1、1.針對線彈性材料的II型裂紋，證明J積分與能量釋放率以及應力強度因子的等效性應力強度因子 當r=x, =0有 閉合時的位移最初為u(r, ),其中r=,閉合后位移為零。閉合過程中，面元素Bdx（B為板厚）上作用的應力由零增加到，而位移由u減小到零。閉合時，應力在段內所做的功為，裂紋擴展單位面積所釋放的能量，即其中在線彈性情況下，以裂紋尖端為圓心，取該圓為J積分回路，在極坐標下令ds=rd與dy=rcosd,則有 （1）平面應力情況下，彈性應變能密度 （2）將II型裂紋附近應力公式代入上式，化簡 （3）（3）式代入（1）式裂開型位移代入（1）式，利用公式積分得2.參考I型裂紋塑性區的確定辦法，

2、用Tresca準則，Mises準則確定II型裂紋尖端塑性區的形狀，并比較兩者結果平面應力情況下，裂紋尖端附近各點主應力按材料力學公式，有將代入上式，得應用von-mises屈服條件化簡得r=有Tresca準則得r=3.詳述如何在混凝土材料的有限元分析中引入一維損傷模型（拉伸）在混凝土材料的有限元分析中引入一維損傷模型和其他有限元模擬非常類似，需要在定義混凝土材料的屬性的時候引入損傷，其他過程大同小異，建立模型，定義屬性，組裝，定義分析步，定義接觸，施加載荷，網格劃分，提交分析，后處理。定義屬性的時候引入一維損傷，具體過程如下：MechanicalBrittle Cracking-輸入破壞時的主

3、應力和主應變，打開Suboptions選擇失效準則，可以選擇單向的，雙項的和三向的。之后輸入破壞時的主應變或者位移，打開Brittle shear 選擇類型Retention Factor或者Power law之后輸入相關參數。之后輸入混凝土相關參數即可。考慮到這里需要引入一維損傷，選擇單向的失效準則。在施加載荷的時候，加上有應力或者位移控制的拉伸載荷即可。4.綜述混凝土多軸應力下的本構關系研究王巖 混凝土有限元模型分析概述 山西建筑 2009年3月 第35卷 第八期2本構關系通?；炷恋谋緲嬯P系可以分為線彈性、非線彈性、彈塑性及其他力學理論四類，其中研究最多的是非線彈性和彈塑性本構關系，其中

4、不乏實用者34。1線彈性類本構關系認為應力應變加載卸載時成線性關系，服從胡克定律，應力應變是相互對應的關系。在實際結構設計中線性彈性仍然是應用很廣泛的本構模型?？紤]了材料性能的方向性差異，尚可以建立不同復雜程度的線彈性本構模型，包括各向異性本構模型、正交異性本構模型、各向同性本構模型。2非線彈性類本構關系認為應力應變不成正比，但是有一一對應關系。卸載后沒有殘余應變，應力狀態完全由應變狀態決定，而與加載歷史無關。非線彈性本構關系分為全量型(如Ottcxen模型)和增量型(如Darwin-pecknold模型)以及過一徐的正交異性模型。3彈塑性本構關系把屈服面和破壞面分開處理。根據混凝土單軸受壓的

5、實驗研究結果，混凝土在應力未達到其強度極限以前，應力應變的非線性關系主要受塑性變形的影響，這可以用屈服面理論來解釋。而在應力應變曲線的下降階段，混凝土的非線性關系則主要受混凝土內部微斷裂的影響，表現為損傷斷裂的關系，可以用破壞準則來評判。一般在經典的強度理論中，有Tinca，VonMises和Druck-Prager等屈服準則，此外還有Zienkiewiczpande，WFChen，Nilsson屈服條件，破壞準則有Mohr。4塑性本構關系由于混凝土材料的構造和性質顯然不同于塑性的金屬材料、單軸受壓(拉)應力一應變曲線的差異。為了將行之有效的塑性理論能應用于混凝土，一些學者盡了很大努力加以改造

