1、統計學常用分布及其分位數§ 1.4 常用的分布及其分位數1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正態分布所導出的分布，它們與正態分布一起，是試驗統計中常用的分布。當XI、X2、Xn相互獨立且都服從N(0,1)時，Z二的分布稱為自由度等于n的分布，記作Z(n),它的分布密度p(z尸式中的=,稱為Gamm函數，且=1,二。分布是非對稱分布，具有可加性，即當Y與Z相互獨立，且Y(n),Z(m),則Y+入(n+m)。證明：先令XI、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+mf互獨立且都服從N(0,1)，再根據分布的定義以及上述隨機變量的相互獨立性，令Y=X+X+X,Z=X+X+X,Y+

2、Z=X+X+-+X+X+X+-+X,即可得到Y+Z(n+m)。2. t分布若X與Y相互獨立，且XN(0,1),Y(n),則Z=的分布稱為自由度等于n的t分布，記作Zt(n),它的分布密度P(z)=。請注意：t分布的分布密度也是偶函數，且當n>30時，t分布與標準正態分布N(0,1)的密度曲線幾乎重疊為一。這時，t分布的分布函數值查N(0,1)的分布函數值表便可以得到。3. F分布若X與Y相互獨立，且X(n),Y(m),則2=的分布稱為第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，記作ZF(n,m),它的分布密度p(z)=請注意：F分布也是非對稱分布，它的分布密度與自由度的次序有關，當ZF(

3、n,m)時，F(m,n)。4. t分布與F分布的關系若Xt(n),則F(1,n)。證：Xt(n),X的分布密度p(x)=。Y=X的分布函數F(y)=PY<y=PX<y。當y0時，F(y)=0，p(y)=0；y>0時，F(y)=P-<X<=2，Y=X的分布密度p(y尸，與第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X-F(1,n)。為應用方便起見，以上三個分布的分布函數值都可以從各自的函數值表中查出。但是，解應用問題時，通常是查分位數表。有關分位數的概念如下：4.常用分布的分位數1)分位數的定義分位數或臨界值與隨機變量的分布函數有關，根據應用的

4、需要，有三種不同的稱呼，即分位數、上側0c分位數與雙側0c分位數，它們的定義如下：當隨機變量X的分布函數為F(x),實數0c滿足0<%<1時，a分位數是使PX<Xa=F(Xa)=a的數Xa,上側口分位數是使PX>入=1-F(入尸口的數入，雙側口分位數是使PX<入1=F（入1）=0.5%的數入1、使PX>入2=1-F（入2）=0.5%的數入2。因為1-F（入尸口,F（入）=1-0c,所以上側口分位數入就是1-%分位數x1-%;F（入1）=0.5%,1-F（入2）=0.5%,所以雙側口分位數入1就是0.5%分位數x0.5%,雙側分位數入2就是1-0.5%分位數x

5、1-0.5%。2）標準正態分布的分位數記作ua,0.5%分位數記作u0.5%,1-0.5%分位數記作u1-0.5%。當XN（0,1）時，PX<ua=F0,1（u%）=%,PX<U0.5a=F0,1（u0.5a）=0.5a,PX<u1-0.5a=F0,1（u1-0.5a）=1-0.5%。根據標準正態分布密度曲線的對稱性，當a=0.5時，ua=0；當a<0.5時，ua<0。u%=-u1-民。如果在標準正態分布的分布函數值表中沒有負的分位數，則先查出U1-%,然后得到U%=U1-oco論述如下：當XN(0,1)時，PX<u%=F0,1(u%)=%,PX<u1

6、-%=F0,1(u1-%尸1-%,PX>u1-%=1-F0,1(u1-%)=%,故根據標準正態分布密度曲線的對稱性，u%=-u1-%。例如，u0.10=-u0.90=-1.282，u0.05=-u0.95=-1.645，u0.01=-u0.99=-2.326，u0.025=-u0.975=-1.960，u0.005=-u0.995=-2.576。又因為P|X|<u1-0.5%=1-0c,所以標準正態分布的雙側口分位數分別是u1-0.5%和-u1-0.5%。統計學常用分布及其分位數標準正態分布常用的上側0c分位數有：%=0.10,u0.90=1.282;%=0.05,u0.95=1.

7、645;%=0.01,u0.99=2.326;%=0.025,u0.975=1.960;%=0.005,u0.995=2.576。3)卡平方分布的分位數記作(n),%(n)>0,當X(n)時，PX<%(n)=%統計學常用分布及其分位數例如，0.005(4)=0.21，0.025(4)=0.48，0.05(4)=0.71，0.95(4)=9.49，0.975(4)=11.1，0.995(4)=14.9。4) t分布的分位數記作t%(n)。當Xt(n)時，PX<t0c(n)=%,且與標準正態分布相類似，根據t分布密度曲線的對稱性，也有t%(n)=-t1-%(n),論述同ua=-u

8、1-%。例如，t0.95(4)=2.132，t0.975(4)=2.776，t0.995(4)=4.604，t0.005(4)=-4.604，t0.025(4)=-2.776，t0.05(4)=-2.132。另外，當n>30時，在比較簡略的表中查不到t%(n),可用ua作為t%(n)的近似值。5) F分布的分位數記作Fa(n,m)。Fa(n,m)>0，當XF(n,m)時，PX<F%(n,m)二%。另外，當0c較小時，在表中查不出F%(n,m),須先查F1-%(m,n),再求Fa(n,m)=。論述如下：當XF(m,n)時，PX<F1-%(m,n)=1-%,P>=1-

9、%,P<=%,又根據F分布的定義，F(n,m),P卜F%(n,m)=0c,因此Fa(n,m)=。例如，F0.95(3,4)=6.59，F0.975(3,4)=9.98，F0.99(3,4)=16.7，F0.95(4,3)=9.12，F0.975(4,3)=15.1，F0.99(4,3)=28.7，F0.01(3,4)=，F0.025(3,4)=，F0.05(3,4)=。【課內練習】1. 求分位數0.05(8)，0.95(12)。2. 求分位數t0.05(8)，t0.95(12)。3. 求分位數F0.05(7,5)，F0.95(10,12)統計學常用分布及其分位數4. 由u0.975=1.960寫出有關的上側分位數與雙側分位數。5. 由t0.95(4)=2.132寫出有關的上側分位數與雙側分位數。6. 若X(4),PX<0.711=0.05,PX<9.49=0.95,試寫出有關的分位數。7. 若XF(5,3),PX<9.01=0.95,YF(3,5),Y<5.41=0.95，試寫出有關的分位數。8. 設X、X、X相互獨立且都服從N(0,0.09)分布，試求P>1.44。習題答案：1.2.73,21.0。2.-1.860,1.782。3.，3.37。4.1.960為上側0.025分位數，-1.960與1.960為雙側0.05分位數