1、精品文檔空間向量立體幾何知識點集錦、空間向量的加法和減法:1求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角形法則.即:在空間任取T 寸 二呻 T 寸呻一點門，作門二-a，門m -b扛識-a b.2求兩個向量和的運算稱為向量的加法：在空間以同一點門為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形 ，則以0起點的對角線0C就是a與 b的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則.二、實數，與空間向量a的乘積，a是一個向量，稱為向量的數乘運算 當，0時， a與a方向相同；當0時，a與a方向相反；當=0時，a為零向量，記為0.泊的長度是a的長度的悶倍.三、 如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行

2、或重合，則這些向量稱為共線向 量或平行向量并規定零向量與任何向量都共纟線四、向量共線充要條件：對于空間任意兩個向量 a , b b = 0 , a/b的充要條件是存在實數，使a =.五、 平行于同一個平面的向量稱為共面向量._六、向量共面定理：空間一點P位于平面內的充要條件是存在有序實數對x , y，使. 廠:-T T T TT T T T間任一定點門，有丄-，.: x y C ；或若四點，二，：，C共面，則丄ytz）C x y za和b，在空間任取一點），作二 a 是 =b，則.稱為向量a , b的夾角，記作是：a, b 三 0,二 I七、已知兩個非零向量個向量夾角的取值范圍；或對空J1 .

3、 a,b .兩八、對于兩個非零向量a和b，若a,b，則向量a , b互相垂直，記作a _ b . 2 . .九、已知兩個非零向量a和b，則a bcosa, b ）稱為a , b的數量積，記作a b .即a b =ia b cos a, b）.零向量與任何向量的數量積為 0.*詁彳十、a b等于a的長度a與b在a的方向上的投影 b cos a, b的乘積.十一、若a , b為非零向量，e為單位向量，則有 1 e = a e = a c ab=o a b即（才與b同向） ab 0； 3a*bab .4 cos a, ba cos a,e ；,a aa2,a與 b反向p，存在實數組：x, y, Z，

4、使得，以e1 , e2, $的公共起Oxyz .則對于空間任意一個x, y, zf ,使得十二、空間向量基本定理：若三個向量 a , b , c不共面，則對空間任一向量p = xa yb z6 .=xa yb zc, x, y,zRf .這個集合可看作* I十三、若三個向量a , b , c不共面，則所有空間向量組成的集合是I 中 !斗4!是由向量a , b , c生成的，a,b,?稱為空間的一個基底，a , b , c稱為基向量.空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.十四、設e , e2,包（有公共起點 o的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們為單位正交基底） 點O為原點，分別以 e

5、, 62 , e3的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系 向量p，一定可以把它平移，使它的起點與原點o重合，得到向量一:：-p .存在有序實數組呻 TTt4斗-J一，p=xe ye2 ze3 .把x , y , z稱作向量p在單位正交基底 e , e?, ea下的坐標，記作p= x, y, z .此時，向量p精品文檔的坐標是點m在空間直角坐標系 oxyz中的坐標 x, y, z .44彳耳卜五、設 a召,b mX2,y2,Z2，貝V 1 a b =：必-X2,y, 屮衛 p .2 a b = % X2,y, -丫2,乙Z2 .3 a 二-x, %, z,.4 a b詁X2 y2 Z

6、1Z2. 5若a、b為非零向量，貝Ub6 若b = 0，則 a/bb = 0：= x1x2 yiy2 zz2 = 0.Y.b= n =%x2, % Yy2, zj 蟲込.7 a =鳥 f.fx； y； 才.8 cosX1X2 +%y2 +z,Z22 22. 222XiyiZi,X2y2 Z2(9)A(x, %,Z )，B=化小乙)，則 d= AB二X2 Xi$ y2 y,亠Z2 z,$.十六、空間中任意一條直線 I的位置可以由I上一個定點丄以及一個定方向確定.點丄_是直線I上一點，向量a表示直線I的方向向量，則對于直線I上的任意一點？，有 ta，這樣點二和向量a不僅可以確定直線I的位置，還可以

7、具體表示出直線I上的任意一點.十七、空間中平面:的位置可以由:內的兩條相交直線來確定.設這兩條相交直線相交于點門，它們的方向向量分別為a , b . P為平面:-上任意一點，存在有序實數對x, y使得 -xa yb，這樣點門與向量a, b就確定了平面:-的位置.十八、直線I垂直二，取直線I的方向向量a，則向量a稱為平面二1的法向量.，它們的方向向量分別為十九、.若空間不重合兩條直線/，丿的方向向量分別為 a bL/R , a_b：=a b：=ab=0.b，則a/b二十、若直線$的方向向量為a ,平=a _ n a n = 0 , a _ ：二一、若空間不重合的兩個平面:-的法向量為n扌且皐二

8、a / n a 二 n .:,-的法向量分別為a, b,a b，: 一： ua_b ab=0 .，貝U a/ ：二 a/:則：二 a/ b 二rf 二十三、設直線I的方向向量為I，平面的法向量為n , I與所成的角為二，I與n的夾角為：，則有二十二、設異面直線 a , b的夾角為v，方向向量為a , b，其夾角為，則有cos =sin 日=coscos ：=二十四、設ni ,壓是二面角-I - 的兩個面 ,:的法向量，則向量 n,壓的夾角（或其補角）就是二面角的平面r ion, n2角的大小.若二面角 a 一| P的平面角為0，貝U cos =卜斬*1 .ni n2十五、在直線I上找一點P ,過定點二且