6、，建立了多種塑性本構模型，如彈性一全塑性模型、硬化塑性本構模型、基于應變空間松弛面的塑性本構模型、逐漸斷裂模型、塑性一斷裂模型等。破壞準則在對混凝土結構進行非線性分析時破壞準則和本構關系的建立是至關重要的它直接關系到分析的精度。由于混凝土成份的復雜性和加載的多樣性如何建立混凝土在多向應力作用下的破壞準則一直是人們所追求的目標之一。根據破壞準則中所包含物理參數的個數可將現有的破壞準則進行分類 由 Rankin.Tresca和Mises 提出的破壞準則屬于單參數破壞準則,由于這些準則過于簡單而不能有效地描述混凝土在多向應力作用下的破壞特征 。而 Mohr-Coulomb準則和Drucker-Pra

7、ger準則則屬于雙參數破壞準則,盡管它們能解釋一些混凝土的破壞模式,但當靜水壓力較高時理論預測與實驗結果偏差較大。Bresler 和Pister 以及 William和Warnke 通過改進雙參數準則而分別提出了兩個三參數破壞準則。 幾個比較有代表性的四參數破壞準則分別由Ottosen,Reimenn,Hsich-Ting-Chen和曲俊義提出來的，這些破壞準則的優點是拉壓子午線均為曲線而且偏平面上的三角形是凸三角形與混凝土的實驗結果相符, 但它們也存在著各自的缺點例如破壞準則中的拉子午線偏離混凝土實驗結果較大 和過鎮海以及俞茂鈜分別提出了五參數破壞準則 與其它準則相比它們能更好地描述混凝土的

8、破壞特征但由于參數過多有時不便應用此外 等提出了混凝土在雙向應力作用下的破壞準則 它的主要缺點是對于不同的應力組合沒能給出統一的表達式有時不便用于有限元分析近年來混凝土本構關系方面的研究已經得了巨大進展 它們分別為線性本構關系非線性彈性本構關系彈塑性本構關系塑性斷裂本構關系損傷力學本構關系內時理論本構關系微平面本構關系非局部理論本構關系 這里值得一提的是建立在非局部理論基礎上的本構關系可消除有限元網格的敏感性模擬混凝土變形的局部性一般地說混凝土在復雜應力作用下的應力 應變全曲線分為上升段和下降段兩部分上升段的非線性主要是由于塑性變形引起的而對于下降段斷裂是導致非線性的主要因素鄭建軍，徐世良，周

9、欣竹 混凝土在雙向應力作用下新的破壞準則和彈塑性本構關系 浙江工業大學學報 2003年4月 第31卷第二期混凝土在雙向應力作用下的彈塑性本構關系基于混凝土在雙向應力作用下力學特性提出了混凝土在雙向應力作用下的破壞準則，在此基礎上通過構造塑性位勢進一步導出了混凝土在雙向應力作用下的彈塑性本構關系，最后該破壞準則和本構關系與混凝土實驗數據進行了比較 從而證實了它們的有效性為了在結構設計計算和有限元分析中引人混凝土的本構關系，,各國學者經過多年的試驗和理論研究提出多種多樣的本構模型。按現有的本構模型基本上可以分成四大類,即線彈性模型,非線性彈性模型,塑性理論模型以及其它力學理論的本構模型。在這些本構

10、模型中,有些是以成熟的力學體系,例如彈性理論或彈塑性理論等的視點和方法作為基礎,移植于混凝土。有些則是借助新興的力學分支,例如粘彈一塑性理淪、內時理淪、斷裂力學、損傷力學等概念,結合混凝土材料特點推演而得。還有些則是以混凝土多軸試驗數據為依據,進行概括和回歸分析后得到混凝土的本構關系程序中的混凝土本構模型提供了一個理論上正確而且相對比較簡單的,以及數值上穩定的模型,能反映出實驗觀測得到的重要剛度強度等特性。在描述材料特性方面,它具有三個基本特點在增加壓縮應力時,允許材料的非線性軟化可以模擬材料開裂及壓碎以后的特性定義了拉壞及壓碎的破壞包絡混凝土總的多軸應力一應變關系是以單軸應力一應變關系引出來

11、的。熊猛，李崗 簡析混凝土本構關系模型 混凝土是土木工程結構中應用極為廣泛的材料，其最本質的特點是材料組成的不均勻性，并且存在初始微裂縫從混凝土受單軸壓力時的應力應變關系來看，混凝土卸載時有殘余變形，不符合彈性關系；如果對其應用彈塑性本構關系，又很難精確定義屈服條件此外，混凝土在到達應力頂峰后，其口關系曲線有一下降段，即存在應變軟化現象，所有這些都給建立混凝土的本構關系帶來困難+多年以來，眾多學者進行了大量的試驗和理論研究，提出了各種各樣的混凝土本構模型迄今為止所提出的本構模型大致可分以下幾種類型：1) 線彈性類本構模型;2)塑性理論類本構模型；3)其它力學理論類本構模型；4)非線彈性本構模型

