1、淺論數學直覺思維及培養中學數學教學大綱（試驗修訂本）將培養學生的三大能力之一“思維能力”，雖然只是去掉邏輯兩個字，概念的內涵卻更加豐富，人們在教育的實踐中實現了認識上的轉變。在注重邏輯思維能力的培養容易的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想象力的培養。特別是直覺思維能力的培養由于長期得不到重視，學生在學習的過程中對數學的本質容易造成誤解，認為數學是枯燥乏味的；同時對數學和學習也缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數學學習的興趣。過多的注重邏輯思維能力和培養，不利于思維能力的整體發展。培養直覺思維能力是社會發展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。一、 數學直覺概念的界定簡單的說，數學直覺是具有意識

2、的人腦對數學對象（結構及其關系）的某種直接的領悟和洞察。對于直覺作以下說明：（1） 直覺與直觀直感的區別直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形其概念、性質的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象和感知。而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系。龐加萊說：“直覺不必建立在感覺明白之上，感覺不久便會變的無能為力。例如，我們仍無法想象千角角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一特例包括進來?！庇纱丝梢娭庇X是一種深刻的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯寫后作思考的背景。下如

3、迪瓦多內所說：這些富有創造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個全面科學研究的構想和深刻的了解，這些構想和了解結合起來，就是所講的“直覺”，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。（2）直覺與邏輯的關系從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維、直覺思維。長期以來人們刻意的把兩者分離開來，其實這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重于演繹，而直觀重于分析，從側重角度來看，此話不無道理，但側重并不等于全面，邏輯思維中是否會有直覺成分？數學直覺是否具有邏輯性？比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺的

4、體現，甚至可民說直覺無時無刻不在起作用。數學的形式將思考的理性過程格式化。數學最初的概念都是基于直覺，數學在一定程度上就是在問題解決中得到了發展的，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數學問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。一個數學證明可以分解為許多基本運算或許多“演繹推理元素”，一個成功的數學證明是這基本運算或“演繹推理元素”的一個成功的組合，仿佛是一條從出發點到終點的通道，一個個基本運算和“演繹推理元素”就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前，開始邏輯可以幫助我們確信沿這條路必定能順利地到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構成

5、一條通道。事實上，出發不久就會遇上叉路，也就是遇上了不確定選擇結構通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能復寫出一個成功的數學證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡兒認為在數學推理中的每一步，直覺都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要靠球感一樣，在快速運動中來不及去作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是在平時訓練產生的一種直覺。在教育過程中，老師由于批改證明過程過分的嚴格化、程序化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內在潛能沒有被激發出來，學習的興趣沒有被調動

6、起來，得不到思維的真正樂趣。中國青年報曾報道，“約30%的初中學生學習了平面幾何推理之后，喪失了對數學學習的興趣”，這種現象就該引起教學教育者的重視與反思。二、直覺思維的主要特點直覺思維具有自由性、靈活性、自發性、不可靠性等特點，從培養直覺思維的必要性來看，筆者以為直覺思維有以下三個主要特點：（1）簡單約性直覺思維對象從整體上考察，調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環節，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰的觸及到事物的“本質”。（2）創造性現代社會需要創

7、造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經驗，過多的注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創造能力和開拓精神。直覺思維的無意識性，它的想象才是豐富了的。發散的，使人的認知結構向外無限擴展，因而具有反常規律的獨創性。伊恩·期圖加特說：“直覺是真正的數學家賴以生存的東西”，許多重大的發現都是基于直覺。歐幾里得幾何學的五個公設都是基于直覺，從而建立起歐必里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路中觸發了構造四素的火花；阿基米德在浴室找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發現苯分子環狀結構更是直覺思維的成功典范。（3）自信力學生對數學產生興趣的原因有兩種，一種是教師的

8、人格魅力，其二是來自數學本身的魅力。不否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自本身。成功可以培養一個的自信直覺發現伴隨著很強的“自信心”。相比其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直接獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生一種強大的學習鉆研動力，從而更加相信自己的能力。高斯在小學時就能解決問題“1+2+99+100=？”，這是基于他對數學的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產生了不可磨滅的影響。而現在的中學生極少具有直覺意識，對有限的直覺也半信半疑，不能從整體上駕馭問題，也就無法形成自信。三、直覺思維的培養一個人的數學

9、思維，判斷能力的高低主要以決于直覺思維能力的高低。徐利治教授反映出：“數學直覺是后天培養的，實際上每個人的數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。”數學直觀是可以通過訓練提高的。（1）扎實的基礎是產生直覺的源泉直覺不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是不會迸發出思維的火花的。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子以能通過與其它東西的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗。對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺”。阿達瑪曾風趣的說：“難道一只猴子也能應機遇而找印成整部美國憲法嗎？”（

10、2）滲透數學和哲學觀念直覺的產生是基于對研究地對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建筑的把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普通存在的對立統一、運動變化、相對轉化、對稱性等。例如（a+b）2=a2=2ab+b2,即使沒有學過完全平方式，也可以用對稱的觀點判斷結論的真偽。美感和美的意識是數學直覺的本質，提高審美能力有利于培養數學事物間所有存在著的和諧關系及秩序的直覺意識，狄拉克于1931年從數學對稱的角度考慮大膽的提出了反物質的假說，他認為真空中的反電子就是正電子。他還對麥克勘探韋方程組提出質疑，他曾經說，如果一個物理方程在數學上看上去不那么正確，這個方程的正確性是可疑的。（3）重視解題教學教

11、學中選題適當的題目類型，有利于培養，考察學生的直覺思維。例如選擇題，由于只要求從四個選擇中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想有利于直覺思維的發展。實施開放性問題教學，也是培養直覺思維的有效方法。開放性問題和條件或結論不夠明確，可以從多角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發散性，有利于直覺思維能力的培養。（4）設置直覺思維的意境和動機誘導這就要求教師轉變教學觀念，把主動權還給學生。對于學生的大膽設想給予充分肯定，對其合理萬分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自必性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的悟性。教師應該把直覺思維冠冕堂皇的在課堂教學中明確的提出，制定直覺思維的活動策略，從整體上把握部分的特征；重視直覺思維方法的教學，諸如：換元、數形