1、課 時 教 案授課章節及題目 偏導數與全微分（1）授課時間周二 第 3、4 節課 次1學 時2教學目標與要求1、了解二元函數偏導數的定義2、掌握求二元函數偏導數的方法教學重點與難點教學重點：二元函數偏導數的求法教學難點：二元函數偏導數的定義教學用具無教學過程環節、時間授課內容教學方法課程導入（5分鐘）復習一元函數的導數定義、導數與連續的關系講解、提問新課講解（35分鐘）新課講解（35分鐘）新課講解（35分鐘）一、二元函數偏導數的定義定義1：設函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某個鄰域內有定義，當y固定在y0，而x0有增量時，相應的函數有增量（此時稱為二元函數z=f(x,y)對x的偏增

2、量，記為），即，若極限存在，則稱此極限值為函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處關于x0的偏導數，記作。同樣可以定義z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處關于y0的導數值。如果z=f(x,y)在某個鄰域內對每一個點x都存在偏導數，則這兩個偏導數本身也是關于x，y的二元函數，所以稱它們為偏導函數，簡稱為偏導數。記為zx/,二、偏導數的求法從偏導數的定義可以知道，求z對x的偏導數的時候可以把變量y認為是常數，從而可以利用一元函數求導法則和求導公式進行求導；同樣，在z對y求偏導數的時候可以把x認為是常數進行求導。三、例題講解：1.求函數z=x3-2xy+5y2在點（1，2）處的偏導數 分析：

3、此題有多種解法，我們首先可以把z對x、y的偏導數算出來，然后再代值；或：對x求偏導時把y的值代入然后再對x求導，同樣的方法可以求出y的偏導數。（在黑板上詳細寫出本題的解題過程）2.分析：本題和上題是類似的題型，可以上學生自我考慮然后回答本問題。3.分析：在本題中，實際上考查的是偏導數函數的算法。在本題中，一定要注意對x,y求偏導時我們可以尋找不同的函數類型，從而可以利用一元函數的求導法則來求相應的偏導數。（書寫詳細的解題過程）4.分析：本題實質和上題是類似的，實際上在求偏導數的時候我們可以把相應的某個變量看成是常數就可以了，然后利用一元函數的求導法則即可。（書寫詳細的解題過程）5.分析：本題是

4、一個三元函數的偏導數問題，在此題中我們的解題思路和上面是一樣的，例如在求對x的偏導數時候，我們可以把y，z看成是常量，從而可以利用一元函數的求導法則來相應的三元函數的偏導數問題。分析：本題和以上各題不一樣之處在于f(x,y)是二元分段函數求在原點處的偏導數，此種題型的一般方法是利用定義來求，所以，在本題的講解中要貫徹二元函數的導數的定義，所以要求學生務必對二元函數在某點的導數定義要比較熟悉。（在黑板上書寫詳細的解題過程）四、高階導數二元函數z=f(x,y)的兩個偏導數一般仍然是x，y的二元函數，若這兩個函數對x，y的偏導數仍然存在，則稱為這些偏導數為z=f(x,y)的二階偏導數，按照對變量求導

5、次序不同，二階偏導數有如下幾種形式：在上述公式中要注意是先對x求偏導數然后再對y求偏導數，而是先對y求偏導數然后再對x求偏導數。它們正好相反，它們包講解講解講解、啟發環節、時間授課內容教學方法新課講解（35分鐘）含著對不同自變量的偏導數，所以稱這兩者是二階混合偏導數。類似的我們可以定義更高階的偏導數，二階及二階以上的偏導數我們稱為是高階偏導數。五、例題講解：1.求函數z=x3+3x3y+y4+5的二階偏導數分析：在前面所介紹的一階偏導數的基礎之上，我們可以很容易的求出此題的二階偏導數2.求z=sin2(ax+by)的二階偏導數分析：此題和上述題型類似，此時和學生互動求解該題，并書寫詳細的解題過

6、程3.分析：本題雖為證明題，其實質上還是關于二元函數高階偏導數的計算問題，由于涉及的計算量比較大，所以提醒學生一定要注意計算的準確性，同時，在本題中，計算對x，y的偏導數的時候我們可以發現兩個二階混合偏導數是相同的，在此可以向學生解釋為什么會出現這個情況，就是因為二元函數z=f(x,y)的兩個二階混合偏導數如果連續的話，則這兩個混合偏導數肯定相等（在此只要向學生簡單介紹一下此定理就可以了，同時提醒學生在以后的一般情況下，這兩個值應該是相等的）六、學生課堂訓練:具體題目見P140 1 (3) (5) 3 (1) (2)講解、啟發、引導課后小結課后作業（5分鐘）本次課主要講解了二元函數的一階偏導數和二階偏導數，其中最重要的是這兩個偏導數的計算作業：P140 1(2)、（4）、(6) （7） 3 (3