1、一類含間隙機械振動系統的概周期運動與混沌摘 要：本文研究了一個有雙質量和間隙的振動系統。對該系統的動力學研究主要圍繞 非共振和弱共振情況中周期運動的Hopf分岔。 建立了該振動系統的Poincare 映射。用分析法研究了一個有沖擊周期運動的穩定性。確定了霍普夫分岔數值 及一個有沖擊的周期運動的沖擊條件。運用中心流形定理，得到Poincare映射的 余維二維二分岔，用常規模式理論進行了常規區分。通過霍普夫分岔在定 點的理論，分析了沖擊振動的局部動態特性。用各種數值方法驗證了理論分析。 通過數值模擬獲得了影響混沌周期運動的研究道路。關鍵詞：振動沖擊；間隙；Hopf分岔；概周期運動；混沌1.簡介任何

2、時候當一個振動系統的成分與不平障礙物相撞或互相撞擊的時候，就會產生沖擊震蕩。這種沖擊系統存在于很多工程應用中，尤其是機械制造和含有間隙的機器中。這些沖擊產生非線性或非持續性，使得沖擊系統可以表現出豐富且復雜的動態行為。近年來，機械系統的沖擊動力學成為許多學者研究的課題，同時他們提出了很多新的理論問題。 Natsiavas1分析了自主存在與和諧刺激下的二自由度分段線性系統，獲得了概周期運動，并通過數據方法獲得了沖擊混沌的研究道路。Chatterjee和Mallik2研究了單自由度自主存在有減震器的振蕩器的概周期沖擊振動。Budd3研究了一個與單邊控制的的單自由度沖擊振動系統，證明如果恢復系數少于

3、1，概周期運動不能在系統中發生。謝建華4研究了單自由度系統與單邊振幅限制的余維二分岔并發現了Hopf二周期沖擊軌道。羅冠偉和謝建華5,6考慮了無阻尼的二自由度碰撞振動系統，在無共振、弱共振和強共振情況中研究了單沖擊周期運動的概周期運動。本文主要研究了存在兩個質量塊和一個間隙的沖擊振動系統。主要是專門研究無共振和弱共振情況中碰撞振動系統周期運動Hopf。首先，選擇了有一個間隙的沖擊振動系統的Poincare映射來建立Poincare截面，然后分析和研究了這個沖擊振動系統的周期運動。運用中心流形定理，使得Poincare映射降到二維空間。通過霍普夫分岔在定點的理論，分析了沖擊振動的局部動態特性。用

4、各種數值方法驗證了理論分析。通過數值模擬獲得了影響混沌周期運動的研究道路。2. 含單沖擊周期n運動系統圖1是一個雙質體沖擊振動系統與固定約束發生碰撞的力學模型。質量為的質量塊的位移分別由表示。質量塊分別由剛度為的線性彈簧和阻尼系數為的線性阻尼器連接于支撐。 圖1雙質體沖擊振動成型機的力學模型兩個質量塊作垂直方向的運動,分別受到簡諧激振力和。兩個質量塊上受到的激振頻率和相位角相同。當質塊的位移與質塊的位移之差等于間隙時， 與發生碰撞振動。即。假設力學模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼。該碰撞過程由碰撞振動定律、動量守恒定律和碰撞恢復系數確定，并認為碰撞的持續時間與周期碰撞過程中的力比起來可

5、以忽略。考慮兩質量塊的沖擊運動是連續的。在連續沖擊過程中，把前一個沖擊結束時的時間設為0，初相位角僅用來在計算中作為一種開始的時間選擇為。該沖擊振動的系統在沖擊后立即為后面沖擊運動過程的提供參數條件。在連續沖擊過程中，始終滿足。任意相鄰兩次碰撞之間，沖擊振動系統運動微分方程的無量綱形式為： （1）在方程（1）中，“”表示對無量綱時間求導數，其中無量綱量為 (2)當發生沖擊振動時，即。質量塊的速率由碰撞振動定律、動量守恒定律和碰撞恢復系數的定義，兩質量塊的沖擊方程及沖擊恢復系數為： 由于剛度和阻尼之間的特殊關系，可對方程（1）進行分析處理。令表示方程（1）的正則模態矩陣。表示無碰撞情況下系統的固

6、有頻率。取坐標變換，將方程（1）解耦為： 式中，；是一個階單位矩陣；是一個階對角矩陣通過模態疊加法可確定方程（1）的解。設方程（1）的通解有如下形式：式中，是正則模態矩陣的元素；是積分常數；由系統的初始條件和模態參數確定。為振幅常數 令，通常有兩種方法選擇Poincare截面：，其中， 。因為沖擊振動系統存在由“擦邊運動”造成的映射奇異性，選擇作為Poincare截面不易觀察沖擊系統的“擦邊運動”，所以選擇截面建立Poincare映射 （10）其中，,是一個實分岔參數，；，是Poincare截面上的不動點；和是不動點的擾動量。在適當的系統參數條件下，圖1中所示振動沖擊系統的運動能夠呈現為周期性