12、，非線彈性類本構模型是根據混凝土多軸試驗數據進行總結、歸納，經過回歸分析而得出的模型因為這類模型形式簡單，使用方便而目經過實驗證明是有足夠精度的，所以這類模型是在實際工程中應用最廣泛的模型非線彈性模型屬于經驗型的模型，適用于混凝土單調加載和混凝土受壓區非線性變形等情況，所以，這種模型的參數是以實驗數據為依據的這種模型大體可分為兩大類：一是全量式的應力應變關系，采用不斷量化的割線模量的超彈性模型屬于這一類；另一類是增量式的應力應變關系，采用不斷變化的切線模量的次彈性模型屬于這一類.從實驗研究來看，在三向應力狀態下的應力應變測得的數據還不夠多實驗方法也有待改進，特別是在不改變受力與變形條件的現代非

13、機械、非破損的測量方法還期待有所突破粘結關系的實驗及其有限元的表達方法也還有待改進國內開展的混凝土多軸受力狀態下的試驗始于八十年代初，清華大學在對單軸拉、壓的混凝土應力一應變曲線全面系統的研究基礎上，進行了多軸受力條件下混凝土強度和變形的系統的試驗研究。大連理工大學自1985年以來，在自行研究的多功能混凝土三軸試驗機上進行了大量的有關混凝土、鋼纖維混凝土、輕骨料混凝土的變形和強度試驗，應力比包括壓壓、拉壓、三向受壓、三向受拉、以及國內外均較少開展的三向受拉及平面應變狀態下的壓壓及拉壓狀態，并在此基礎上建立了相應的本構關系和破壞準則。三軸試驗機 通過真三軸靜態加載試驗，對素混凝土材料在常溫，短時

14、靜態加載條件下，一種復雜加載路徑下的力學特性和應力一應變關系進行了試驗研究目前，混凝土的本構模型大致可分為如下幾類： （1）以彈性模型為基礎的線彈性和非彈性的本構關系； （2）以經典塑性理論為基礎的理想彈塑性和彈塑性硬化本構模型； （3）采用斷裂理論和塑性理論組合的塑性斷裂理論，并考慮用應變空間建立的本構模型； （4）基于不可逆熱力學的混凝土本構模型，包括以粘性材料的本構關系發展起來的內時理論描述的混凝土本構模型和采用用損傷理論和用彈塑性損傷斷裂混合建立的本構模型等。 在這些類本構模型中，有些是以成熟的力學體系，如彈性力學或塑性理論等的觀點和方法為基礎，移植于混凝土；有些則是借鑒新興的力學分支

15、，如粘彈塑性理論、內時理論、斷裂力學、損傷力學等概念，結合混凝土材料的特點推演而得；還有些是以混凝土多軸試驗的結論和數據為依據，進行概括和回歸后得到。在混凝土的各類本構模型中，非線性彈性模型具有概念簡單、形式顯明，使用方便、且源自試驗結果而計算準確度較高等優點。采用正交異性材料建立的非線性彈性本構模型能較為合理地反映各個主方向受力性能的差別。但是，非線性本構模型在預測二軸受壓以外情況時存在較大的誤差，原因在于：1）對破壞形態不加區分，這些模型中統一的應力應變關系式，多是采 用單軸或二軸受壓的應力應變試驗曲線作為等效曲線的基礎，或者作為標定參數值的依據；2）泊松比不能反映受拉和受壓狀態的相反變化

16、規律，泊松比在受壓時逐漸增大，而在受拉時變形不大，這中誤差在高應力階段表現更為明顯；3）反映當前應力水平的指標不盡合理，忽略了加載路徑的影響。二、非線性彈性本構模型 非線彈性類本構模型是根據混凝土多軸試驗數據進行總結、歸納，經過回歸分析而得出的模型。因為這類模型形式簡單，使用方便，而且經過實驗證明是有足夠精度的，所以這類模型是在實際工程中應用最廣泛的模型。非線彈性模型屬于經驗形的模型，適用于混凝土單調加載和混凝土受壓區非線性變形等情況。所以，這種模型的參數是以實驗數據為依據的。其特點是應力應變不成正比，但仍有一一對應關系，卸載時延加載路徑返回，沒有殘余變形1非線性彈性本構模型的特點 （1）依據

