1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上積化和差與和差化積公式田云江基本要求 能推導(dǎo)積化和差與和差化積公式，但不要求記憶，能熟練地綜合運(yùn)用兩類公式解決有關(guān)問題。知識(shí)要點(diǎn) 1、積化和差公式： sinsin=-cos(+)-cos(-) coscos=cos(+)+cos(-) sincos=sin(+)+sin(-) cossin=sin(+)-sin(-) 積化和差公式是由正弦或余弦的和角公式與差角公式通過加減運(yùn)算推導(dǎo)而得。其中后兩個(gè)公式可合并為一個(gè)：sincos=sin(+)+sin(-) 2、和差化積公式 sin+sin=2sincos sin-sin=2cossin cos+cos=2coscos c

2、os-cos=-2sinsin 和差化積公式是積化和差公式的逆用形式，要注意的是： 其中前兩個(gè)公式可合并為一個(gè)：sin+sin=2sincos 積化和差公式的推導(dǎo)用了“解方程組”的思想，和差化積公式的推導(dǎo)用了“換元”思想。 只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名函數(shù)的和與差，才能直接運(yùn)用公式化成積的形式，如果一個(gè)正弦與一個(gè)余弦的和或差，則要先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后再運(yùn)用公式化積。 合一變形也是一種和差化積。 三角函數(shù)的和差化積，可以理解為代數(shù)中的因式分解，因此，因式分解在代數(shù)中起什么作用，和差化積公式在三角中就起什么作用。 3、積化和差與積差化積是一種孿生兄弟，不可分離，在解題過程中，要切實(shí)注意兩者的交替

3、使用。如在一般情況下，遇有正、余弦函數(shù)的平方，要先考慮降冪公式，然后應(yīng)用和差化積、積化和差公式交替使用進(jìn)行化簡或計(jì)算。和積互化公式其基本功能在于：當(dāng)和、積互化時(shí)，角度要重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊角；結(jié)構(gòu)將變化，因此有可能產(chǎn)生互消項(xiàng)或互約因式，從而利于化簡求值。正因?yàn)槿绱恕昂?、積互化”是三角恒等變形的一種基本手段。例題選講 1、求下列各式的值 cos40°+cos60°+cos80°+cos160° cos23°-cos67°+2sin4°+cos26° csc40°+ctg80° cos271

4、°+cos71°cos49°+cos249° 解：cos40°+cos60°+cos80°+cos160° =+cos80°+2cos100°cos60° =+cos80°-cos80°= cos23°-cos67°+2sin4°cos26° =2sin45°sin22°+(sin30°-sin22°) =sin22°+-sin22°= csc40°+ctg

5、80°=+ = = =2cos30°= 解法一：cos271°+cos71°cos49°+cos249° =(cos71°+cos49°)2-cos71°cos49° =(2cos60°cos11°)2-(cos120°+cos22°) =cos211°+-cos22° =cos211°+-(2cos211°-1) =cos211°+-cos211°+= 解法二：cos271°+cos7

6、1°cos49°+cos249° =+(cos120°+cos22°)+ =+cos142°-+cos22°+ =+(cos142°+cos98°)+cos22° =+cos120°cos22°+cos22°= 解法三設(shè)x=cos271°+cos71°cos49°+cos249° y=sin271°+sin71°sin49°+sin249° 則x+y=2(cos71°cos49

7、°+sin71°sin49°) =2+cos22° x-y=(cos271°-sin271°)+(cos71°cos49°-sin71°sin49°)+(cos249°-sin249°) =cos142°+cos120°+cos98° =-+(cos142°+cos98°) =-+2cos120°cos22° =-cos22° 聯(lián)立二式得x= 2、已知sin+sin= cos+cos=求tgtg的

8、值 解： 2+2得 2+2(sinsin+coscos)= cos(-)= 2-2得 cos2+cos2+2(coscos-sinsin)=- 2cos(+)cos(-)+2cos(+)=- 2·cos(+)+2cos(+)=- cos(+)=- 又sinsin=-cos(+)-cos(-)=-(-)= coscos=cos+)+cos(-)=-+=- tgtg=-=- 3、設(shè)函數(shù)f(x)=asinx+bcosx+1 (a、b0 0 )的周期是，f(x)有最大值7且f()=+4 (1)求a、b的值 (2)若k+ (kz) 且、是f(x)=0的兩根求tg(+)的值。 解：(1)f(x)

9、=sin(x+)+1 = 1+=7 由條件asin+bcos+1=+4 a= b=6 (2)由 兩式相減得 a(sin2-sin2)+b(cos2-cos2)=0 2asin(-)cos(+)+2b-sin(+)sin(-)=0 k+ (kz) -k (kz) acos(+)-bsin(+)=0 tg(+)= 4、求函數(shù)y=cos2xcos(2x+) (0x)的最值 解：y=cos2xcos(2x+) =cos(4x+)+cos(-) =cos(4x+)+ 0x 4x+ -1cos(4x+) -+y ymax= ,ymin=自我檢測 1、sin(+)cos-sin(2+)-sin可化

10、簡為（ ） A、sin B、cos C、sin D、cos 2、已知cos(+)cos(-)=則cos2-sin2的值為（ ） A、- B、- C、 D、 3、在ABC中，若B=30°則cosAsinC的取值范圍（ ） A、-1，1 B、- ， C、- ， D、- ， 4、函數(shù)y=sin(2x+)cos(2x-),(為常數(shù))的最小正周期是（ ） A、 B、 C、2 D、4 5、設(shè)m=|,n=|sin|,則m、n的大小關(guān)系是（ ） A、mn B、mn C、m=n D、不能確定 6、若sin+sin=(cos-cos)且(0,),(0,)則-等于（ ） A、

11、- B、- C、 D、 7、函數(shù)f(x)=sinxcos(x-)的最小值是（ ） A、 B、 C、-  D、-  8、sin25°+cos35°cos25°的值是（ ） A、 B、 C、-  D、 9、已知函數(shù)y=asinx+cosx的最大值為，則a的值為（ ） A、-1 B、 C、±3 D、±2 10、若sinx-cosx=2sin(x+)，0，2）則角等于（ ） A、 B、 C、 D、參考答案 1、原式=sin(+)cos- 2cos(+)sin=sin(+)-=sin 選A。 2、cos(+)cos(-)=cos(+)+(-)+cos(+)-(-) =cos2+cos2=2cos2-1+1-2sin2=cos2-sin2 選C. 3