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文檔簡介
1、求數列極限的幾種典型方法首先我們要知道數列極限的概念:設 為數列,為定數,若對任給的正數,總存在正an整數N ,使得當nN 時有ana ,則稱數列an 收斂于,定數則稱為數列an 的極限,并記作 lim an a或 an a ( n ) 。n若數列沒有極限,則稱不收斂,或稱為發散數列。anan下面我們來研究求數列極限的幾種方法:方法一:應用數列極限的定義1例一:證明lim 10,這里為正數。nn11證明:由于101nn1故對任給的0 ,只要取N 11 ,則當 n N 時就有11nN1這就證明了lim0。nn用定義求數列極限有幾種模式:( 1 )0 , 作差an a , 解方程 an a , 解
2、出 n f , 則取 N f或 N f 1,( 2)將an a 適當放大,解出n f ;( 3)作適當變形,找出所需N 的要求。方法二: (迫斂性)設收斂數列an , bn 都以為極限,數列cn 滿足: 存在正整數N 0n N 0 時有:an cn bn則數列cn 收斂,且 lim cn a。例二:求數列n n 的極限。解:記 an n n 1 hn,這里 hn 0 ( n 1) ,則有n n (n 1) 2n (1 hn)2hn0 h 2(n 1) ,從而有n n11 an 1 hn 1 n21數列 12n1有121 ,于是上述不等式兩邊的極限全為n1方法三: (單調有界定理)在實系數中,有
3、界的單調數列必有極限。例三:設 a n 12是收斂于1 的, 因為任給的0 , 取 N 12 , 則當 n N 時1 ,故由迫斂性證得lim n n 1 。n111n 12,其中實數2 ,證明數列an 收斂。23 n證明:顯然數列是遞增的,下證有上界,事實上,anan 11111121231(n 1) n11111 (1) ()(223n121n21) nan 收斂。方法四:對于待定型1 利用 lim (1n1) e n例四:求2n1解:因 lim (1) e,而n 2nnn11lim (1) .lim (1) =lim (1n 2n n 2n n2n2n21nlim (1) en 2nn1故
4、 lim (1) en2n方法五: (柯西收斂準則)數列an 收斂的充要條件是:對任給的0 ,存在正整數N ,使得當n , m N 時,有an am例五:證明任一無限十進小數=0.b1b2bn 的 n 位不足近似(n=1 , 2, )所組成的數列b1 b1 b2b1 b2,2, ,210 10 10210 102bnn,10滿足柯西條件(從而收斂)0,1,2, ,9中的一個數,k 1,2,證明:記b1b2an 10102bnn ,不妨設n m ,則有10an ambm 1m110bm 2 bnm210n109m 1 (110110n m 1) 10101 m (1n m)10m101對任給的0
5、 ,取 N ,則對一切n m N ,有an am這就證明了題目滿足柯西條件,從而收斂。方法六: Stolz 定理:設 n>N 時, y y 且 lim y ,若 limxn xn 1yn yn 1,則xnxn xn 1 llim lim lnyn nyn yn 1例六:求 limn11112 n0)1 limnn (n 1)解:112 n= =limnn事實上,若方法七:形如例七:設解:因為limnlimnxn 1xn 1f ( xn ) 數列極限k ,其中 k 與為正數,則1 xn1n1n n (1)n1n12!21(1) 2 o( 2)xn 收斂于的正x2k 根。x1 ,k 0,所以
6、對一切n 有 0 xn k,則xn 是一有界數列,但非單調。0 ,則k(xn 1 xn)0,考察xnxn1xn1xn(1xn)(1xn1)xn 1xnk(xn 1xn)(1xn)(1xn 1)(1xn)(1xn 1) 1xn(1xn 1) 1 k故xn 1 xn1 k xn 1 xn(1kk)n1x2 x1收斂,從而收斂,由于xn 1 xnn1xn 0,則 lim xn x0 0nk在等式k 兩邊取極限,得xn 1 1xnn11linm k1n f10fxdx22x0 x0 k ,故是方程x x k 的正根。方法八:利用積分求數列極限bn眾所周知,如果 f x 在 a,b 上正??煞e,則 f
7、x d x lim f k n, 其中an k1 nban b a , f f a k , k 1,2, n。對于反常積分,我們可以證明如下結論:n kn1命題 1: 設 f x 在 ( 0, 1) 是單調的,x=0, x=1 可以是 f x 的奇點, 如果 f x d x收斂,則命題 2:設 f x 在( 0,單調,且0 f x d x收斂,則lim h f nh 0 f xdxh 0 n1knn例八:設常數a 1 ,試求極限lia 1nm k 1 n (a 1)k解:令akan1n (a 1)kana1nk11a1 n1n k n(1nk 1an) k 1ak1n 1a nk1n1x1所以
8、lnimk1ak 0adx lna a 1方法九:階的估計法f x 0 f x o( g x ) gxxagf xx x a1 f x (gx)fxgxxa*A 0 f x o(gx)f x o(g x)fxA gx特別的:fx 1fx Af x O(1) F x 0在用階的估計來求極限過程中需要初等函數f x 的泰勒公式f x 0 xk o xn 1 x0時k 0 k! x x常用估計式有x 0 :1 ex 1 x o x222 ln 1 x x x o 3 2x3 1 x 1 x o x234 sin x x x o 53! x25 cosx 1 x o x436 tan x x x o 5 3x更一般地:以上表達式中x 可換成 f x ,其中 lim f x 0,例如:o sin xx0nnn 1例九:試證明lim1nn2ln n2n證明:因為1 ln n 1n 1 ln n o en所以n n n 1 ln n o lnn n從而nnn 11 olnnlnnnlimnnnn
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