1、Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件.8.計算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形,正方形時,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常計算邊的長度與角的度數(shù),這樣可以得到在數(shù)值上相等的二也可將圖對折看,對稱以后關(guān)系現(xiàn).角平分線加垂線,三線合一試試看.要證線段倍與半,延長縮短可試驗.三角形中有中線,延長中線等中線.遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線D全等三角形問題中常見的輔助線的作法有答案總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形,構(gòu)造二條邊之間的相等,構(gòu)造二

2、個角之間的相等【三角形輔助線做法】圖中有角平分線,可向兩邊作垂線.角平分線平行線,等腰三角形來添.線段垂直平分線,常向兩端把線連.三角形中兩中點,連接那么成中位線.1 .等腰三角形“三線合一法:合一的性質(zhì)解題2 .倍長中線：倍長中線,使延長線段與原中線長相等,構(gòu)造全等三角形3 .角平分線在三種添輔助線4 .垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5 .用“截長法或“補短法：遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長,6 .圖形補全法：有一個角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7 .角度數(shù)為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個角為30度或60度,可以從角一邊上一點向角的另一邊作垂線,目的是構(gòu)成30-

3、60-90的特殊直角三角形,然后計算邊的長度與角的度數(shù),這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角.從而為證實全等三條邊或二個角,從而為證實全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件.常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形,構(gòu)造二條邊之間的相等,二個角之間的相等.1遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線合一的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的“對折法構(gòu)造全等三角形.2遇到三角形的中線,倍長中線,使延長線段與原中線長相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形.3遇到角平分線在三種添輔助線的方法,1可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形

4、全等變換中的“對折,所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.2可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交,形成一對全等三角形.3可以在該角的兩邊上,距離角的頂點相等長度的位置上截取二點,然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線,構(gòu)造一對全等三角形.4過圖形上某一點作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“平移或“翻轉(zhuǎn)折疊5截長法與補短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長,是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法,適合于證實線段的和、差、倍、分等類的題目.6某線段的垂直平分線,那么可以在垂直平分線上的某

5、點向該線段的兩個端點作連線,出一對全等三角形.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時,常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來,利用三角形面積的知識解答一、倍長中線線段造全等例1、“希望杯試題,如圖ABC中,AB=5AC=3,那么中線AD的取值范圍是解：延長AD至E使AE=2AD連BE,由三角形性質(zhì)知AB-BE<2AD<AB+BE故AD的取值范圍是1<AD<4例2、如圖,ABC中,E、F分別在ABAC上,DEIDF,D是中點,試比擬BE+CF與EF的/ADBhADC吆ACD叱ADC+GDC=/ADG故AD軍ADG故有/BADWDAG即AD平分/BAE二、截長補短1、如

6、圖,AABC中,AB=2ACAD平分/BAC,且AD=BD求證：CDLAC解：截長法在AB上取中點F,連FDADB是等腰三角形,F是底AB中點,由三線合一知DF±AB,故/AFD=90°解：倍長中線,等腰三角形“三線合一法)延長FD至G使FG=2EF,連BQEG,顯然BG=FC,EG=EFEG<BG+BE在BEG中,由三角形性質(zhì)知在AFFG中,注意到DE!DF,ADFADC(SAS/ACD=/AFD=90°即：CDLAC2、如圖,AD/BCEA,EB分別平分/DAB,/CBACD過點E,求證;AB=AD+BC解：截長法在AB上取點F,使AF=AD,連FEAD

7、且AFESAS故：EF<BE+FC/ADE=/AFE例3、如圖,ABC中,BD=DC=ACE是DC的中點,求證：AD平分/BAE./ADE吆BCE=180°解：延長AE至G使AG=2AE,連BGDG,顯然DG=AC/GDC=ACD由于DC=AC故/ADCNDAC在人口8與4ADG中,BD=AC=DGAD=AD/AFE+ZBFE=180°故/ECB=/EFBFBWCBE(AAS)故有BF=BC從而;AB=AD+BC03、如圖,在ABC內(nèi),/BAC=60,/C=400,P,Q分別在BC,CA上,并且AP,BQ分別是ZBAC,/ABC的角平分線.求證：BQ+AQ=AB+BP

8、解：補短法,計算數(shù)值法延長AB至D,使BD=BP,連DP在等腰BPD中,可得/BDP=40°從而/BDP=40°=/ACPADPACPASA故AD=AC又/QBC40°=ZQCB故BQ=QCBD=BP從而BQ+AQ=AB+BP4、如圖,在四邊形ABCD43,BOBA,AACDBD平分/ABC,求證：.AC=180°PB-PC=PF-PC<CF=AF-AC=AB-AC應(yīng)用:如圖在四邊形AHCD中fA!)HHCt點E是朋匕一個動點.假設(shè)£H-60%AB=%,且4.俄=8口:判斷40卜.*?jHC的關(guān)聚并證實你的結(jié)論.解：解：補短法延長BA至F