7、。兩質塊在碰撞后瞬時，設無量綱時間為，那么下一次兩質塊相互碰撞前瞬時，無量綱時間恰好為。將坐標的原點平移至某碰撞點，可以由沖擊運動的周期性條件其中，是兩質塊碰撞前的瞬時速度。將周期沖擊條件式（11）代入方程（1）的通解。可以從方程（6）和（7）解出積分常數。為敘述方便，首先給出符號其中，如果間隙，令 則否則 式中 積分常數表達式如下： 在公式（14）中，“” 意思是沖擊振動系統在相同的系統參數情況下可能存在兩個不同的周期運動。此時單周期n運動存在必須滿足以下條件否則，單周期n運動不存在。將式（14）（17）代入方程（1）的通解中，可以得到時雙質體沖擊振動成型機的周期運動的精確解及其在Poinc

8、are截面上相應的不動點。本文研究中，我們引用符號 來表明沖擊系統的周期性運動的特點， 是沖擊次數，是被迫循環次數。3. Poincare映射、穩定性與局部分岔我們考慮周期運動的受擾運動。為了分析方便，坐標原點平移至某次沖擊點。此時，分別代表受擾運動的位移和速率。 在兩個質塊連續的沖擊中，滿足，受擾運動可以寫成式中 對于受擾運動，在質塊與質塊碰撞后瞬時，設無量綱時間為0，則下一次兩質塊碰撞前瞬時，無量綱時間為，。令，連續兩次碰撞的初始條件與終值條件為 式中，分別表示兩質塊碰撞前后的瞬時時間。將式（21）中初始條件（）代入到擾動解式（17），可以解出式中，。將式(21)中的終值條件（）代入到式(

9、17)得出定義函數為 由存在固定點的條件為 假設，根據隱函數定理，由方程式(29)可以解得 將解式(30)代入(27)，可確定Poincare映射用 表示中起點的鄰點，則Poincare映射(31)可以簡要表示為 式中， 將展成的級數 將式(34)代入到映射(33)得出 式中， 分別表示為關于的二次、三次項的全體。映射在不動點處的線性化矩陣為 圖1振動沖擊系統具有穩定的運動。 振動沖擊周期運動的穩定性通過計算的特征值來決定。如果所有的特征值都在單位周期內，則相應的 運動及Poincare映射固定點是穩定的，否則是不穩定的。如果當時，有最大模態的特征值在循環周期上，那么就有可能發生分岔。 一般情

10、況下，分岔根據單位周期的特征值的數量以各種方式發生，導致系統動力的數據變化。如果有一對復雜的結合特征值，當穿越時，有一對復共軛特征值相應穿越單位圓周，其余特征值仍在單位圓內，在這種情況下，周期運動將可能發生Hopf 分岔。若穿越時，有一實特征值將從點處穿越單位圓周，其余特征值仍在單位圓周內，這種情況下，周期運動將可能發生周期倍化分岔或鞍結分岔。4. 含單沖擊周期n運動系統Hopf分岔下面我們繼續考慮碰撞振動系統周期運動的Poincare映射，式中，,是一個分岔參數。 因此是該映射的一個固定不動點，在臨界值處，滿足下列假設： 有一對共軛特征值，滿足，其余特征值也在這個單位周期內。 用表示與特征值

11、對應的特征向量，如果是一對復共軛特征向量，則令特征矩陣為，否則，令。在的某個領域內，令，映射（32）經過坐標變換，變換成 式中，。對于映射（37），存在一個中心流形9，在此中心流形上，映射（37）能夠被降階成一個二維映射，這個二維映射可表示為 式中在文獻5中有詳細解釋。因為在中心流形上映射在分岔點的某個鄰域內的局部動力特性與二維映射在的某個鄰域內的局部動力特性是等價的，所以由二維映射和下述引理，可以分析當分岔參數穿越臨界值時映射Hopf分岔的存在及特性。引理10,11：令在是一個單周期的微分同胚映射，同時滿足以下假設條件： 對所有成立； 有一對共軛特征值，滿足； ； 在假設條件下，存在與相關的

