1、求數列極限的幾種典型方法首先我們要知道數列極限的概念:設 為數列，為定數，若對任給的正數，總存在正an整數N ，使得當nN 時有ana ，則稱數列an 收斂于，定數則稱為數列an 的極限，并記作 lim an a或 an a （ n ） 。n若數列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發散數列。anan下面我們來研究求數列極限的幾種方法：方法一：應用數列極限的定義1例一：證明lim 10，這里為正數。nn11證明：由于101nn1故對任給的0 ，只要取N 11 ，則當 n N 時就有11nN1這就證明了lim0。nn用定義求數列極限有幾種模式：（ 1 ）0 ， 作差an a ， 解方程 an a ， 解

2、出 n f ， 則取 N f或 N f 1,（ 2）將an a 適當放大，解出n f ；（ 3）作適當變形，找出所需N 的要求。方法二： （迫斂性）設收斂數列an , bn 都以為極限，數列cn 滿足： 存在正整數N 0n N 0 時有：an cn bn則數列cn 收斂，且 lim cn a。例二：求數列n n 的極限。解：記 an n n 1 hn，這里 hn 0 （ n 1） ，則有n n (n 1) 2n (1 hn)2hn0 h 2(n 1) ,從而有n n11 an 1 hn 1 n21數列 12n1有121 ，于是上述不等式兩邊的極限全為n1方法三： （單調有界定理）在實系數中，有

3、界的單調數列必有極限。例三：設 a n 12是收斂于1 的， 因為任給的0 ， 取 N 12 ， 則當 n N 時1 ，故由迫斂性證得lim n n 1 。n111n 12,其中實數2 ，證明數列an 收斂。23 n證明：顯然數列是遞增的，下證有上界，事實上，anan 11111121231(n 1) n11111 (1) ()(223n121n21) nan 收斂。方法四：對于待定型1 利用 lim （1n1) e n例四：求2n1解：因 lim (1) e，而n 2nnn11lim (1) .lim (1) =lim (1n 2n n 2n n2n2n21nlim (1) en 2nn1故

4、 lim （1） en2n方法五： （柯西收斂準則）數列an 收斂的充要條件是：對任給的0 ，存在正整數N ，使得當n ， m N 時，有an am例五：證明任一無限十進小數=0.b1b2bn 的 n 位不足近似（n=1 ， 2， ）所組成的數列b1 b1 b2b1 b2,2, ,210 10 10210 102bnn,10滿足柯西條件（從而收斂）0,1,2, ,9中的一個數，k 1,2,證明：記b1b2an 10102bnn ，不妨設n m ，則有10an ambm 1m110bm 2 bnm210n109m 1 (110110n m 1) 10101 m (1n m)10m101對任給的0

5、 ，取 N ,則對一切n m N ，有an am這就證明了題目滿足柯西條件，從而收斂。方法六： Stolz 定理：設 n>N 時， y y 且 lim y ，若 limxn xn 1yn yn 1，則xnxn xn 1 llim lim lnyn nyn yn 1例六：求 limn11112 n0)1 limnn (n 1)解：112 n= =limnn事實上，若方法七：形如例七：設解：因為limnlimnxn 1xn 1f ( xn ) 數列極限k ，其中 k 與為正數，則1 xn1n1n n (1)n1n12!21(1) 2 o( 2)xn 收斂于的正x2k 根。x1 ,k 0，所以

6、對一切n 有 0 xn k，則xn 是一有界數列，但非單調。0 ，則k(xn 1 xn)0，考察xnxn1xn1xn(1xn)(1xn1)xn 1xnk(xn 1xn)(1xn)(1xn 1)(1xn)(1xn 1) 1xn(1xn 1) 1 k故xn 1 xn1 k xn 1 xn(1kk)n1x2 x1收斂，從而收斂，由于xn 1 xnn1xn 0，則 lim xn x0 0nk在等式k 兩邊取極限，得xn 1 1xnn11linm k1n f10fxdx22x0 x0 k ，故是方程x x k 的正根。方法八：利用積分求數列極限bn眾所周知，如果 f x 在 a,b 上正?？煞e，則 f

7、x d x lim f k n， 其中an k1 nban b a , f f a k , k 1,2, n。對于反常積分，我們可以證明如下結論：n kn1命題 1： 設 f x 在 （ 0， 1） 是單調的，x=0， x=1 可以是 f x 的奇點， 如果 f x d x收斂，則命題 2：設 f x 在（ 0，單調，且0 f x d x收斂，則lim h f nh 0 f xdxh 0 n1knn例八：設常數a 1 ，試求極限lia 1nm k 1 n (a 1)k解：令akan1n (a 1)kana1nk11a1 n1n k n(1nk 1an) k 1ak1n 1a nk1n1x1所以

8、lnimk1ak 0adx lna a 1方法九：階的估計法f x 0 f x o( g x ) gxxagf xx x a1 f x (gx)fxgxxa*A 0 f x o(gx)f x o(g x)fxA gx特別的：fx 1fx Af x O(1) F x 0在用階的估計來求極限過程中需要初等函數f x 的泰勒公式f x 0 xk o xn 1 x0時k 0 k! x x常用估計式有x 0 ：1 ex 1 x o x222 ln 1 x x x o 3 2x3 1 x 1 x o x234 sin x x x o 53! x25 cosx 1 x o x436 tan x x x o 5 3x更一般地：以上表達式中x 可換成 f x ，其中 lim f x 0，例如：o sin xx0nnn 1例九：試證明lim1nn2ln n2n證明：因為1 ln n 1n 1 ln n o en所以n n n 1 ln n o lnn n從而nnn 11 olnnlnnnlimnnnn