9、,使BF=BCBD陣BDCSAS故/DFB=/DCB,FD=DC又AD=CD故在等腰BFD中/DFB=/DAF故有/BAD吆BCD=180°分析：此題連接AC,把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題,然后利用條件和等P為AD上任意一點,求證;AB-AC>PB-PC邊三角形的性質(zhì)通過證實三角形全等解決它們的問題.解：有BC=ADAE連接AC,過E作EFBC并AC于F點那么可證AAEF為等邊三角形即AE=EF,NAEF=NAFE=603ZCFE=120又AD/BC,ZB=60°.BAD=120又.DEC=60.AED=.FEC在AADE與AFCE中/EAD=/CFE,AE=E

10、F,/AED=/FEC.：ADE=.：FCEAD=FC解：(補短法)延長AC至F,使AF=AB)AB國AFP(SAS故BP=PF由三角形性質(zhì)知連PDBC=ADAE點評：此題的解法比擬新奇,把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題,然后利用全等三角形的性質(zhì)解決.、平移變換例1AD為ABC的角平分線,直線MNLAD于A.E為MNh一點,ABC周長記為巳,EBC周長記為R.求證PB>PA.1、如圖,在ABC中,/B=60°,ABC的角平分線AD,CE相交于點O,求證：OE=ODdc+ae=acBC,DEIAB于E,DF±AC于F.解：(鏡面反射法)延長BA至F,使AF=AC,連F

11、E人口為ABC的角平分線,MNXAD知/FAE=/CAE故有FAECAE(SAS故EF=CE在BEF中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC從而Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+ACPBC=例2如圖,在ABC的邊上取兩點DE,且BD=CE求證：AB+AC>AD+AE.證實：取BC中點M,連AM并延長至N,使MN=AM,連BN,DN.證實角平分線在三種添輔助線,計算數(shù)值法/B=60度,貝叱BAC+ZBCA=120度；AD,CE均為角平分線,貝U/OAC+/OCA=60度=/AOE=/COD;/AOC=120度.在AC上截取線段AF=AE,連接OF.又AO=AO;/

12、OAE=/OAF.那么,OAE0AOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/AOF=/AOE=60度.那么/COF=/AOC-/AOF=60度=/COD;又co=co；/ocd=/ocf.故,OCD0AOCF(SAS),od=of；cd=cf.OE=ODdc+ae=cf+af=ac.2、如圖,ABC中,AD平分/BACDGLBC且平分1說明BE=CF勺理由；2如果AB=a,AC力,求AE、BE的長.解：垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端連接BD,DCDG垂直平分BG故BD=DCVbd=ce,.DM=EM,.DMNAEMA(SAS),DN=AE,同理bn=ca.延長ND交AB于P,WJBN+BP>P

13、N,DP+PA>AD,相力口得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各減去DP,得BN+AB>DN+AD,.AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等由于AD平分/BACDEAB于E,DF±AC于F,故有ED=DF故RTADBERTADFC(HD故有BE=ORAB+AG=2AEAE=(a+b)/2BE=(a-b)/2應(yīng)用:FE=FD1、如圖,OP是/MON的平分線,請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形.請你參考這個作全等三角形的方法,解答以下問題：12如圖,在ABC中,/ACB是直角,/B=60°,AD、CE分別是/BAC、/BC

14、A的平分線,AD、CE相交于點F.請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；如圖,在ABC中,如果/ACB不是直角,而1中的其它條件不變,請問,你在1中所得結(jié)論是否仍然成立?F假設(shè)成立,請證實;有等腰三角形時常用的輔助線作頂角的平分線,底邊中線,底邊高線例：,如圖,AB=AC,BEUAC于D,求證：/BAC=2/DBC證實：方法一作/BAC的平分線AE,交BC于E,那么第23題圖解：1FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE=FD2答：1中的結(jié)論FE=FD仍然成立.證法一：如圖1,在AC上截取AG=AE,連結(jié)FG./1=/2,AF為公共邊,.AEF三AGFZAFE=NAFG,FE=FG./B=600,AD

15、、CE分別是/BAC、.2.3=60.AFE=.CFD=.AFG=60.CFG=60Z3=/4及FC為公共邊CFG=.CFDFG=FD圖1/1=/2=1/BAC2又=AB=ACAE!BC/2+/ACB=90°vBDLAC ./DBGb/ACB=90° ./2=/DBC ./BAC=2/DBC方法二過A作AE!BC于E過程略方法三取BC中點E,連結(jié)AE過有底邊中點時,常作底邊中線例：,如圖,ABC中,AB=AC,D為BCLAB于E,DF,AC于F,求證：DE=DF證實：連結(jié)AD.:D為BC中點,BD=CDFE=FD證法二：如圖2,過點F分別作FG_LAB于點G,FH_LBC于

