1、習 題3.11 在10件產品中有2件一等品，7件二等品和1件次品從這10件產品中任意抽取3件，用X表示其中的一等品數，Y表示其中的二等品數，求的分布列解 X的可能取值為0，1，2；Y的可能取值為0，1，2，3，因此的可能取值為，且有， ， 由此，的分布列可以由下表給出Y X 0 1 2 3012 0 0 21/120 35/120 0 14/120 42/120 0 1/120 7/120 0 04 設的密度函數為，求解 5 設的密度函數為，求：(1)常數A；(2)解 （1）由聯合密度函數的性質，有，得 （2）10 袋中有2只白球和3只黑球，從中連取兩次，每次取一只 定義下列隨機變量： 分別就

2、有放回抽取和無放回抽取兩種情形，求：(1) 的聯合分布列；(2)兩次摸到同樣顏色球的概率解 （1）有放回抽樣：由事件的獨立性條件得的聯合分布列為， ， 如下表X Y 0 1019/25 6/256/25 4/25兩次摸到同樣顏色球的概率為（2）無放回抽樣：由乘法定理得的聯合分布列為， ， X Y 0 1010.3 0.30.3 0.1如下表兩次摸到同樣顏色球的概率為習 題3.22 已知的聯合分布函數為，求：（1）邊緣分布函數；（2）聯合密度函數及邊緣密度函數；（3）判斷與的獨立性解 （1） 即有 ， （2）故 ， （3）由于 ，所以相互獨立3 一個盒子中有三只乒乓球，一只白色，兩只黃色，現從袋

3、中有放回的任取兩次，每次取一只，以X，Y分別表示第一次、第二次取到球的顏色求：（1）X和Y的聯合分布列；（2）X和Y的邊緣分布列；（3）判斷X和Y的獨立性解 定義下列隨機變量： （1）在有放回取球條件下， ， Y X.1 2 121/9 2/9 2/9 4/9 （2）邊緣分布列X 1 2 P 1/3 2/3 Y 1 2 P 1/3 2/3 （3）由于，所以相互獨立5 隨機變量在區域上服從均勻分布，求的聯合密度函數與邊緣密度函數，判斷隨機變量是否獨立解 區域的面積為，所以的聯合密度函數X和Y的邊緣密度函數故 ， 由于 ，所以獨立8 甲、乙兩人各自獨立進行兩次射擊，命中率分別為0.2，0.5，求甲

4、、乙命中次數X與Y的聯合概率分布解 依題意，據公式可算得X和Y的概率分布分別為，由X和Y的獨立性可得X和Y的聯合概率分布為 Y X.0 1 20120.16 0.32 0.160.08 0.16 0.080.01 0.02 0.01習 題3.31. （1）；（2）.5. 設隨機變量（X,Y）的密度函數為求（修改后的題）解 6. 設隨機變量X與Y獨立，它們的概率密度分別為 求（修改后的題）解 因為X與Y獨立，所以（X,Y）的密度函數為習 題3.42 設與的聯合密度為， 求及解 （1）設D為所圍區域，則（2）4 設且，求：（1）與的聯合概率分布；（2）解 （1） ，有四個可能取值：，且由題意，有，

5、與的聯合概率分布為X2 X1 0 101 0 （2）的概率分布為 故 5 設隨機變量X和Y的聯合分布在以點(0,1)、(1,0)、(1,1)為頂點的三角形區域D上服從均勻分布，求隨機變量的方差 解 方法1X和Y的聯合密度函數為 ，從而 同理，方法2，習 題3.52 在n次獨立試驗中，事件A在第i次試驗中發生的概率為，證明：事件A發生的頻率依概率收斂于A發生概率的平均值證明 設X表示在n次試驗中事件A發生的次數，若引入隨機變量，則且服從01分布，故由于 ，故 ，即方差有公共的上界. 因此由切比雪夫大數定律可知，對任意的，有，即 可見，事件A發生的頻率依概率收斂于A發生概率的平均值5 一生產線生產

6、的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設每箱平均重50千克，標準差為5千克，若用載重量為5噸的汽車承運，利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱才能保障不超載的概率大于0.977 解 設n為所求的箱數，且設為第i箱的重量 由題意，知且將視為獨立同分布的隨機變量又n箱的重量，易算得根據林德貝格萊維中心極限定理，近似服從正態分布依題意n需滿足，即有由此得，即 設，則有，解得（舍去負的下界）因此，即最多可以裝98箱可保證不超載的概率大于0.9776 已知相互獨立的隨機變量,都服從泊松分布，記，求 解 因為,獨立同分布，且根據林德貝格萊維中心極限定理，X近似服從正態分布7 某保險公司經多年的資料統計

7、表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%，在隨意抽查的100家索賠戶中被盜的索賠戶數為隨機變量（1）寫出的概率分布；（2）利用棣莫佛拉普拉斯定理，求被盜的索賠戶數不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值解 設抽查到被盜索賠戶，則 依題意，因此分布律為（2），根據棣莫佛拉普拉斯定理，8 在n次獨立重復試驗中, 成功率為0.75, 要使“試驗成功的頻率在0.740.76之間” 的概率不小于0.90，則至少要進行多少次試驗? 解 設表示n次重復獨立試驗的各次試驗中事件成功的次數，則 且在n次試驗中事件成功發生的頻率滿足利用棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，知，所以故要“試驗成功的頻率在0.740.76之間”

8、的概率不小于0.90， 即，只需，查表知，因此只需，或9 設某車間有150臺機床獨立工作， 已知每臺機床在運轉時耗電量都是5(千瓦)因檢修等原因，每臺機床平均只有60%的時間在運轉問配電室至少要供給這個車間多少電才能以99.9%的概率保證這個車間不致因供電不足而影響機床工作 解 設X表示150臺機床中同時運轉的機床臺數，則設配電室需供應k千瓦電，能以99.9%的概率保證車間正常工作由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，有解得 .故至少供應540.5千瓦電力才能以99.9%的概率保證車間正常工作10 某公司電話總機有200臺分機，每臺分機有6 %的時間用于外線通話，假定每臺分機用于外線是相互獨立的，問該總機至少應裝多少條外線，才能有95%的把握確保各分機需用外線時不必等候解 設X表示200分機同時使用外線的數目，則設總機至少應裝k條外線，才能有95%的把握確保各分機需用外線時不必等候由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，有 而，從而解得 .故至少應裝18條外線，才能有95%的把握確保各分機需用外線時不必等候11 某工廠生產的一批零件，合格率為95%，今從中抽取1 000件，求不合格的件數在40到60之間的概率解 設X表示1 000件零件中不合