1、三維表面評定中高斯濾波器的設計曹曉燕（機械學院機械工程專業1011201040）1 引言：經典高斯濾波對于正態分布表面信號具有優良的性能， 但實際上各種表面測量信號是諸多因素綜合作用的結果， 不僅包含特定頻率的正弦波， 還包含幾乎沒有頻率周期的溝槽、 劃痕等特征信息。同時，由于不可避免的測量誤差的卷入，導致表面信號并非嚴格服從正態分布。異常特征不可避免的干擾， 引起了經典高斯濾波結果的畸變， 并進一步影響了后續的參數評估精度。本文根據穩健統計學的思想和表面信號的特點， 采用被普遍接受的 M估計，結合穩健思路，建立起從二維到三維穩健高斯濾波算法， 確定表面穩健評定基準， 實現經典高斯濾波的穩健處

2、理，克服奇異特征對其濾波性能的影響。2 經典高斯評定基準的三維模型定義，和滿足：(1)式中：和是和的的 Fourier變換，是的 Fourier變換。、分別是 x 、y 方向截止頻率。選取適當的截止頻率，則包含三維表面測量輪廓的形狀和波紋度誤差，可以將其作為三維表面粗糙度評定的基準面，為三維表面粗糙度輪廓：(2)三維表面測量輪廓信號包含各種頻率成分，其中，形狀及波紋度誤差屬于低頻成分，而表面粗糙度屬于高頻成分。因此，三維表面粗糙度評定基準面的提取可以采用將測量原始輪廓數據通過一個二維低通濾波器的方法得到，見下式：（3）其中為濾波器沖擊響應函數的Fourier變換所以可以將式(3) 中用三維高斯

3、函數代替 1 ：（4）定義為三維表面粗糙度高斯評定基準面，可由下式給出：（5）式中， 為 x 向截止波長，輪廓是離散的數據，因此必須將式為 y向截止波長。對于數字系統，實際測得的三維表面(6) 離散化。定義Z 為三維離散采樣數據，為高斯評定基準面：（6）其中 i=M, ,LX -M, j=N, ,LY -N,LX,LY 為數據采樣點數：（ 7）3 穩健高斯濾波基準及其算法基于 M估計理論，定義垂直穩健估計權函數 q 對經典高斯濾波進行穩健處理維連續穩健高斯濾波基準：（8）式中：三維高斯歸一化權函數：（9）積分限，的選擇保證能夠充分囊括所有的測量點。三維穩健粗糙度：（ 10）對于包含 N

4、5; M 個數據點的實際三維測量表面，離散穩健高斯濾波基準：（11）抗差估計基本上可分三大類型： M估計， L 估計和 R 估計。 M 估計是經典的極大似然估計的推廣，稱為廣義極大似然型估計。 L 估計是排序統計量線性組合估計。 R 估計是秩估計，它來源于秩統計檢驗 2 。M 估計通常是一種非線性估計方法，計算開始時一般得不到精確的結果，針對實際工程表面可能含有不服從于假定整體正態分布的異常特征信號，故需要采用迭代算法求解。 M 估計的基本算法有修正殘差法、修正權法以及位置參數和尺度參數M 估計聯合計算法。選擇修正權法，同時為了保持穩健高斯濾波具有經典高斯濾波在信號服從正態分布前提下所具備的優

5、良性能，又引入了抗差最小二乘估計中的穩健估計權函數，即：(12)式中， x 為與觀測有關的數據； 為待估參數； d 為迭代逼近殘差；(13) 函數為選定的代價函數，滿足（ 14）以經典高斯濾波基準作為初始值， 對式 (11) 采用修正權函數法進行迭代運算， 逐步穩健地獲得濾波基準。具體迭代過程如下：(1)選取初始權函數，確定收斂精度 ；(2)令 k0，計算經典高斯濾波基準；(3) 計算迭代逼近殘差(15)式中 NIT 為迭代次數。(4)調整尺度參數，修正穩健估計權函數；(5) 將修正結果代入式 (11) ，計算穩健濾波基準；(6) 終止判斷。若滿足終止條件，則令（16）結束運算；否則，返回步驟(3) ，繼續迭代。4 實驗與總結 3 :5 結束語綜上所述，穩健高斯濾波可克服經典高斯濾波所需的兩個前提條件，對工程表面進行準確的濾波處理，最終得到理想的表面基準。參考文獻：1曾文涵，高詠生，謝鐵邦, 等 .三維表面粗糙度高斯濾波快速算法. 計量學報 ,2003, 24(1):10-13.2 劉蘭 . 抗差最小二