17、非線性彈性理論，可描述混凝土在壓縮范圍內及破壞前的非線性變形，這些非線性彈性理論能夠在很多情況下作為建立混凝土精確數學模型的基礎； （2）反映了混凝土應變隨著應力的增大而非線性增長的主要規律。但是同時認為，卸載時應變沿加載路徑返回，并不留殘余應變。應力應變關系曲線的具體形狀或計算，一般是根據混凝土的單軸或多軸應力狀態的試驗結果加以標定，或者采用經驗公式進行回歸擬合； （3）模型與材料的破壞準則、斷裂準則以及混凝土“應變軟化”效應結合； （4）除了Darwin-Pecknold模型可用于描述循環加載情況外，其余均適用與一次比例加載情況，在一次單調比例加載情況下有較高的計算精度； （5）在其中，又

18、分為各向同性型、正交異性型和耦合型三種； （6）從描述形式上可分為以割線形式表示的有限（全量）材料特征和以切線應力應變關系表示的增量（微分）兩大類模型。 在1990歐洲模式規范CEB-FIP中采用了Ottosen模型（各向同性型）和Darwin-Pecknold模型（正交異性型），明確規定這兩個模型用于有限元分析。故在此處介紹這兩種模型。 2 全量型本構模型-Ottosen模型 該模型的表達式簡明、直觀，但只適于全量比例加載，且與加載無關，不適于逐級加載或非比例加載。 Ottosen（1979）建立了一種割線全量型模型，該模型能考慮在壓縮應力下即將破壞前的膨脹以及破壞后的軟化性質，模型中采用了

19、割線模量和割線泊松比，混凝土行為的各種特征可用一簡單方法描述出來，且此模型適用于一般有拉應力的三軸應力狀態中。 Ottosen將該模型用于單軸、雙軸和三軸加載條件下的各種不同類型的混凝土中，與試驗結果吻合較好，重要的是該模型能模擬在單軸和雙軸壓縮下觀察到的膨脹和軟化線性。在該模型中，涉及到三個參數的確定，即非線性指標b、割線楊氏模量Ecsa和割線泊松比ncsa。 3 Darwin-Pecknold雙軸正交各向異性模型 由于全量模型自身存在的嚴重缺點，所以有時需要采用增量模型來確定求解。將混凝土看作正交異性材料，兩個方向的彈性模量不同；應力和應變按增量計算，彈性模量取切線值；引入“等效單軸應變”

20、的概念。 “等效單軸應變”概念對于單調加載沒有多大的必要，但在循環加載情況 下，它的引入為雙軸和三軸應力應變響應提供了一種更簡明的表達方式。它能描述材料承受循環荷載的能力，能真實地模擬強度和剛度的退化。 有增量本構方程和用其它材料常數表示的剪切剛度的假設形式，然后用增量單軸應變表示上述增量，從而得出等效單軸應變的定義，最后針對單軸和循環加載情況引入等效單軸應變和應力關系的形式，從而根據應力和等效單軸應變參數推導增量彈性模量的基礎。形變理論是彈塑性小變形理論的簡稱，它是以應力和應變全量形式表達的，且基于非線性彈性理論的混凝土全量本構有些類似，但其物理方程為非線性的。該理論僅適用于簡單比例加載，隨

21、著計算機的普及，這種理論逐漸被淘汰。所以，在本節中只針對增量理論進行簡介，具體可參考江見鯨編寫的鋼筋混凝土結構非線性有限元分析及其它相關文獻。增量理論可以描述加載路徑對混凝土性質的影響，在給定的應力下，將應變增量劃分成彈性應變增量和塑性應變增量兩部分，分別確定各自的大小，進而確定了總的應變增量，從而獲得增量的本構模型。該模型在計算機廣泛應用后得到了越來越廣泛的應用。完整的多軸本構關系包含四個方面的內容：多軸應力下的屈服條件(破壞面)、判別加載和卸載準則、強化條件或后繼屈服面(對強化材料)、塑性應力應變關系。根據塑性勢面與屈服面之間的關系又分為相關流塑性本構模型和非相關流本構模型。根據加載過程中