16、點H/B=60°,AD、CE分別是/BAC、/BCA的平分線可得/2+/3=60=F是MBC的內(nèi)心ZGEF=60叼N1,FH=FG又HDF=B1.GEF=.HDF.可證.EGF三.DHF.B圖2又=AB=ACADF分/BAC.DELAB,DF±ACDE=DF將腰延長一倍,構(gòu)造直角三角形解題例：,如圖,ABC中,AB=AC,在BA延長線和AC上各取一點E、F,使AE=AF,求證：EF±BC證實：延長BE至ijN,使AN=AB,連結(jié)CN,那么AB=AN=AC./B=/ACB,/ACN=/ANC連2DE求證：DELBC證實：證法一過點E作EF/BC交AB于F,那么/AF

17、E=/B/AEF=/C.AB=AC./B=/C ./AFE=/AEF.AD=AE ./AED=/ADE又/AF曰/AER/AEM/ADE=180° .2/AER2/AED=90°即/FED=90°.DELFE又:EF/BC.DELBC證法二過點D作DN/BC交CA的延長線于N,過程略證法三過點A作AM/BC交DE于M過程略常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形等邊三角形例：,如圖,ABC中,AB=AC,/BAC=80°,P為形內(nèi)一點,假設(shè)/PBC=10°/PCB=30°求/PAB的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形,連結(jié)CEWJ/B

18、AE=/ABE=60°AE=AB=BE.AB=AC.AE=AC/ABC=/ACB./AEC=/ACEvZEAC=/BAC-/BAE=80°60°=20°E丁./ACE=-180°-/EAC=80/ACB=-180°-/BAC=5C° ./BCE=/ACE-/ACB=80°-50°=30° /PCB=30° ./PCB=/BCE/ABC=/ACB=50°,/ABE=60°./B+/AC拼/ACm/ANC=180°.2/BCA2/ACN=180°丁.

19、/BC4/ACN=90°即/BCN=90° .NCLBC,.AE=AF ./AEF=/AFE又./BAC=/AEF+/AFE/BAC=/ACN+/ANC ./BAC=2/AEF=2/ANC ./AEF=/ANC .EF/NC.-.EF±BC常過一腰上的某一點做另一腰的平行線例：,如圖,在ABC中,AB在AC延長線上,且BD=CE,求證：DF=EF證實：證法一過D作DN/DNB=/ACB/NDE=/E,vAB=AC,.B=/ACB.B=/DNBBD=DN又=BD=CEDN=EC在DNFffiAECF中/1=/2/NDF=/EDN=EC.DN圖AECFDF=EF證法二

20、過E作EM/AB交BC延長線于M,那么/EMB=B過程略常過一腰上的某一點做底的平行線例：,如圖,ABO,AB=ACE在AC上,D在BA延長線上,且AD=AE,解法二:解法三: ./EBC=/AB/ABC=10oZPBC=10o ./PBC=ZEBC在PBCffizEBC中/PBC=ZEBCBC=BC/PCB=/BCE.PB登AEBC.BP=BE.AB=BE.AB=BP/BAP=/BPA/ABP=/ABC-/PBC=50°10°=40°丁./PAB=1(180°/ABP)=70°2以AC為一邊作等邊三角形,證法同一.以BC為一邊作等邊三角形BC

21、E連結(jié)AE,那么EB=EC=BC,/BEC=/EBC=60°,.EB=EC.E在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上EA所在的直線是BC的中垂線.EA!BC/AEB=1/BEC=30°=/PCB2由解法一知：/ABC=50°丁./ABE=/EBC-/ABC=10°=ZPBCvZABE=/PBC,BE=BC,/AEB=/PCB.AB草APBC.AB=BPBAP=/BPAvZABP=/ABC-/PBC=50°-10°=401c1./PAB=(180°/ABP)=1(180°-40°)=70°=60&

22、#176;-50°解：連結(jié)CD1.如圖,求/A+ZB+ZC+ZD+ZE的度數(shù)./ECD+ZBDC=ZB+ZE=180°-ZBQE=180°-ZCOD.A+/B+ZACE+ZADB+/E=ZA+ZECD+ZBDC+/ACE+/ADB=/A+(/ECD+ZACE)+(/BDC+/ADB)=ZA+ZACD+/ADC=180°2.如圖,在ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點,且BE=AC,延長BE交AC于F.求證：AF=EF.解：延長AD至G,使DG=AD,連結(jié)BGBD=DC,/BDG=/ADC .BGDACADBG=AC=BE,/G=/CAD ./G

23、=ZBEG=ZAEF ./AEF=/CADAF=EF3.E是正方形ABCD邊CD上的中點,點F在BC上,且/DAE=/FAE.求證：AF=AD+CF.解：過E作EGXAF于G /D=90°,/AGE=90°AE平分/DAF,ED=EG ED=ECEG=EC ./EGF=Z0=90°EF=EF EGFAEOF(HL).GF=F0ED=EG,AE=AE,/D=ZAGE=90°ADEAAGE(HL),AD=AGAF=AG+GF=AD+FO即AF=AD+FC4.：在ABC中,/BAC=90°,AB=AC,BE平分/ABC,CELBE.求證：CE=1BD.2證實：延長BA交CE的延長線于FFBE