求微分萬程-y2y1的通解。dx解：原方程為可分離變量的方程，移項分離變量得dydx,兩端積分得：dydx,得11n2y1xC1從而12y12y21.一，一In2y1xC1y212xe2C1因為仍然是常數，把它記做2C,故原方程的通解為yCe2x1_,，一一-其中C為任意常數2例5:求微分方程yx2的通解dxx解：這是一個一階線性非齊次方程，通解公式為p(x)dxp(x)dxe(Q(x)edxC

4、)2_2在本題中P(x)一，Q(x)x,由通解公式知x，、，2424p(x)dxp(x)dxdx2dxye(Q(x)edxC)ex(xexdxC)5=e21nx(x2e21nxdxC)4(x4dxC)口(*C)xx5即原方程的通解為:例6:求定積分x02dx分析：設函數f(x)在區間a,b上連續，F(x)是在a,b上的一個原函數，則bf(x)dxF(b)F(a),這就是牛頓-萊布尼茨公式。a3解：根據牛頓-萊布尼茨公式，因為是x2的一個原函數，所以原式有3x2dxx31£03130333例7:求定積分01x(t)把原來的變量換成了新分析：在應用定積分換元時應注意兩點:（1） 換元必換

5、限，上限對上限，下限對下限，即如果用變量t,積分限也必須也必須換成新變量t的積分限，并且原來下限對應的參數做下限，上限對應的參數做上限。（2） 求出換元后的原函數（t）后，不必像計算不定積分那樣將它還原成x的函數，只需將新變量的上、下限帶入相減即可。解為了去掉被積函數中的根式，令3/x即xt3,于是dx3t2dt,并且當x=0時,t=0;當x=8時，t=2,因此由換元公式有2=3°(t1t)ln(11dx-x230(t23t0T-1)dt2t)03ln32-dtt0t2(t21)1dt0t11丁(t1)xexdx例8:計算定積分則dudx,v.故由分部積分公式得1xe0dxx(ex)

6、10(ex)dxxd(x)e1分析:求反常積分0xexdx設f(x)在a,）或（或（）上連續，定義反常積分f(x)dxlimbf(x)dxaf(x)dxlimabf(x)dxa0分析：定積分的分部積分其本質上與先用不定積分的分部積分法求原函數，再用牛頓-萊布f(x)dx0f(x)dx°f(x)dx若上述極限存在,解因為則稱相應的反常積分收斂，否則稱其發散.bxeXdx0b0xd(ex)(xexb0e'dx)bbeb0e'd(x)bx(beeb0)尼茨計算定積分是一樣的.因此，定積分的分部積分法的技巧和適應的函數類型與不定積分的分部積分法完全一樣.所以xexdxlimb

7、xb1b1xedxlim(1b-)1limb-1bebe這里.極限limb1I，一1是型未定式,由洛必達法則易知其極限為0例10計算由拋物線yx2與y2x,x0,x1所圍陰影圖形的面積分析：設函數f(x),g(x)在區間a,b上連續，并且f(x)g(x)(xa,b),則由曲線byf(x)與yg(x)以及xa,xb所圍成的圖形面積A為Af(x)g(x)dxa2解聯立兩拋物線方程y：,得交點O(0,0),B(1,1),并且由圖形可知當x0,1時均xy3/,L21,L2、.-2；13-11有f(x)6xg(x),則所求圖形面積為A(Vxx)dxx2-x-03303第六章多元函數微積分1 .基本要求(

8、1) 了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義，知道求二元函數的定義域。(2) 了解多元函數偏導數與全微分的概念，會求多元復合函數一階偏導數和全微分。(3) 了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法。2 .本章重點難點分析(1) 本章重點：二元函數的定義域、多元復合函數一階偏導數和全微分以及二重積分的計算方法。(2) 本章難點：一階偏導數、全微分以及二重積分的計算。3 .本章典型例題分析例1.求函數zsin(xy)cos2(xy)的一階偏導數.解：把y看成常數，對x求導.ycos(xy)2cos(xy)sin(xy)yycos(xy)sin(2xy)x例2.x.設zxy一，求dz

9、y解：根據全微分公式,先求兩個偏導數zz1、，所以dz一dx-dy(y)dx(x/y.例3,計算二重積分xyd,其中D是由直線y1,xD解區域D如圖所示，可以將它看成一個x-型區域，x,y|1x2,1yx.所以xydD2及yx所圍成的閉區域.1x2yxdx11xdx2例4,計算二重積分xyd,其中D是有拋物線y2D區域.解:如圖，區域D可以看成是y型區域,它表不為x,y|21V2,v2,所以xydD21dyy2y2xydx21V12-x2y2、選擇題1、xd(ex).(A)xexc(B)xe2、若f(x)是g(x)的原函數,則(A)f(x)dxg(x)(C)g(x)dxf(x)3、若f(x)d

10、x22xxec,則f(x)(A)2xe2x22x(B)2xe2dy(B)(D)(C)458(C)xeg(x)dxf(x)dx2xxex及yx2所圍成的有界閉f(x)g(x)x(D)xe(D)2xe2x(1x)xc(C)cos2xc(D)-cos2xc21(A)-cos2xc(B)sin2d.x,、2,一,5(arctant)dt(dx0c1(A)2arctant-1 t2二、填空：(B)22(arctanx)(C)(arctanx)2(D)(arctant)1、已知f(x)的一個原函數為x,貝Uf(x)=2、若f(x)存在且連續，則df(x)3、若f(x)dxF(x)c,貝Uexf(ex)dx

11、=4、(1x)2dx5、cscx(cscxctgx)dx6、cos2xcosxsinxdx=7、ec0sxsinxdx=2x8、已知f(x)在(，)上連續，且f(0)2,且設F(x)f(t)dt,則sinxx2sint2dt9、limx003x2210、設f(2)4,0f(x)dx1,則0xf(x)dx11、 0x1dx.一212、 xyyycosx0的階數是.13、yyxy0的階數是.四、求不定積分1(1)2xxsecxdx3x21,"dxx21x2sin2x5dx(32)x,x22dx3elnx,dx1x2-32sinxcosxdx0(6)(8)(10)dx(12).4x2dxx

12、2arctanxdxexsinxdx1dx154x(14)(16)(18)(20)求由曲線yx2,直線y求由曲線yx2與直線y33,ZZzxyxy,求,xyy,zzzarctan,求，.xxy2zxln(xy)，求dz.zxexy,求dz.ydxdy,其中D是由直線yx,yD(x2y2x)dxdy淇中d由直線yDxy2dxdy其中D由拋物線y2dx2arcsinx.dxJx22x2-dxx2x3(x2dx3a-02xcosxdxox2exdx2x23x1dx,2,lnxdxx,y2x所圍成的圖形的面積.x2,x0圍成的平面圖形面積x1,y0及y1及所圍成的平面區域2,yx與y2x所圍成.2一x和直線yx所圍成.解微分方程：dycosxysinx0.dx解微分方程：(1y)dx(1x)dy0.某廠生產某種商品q千件的邊際成本為C（q）9800（萬元）.求（1）產量為多少時能使平均成本最低?q36（萬元/千件），其固定成本是（2）最低平均成本是多少？(