22、是否存在應變硬化或做功強化又可分為理想彈塑性混凝土增量本構模型和彈塑性硬化混凝土增量本構模型兩大類。參閱陳惠發編著、由余天慶等人翻譯的土木工程材料的本構方程以及其它相關文獻。多軸應力條件下的混凝土破壞形式分為廣義受拉破壞和廣義受壓破壞，為描述這一過程需 從單軸受拉和單軸受壓開始，再推廣到多軸應力情形，并反過來解釋單軸行為。本構關系是現在混凝土結構采用有限元分析的基礎，雖然關于常規結構的線彈性分析已不存在關鍵性障礙，但對于非線性分析則存在爭議。之所以目前未得到統一認識，是因為所依據的理論和方法各異，且各有其適用條件，如確立損傷模型的一個關鍵問題是損傷準則，而目前普遍采用的就是基于等效應變（Maz

23、ars，1984年），等效應力（Ortiz,1985年；Chow and wang，1987 年）和損失能量釋放率（Mazars,1985年；Simo and Ju,1987年；Ju,1987年）準則，文獻 7,16,38,39對當前各種本構關系的建立所依據的理論和適應條件進行了評述，并分別基于Helmholtz能量釋放率和基于等效應變的熱動力學原理建立了塑性損失模型和各向異性損失模型。其次是基于Haigh-Westergard應力空間屈服函數的建立，如文獻26 提出的新屈服函數，可以適應多種材料，并包括了Mises準則，D-P準則，Tresca準則及修正的Tresca準則，M-C準則，修正的

24、Cam-Clay模型，Rankine準則和Ottosen準則，類似的還有采用多破壞準則和非關聯流動法則建立的塑性模型，這是由于單一準則不能描述復雜應力條件下的塑性應變，且依賴于實驗數據，屬于半經驗公式 30 40 。以及可以包絡損傷于塑性準則兩種情形的各向異性損傷模型，并符合熱動力學法則 24。第三是基于塑性-斷裂力學的方法）De Borst,1986年；Carol等1994年，Simo等，1988年）如文獻25基于這兩種方法所建立的模型，不僅可以描述混凝土的軟化和硬化行為，而且還可以解釋I,II,III型斷裂行為等，并已植入流行有限元軟件ATENA中，且已應用于鋼筋混凝土等結構分析中。類似的

25、如文獻8等，通過人造孔，分析了壓剪，斷裂破壞的形式。文獻7的研究表明雙軸應變比例控制加載條件下可以測得混凝土板式試件的二軸應力應變全曲線，所得曲線具有一定的精度和可信性。文獻中得到的應力應變全曲線和包絡線為多軸本構關系的研究以及復雜結構設計提供了依據。7 李杰，任曉丹，楊衛忠.混凝土二維本構關系試驗研究【J】.土木工程學報，2007，Vol.40(4):6-128 Yu.A.Fishman.Feature of compressive failure of brittle materialsJ.International Journal of Rock Mechanics and Mining

26、 Sciences,2008,Vol.45(6):993-9982425 Jan Cervenka,Vassilis K.Papanikolaou.Three dimensional combined fracture-plastic material model for concreteJ.International Journal of Plasticity,2008,Vol.24(12):2192-22202630 38 Jian Ying Wu,Jie Li,Rui Faria.An energy relase rate-based plastic-damage model for c

27、oncreteJ.International Journal of Solids and Structure,2006,Vol.43(3-4):583-61239 Jian Ying Wu,Jie Li.On the mathematical and therm dynamical descriptions of strain equivalence based anisotropic damage modelJ.Mathanics of Materials,2008,Vol.40(4-5):377-40040 Yuanli Bai,Tomasz Wierzbicki.A new model of mental plasticity and fracture with pressure and Lode dependenceJ.International Journal of plasticity,2008,Vol.24(6):1071-1096文獻5通過分析各種常用材料的破壞準則，建議了一種適合混凝土非線性特性的破壞準則，提出了一個較為合適的混凝土非線性本構模型，便于有限元的實施。文獻6建立了應用于沖擊和地震載荷下與應變率和應變歷史相關的混凝土動態本構模型。文獻7根據(1)剛架式剪力墻初始曲線的桁架模型理論；(2)剪力墻在重