12、坐標變換，使成為范式 在極坐標下 如果，則對，存在一個穩定的不變圈；如果，則對，存在一個不穩定的不變圈。假設為 式中，如果碰撞振動系統周期運動的映射滿足假設條件-，容易證明映射（38）滿足條件-。如果能夠選擇一組系統參數使Poincare映射（38）滿足假設條件-，則通過計算可以判斷映射（38）不變圈存在，根據的“”符號可以判斷其穩定性。因為在中心流上，映射（38）能夠被降階成為一個二維的映射。如果當映射（38）有一個吸引（）或排斥（）的不變圈，圖1碰撞振動系統的周期碰撞運動相應發生超臨界或亞臨界的Hopf分岔。其間隙為 。選取圖1沖擊振動落砂機的一組系統參數：。取激振頻率為分岔參數，令，計算

13、在區間內的特征值。當，的兩對復共軛特征值都位于復平面的單位圓周上，其余特征值仍在單位圓內,且，當時有一對復復共軛特征值在單位周周上，由于穿越到，故其余特征值仍在單位圓內。是一個Hopf分岔值，此處二維映射（38）滿足條件-。通過公式（43），我們得到 從上面得到的結果，我們可以得出在選定的系統參數下，這一映射（38）有一個有吸引（）的不變圈。這就是說一個超臨界Hopf分岔發生在有間隙和相同系統參數的沖擊振動系統上。該結論由下面的數值模仿結果證實。 （a） 質量塊的相平面圖 (b)質量塊的穩態相應圖 圖2為質塊當，周期時的碰撞振動過程數值計算圖1單周期n運動碰撞振動系統的動態響應。取Poinca

14、re截面為，激振頻率為控制參數，選擇此碰撞振動系統相應控制參數的解析不動點作為初始映射點。系統的Poincare截面是四維的。Poincare截面在等平面的投影稱為投影Poincare截面。不動點在相應控制參數下，發生在初始值的單周期n運動可以從第二節中獲得。這可以被當做數據分析中的起始點。數據分析結果表明沖擊振動系統可表現穩定周期的q=1/2沖擊運動的數值計算結果見圖2。當穿越后，碰撞振動系統的周期運動失穩，分岔成概周期運動，見圖3。隨著振動頻率增加，環面逐漸擴張。該周期由于“磕碰振動”失去穩定性。磕碰導致碰撞振動系統的相位角發生突變，環面破裂，概周期運動經磕碰嵌入餛飩，見圖4。 圖3.單周

15、n運動碰撞振動系統的周期的Poincare映射： 圖4.混沌運動的Poincare映射：選取系統參數：和，令，計算在區間內在不動點處的特征值。所有的特征值都在單位圓內，此時系統表現出穩定的周期為沖擊運動，見圖5.。當遞增穿越時，相應穿越單位圓周，其余特征值仍在單位圓內。Hopf分岔值，且有 從此結果，我們可以得出，在選定的系統參數下，該映射（38）有 一個吸引（）的不變圈。這就是說一個超臨界Hopf分岔發生在有間隙和相同系統參數的沖擊振動系統上。當時，系統的不動點穩定，存在一個周期性不變圈。當時，系統的不動點失去穩定，該系統直接表現出混沌狀態，見圖6。 （a）質量塊的相平面圖 (b)質量塊的穩

16、態相應圖 圖5為質塊當，周期時的碰撞振動過程 圖6混沌狀態Poincare映射：5.結論本文研究了一類存在間隙的雙質體振動系統的周期運動在非共振和弱共振情況中周期運動的Hopf分岔，建立了并確定了該振動系統的Poincare映射。用分析法調查了有一個沖擊的周期運動的穩定性。確定了Hopf分岔數值及有一個沖擊的周期運動的沖擊條件與橫截條件。運用中心流形定理，得到Poincare映射的余維二維二分岔，用常規模式理論進行了常規區分。通過霍普夫分岔在定點的理論，分析了沖擊振動的局部動態特性。分析了沖擊振動系統的Hopf分岔的存在和穩定性。這些機器和設備包括振動錘，緩沖器，壓縮機器，打磨燒結工具，齒輪，

17、振動器，高速鐵路客車輪軌相互作用。6. 參考文獻1 Natsiavas S. Dynamics of Multiple-Degree-of-Freedom Oscillatiors with ComponentsJ. Journal of Sound and Vibration,1993,165(3):439-453.2 Chatterjee S, Mallik A K. Bifurcations and Chaos in Autonomous Self-Excited Oscillators with Impact DampingJ.Journal of Sound and Vibratio

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19、程學報，1999, 12(3): 360-366.6 Luo Guanwei, Xie Jianhua, Sun Xunfang. Quasi-Periodic and Chaotic Behaviour of a Two-Dergree-of-Freedom Impact in a Strong Resonance caseJ.Acta Mechanica Solida Sinica,1999,12(3): 279-283.7 Ivanov A P.Stabilization of an Impact Oscillator near Grazing Incidence Owing to Reson