1、伊犁師范學院碩士研究生 期末考核 科目：電磁波有限時域差分方法 姓名：姚偉 學號：1076411203009 學院：電子與信息工程學院 專業：無線電物理 時域有限差分法 1 選題背景在多種可用的數值方法中，時域有限差分法(FDTD)是一種新近發展起來的可選方法。1966年，K.S.Yee首次提出電磁場數值計算的新方法時域有限差分法(Finite Difference- Time Domain，簡稱FDTD)。經歷了二十年的發展FDTD法才逐漸走向成熟。上世紀80年代后期以來FDTD法進入了一個新的發展階段，即由成熟轉為被廣泛接受和應用的階段。FDTD法是解決復雜問題的有效方法之一，是一種直接基

2、于時域電磁場微分方程的數值算法，它直接在時域將Maxwell旋度方程用二階精度的中心差分近似，從而將時域微分方程的求解轉換為差分方程的迭代求解。是電磁場和電磁波運動規律和運動過程的計算機模擬。原則上可以求解任意形式的電磁場和電磁波的技術和工程問題，并且對計算機內存容量要求較低、計算速度較快、尤其適用于并行算法。現在FDTD法己被廣泛應用于天線的分析與設計、目標電磁散射、電磁兼容、微波電路和光路時域分析、生物電磁劑量學、瞬態電磁場研究等多個領域1。2 原理分析2.1 FDTD的Yee元胞E,H場分量取樣節點在空間和時間上采取交替排布，利用電生磁，磁生電的原理 圖1 Yee模型如圖1所示，Yee單

3、元有以下特點2：1）E與H分量在空間交叉放置，相互垂直；每一坐標平面上的E分量四周由H分量環繞，H分量的四周由E分量環繞；場分量均與坐標軸方向一致。2）每一個Yee元胞有8個節點，12條棱邊，6個面。棱邊上電場分量近似相等，用棱邊的中心節點表示，平面上的磁場分量近似相等，用面的中心節點表示。3）每一場分量自身相距一個空間步長，E和H相距半個空間步長4）每一場分量自身相距一個時間步長，E和H相距半個時間步長，電場取n時刻的值，磁場取n+0.5時刻的值；即：電場n時刻的值由n-1時刻的值得到，磁場n+0.5時刻的值由n-0.5時刻的值得到；電場n時刻的旋度對應n+0.5時刻的磁場值，磁場n+0.5

4、時刻的旋度對應(n+0.5)+0.5時刻的電場值，逐步外推。5）3個空間方向上的時間步長相等， 以保證均勻介質中場量的空間變量與時間變量完全對稱。應用這種離散方式，將含時間變量的Maxwell方程轉化為一組差分方程，并在時間軸上逐步推進地求解空間電磁場。由電磁問題的初值和邊界條件，就可以逐步推進地求解以后各時刻空間電磁場分布。2.2 Maxwell方程FDTD的差分格式麥克斯韋第一、二方程 （1）式中，時電流密度，反映電損耗，是磁流密度，單位，反映磁損耗。主要與上式對應。各向同性介質中的本構關系： （2）其中是磁阻率，計算磁損耗的。以為變量，在直角坐標中，展開麥克斯韋第一、二方程，分別為 （3

5、） （4）令代表在直角坐標中的任何一個分量，離散符號取為 （5）關于時間和空間的一階偏導數取中心差分近似為 （6）可以看出，每一節點上沿某一方向場分量的一階偏微分可以用在該方向上相鄰兩點的一階中心差商來描述，將式(1)用一階中心差商方程取代，整理后便得到一階差分方程，它具有二階精度3。 Yee元胞如圖1所示，規定為 1）剖分節點與場分量所在棱邊中點不同，場分量的位置，即節點是Yee元胞節點的相對位置，不需要單獨編碼；2）當空間存在媒質分界面時，場量自動滿足場的連續性條件，電磁分量的取樣方式不僅符合法拉第電磁感應定律和安培環路定律的自然結構，也符合麥克斯韋方程的差分計算。其次，時間步長可以取為電

6、磁波傳播一個空間步長所需時間的一半，因此與在時間順序上交替抽樣，時間間隔相差半個時間步長。2.3 一維問題 均勻平面波（TEM波）是一維問題，設電磁波沿z軸方向傳播，則，場量和介質參數均與x，y無關，即，麥克斯韋方程為 （7）和 （8）旋轉坐標軸后可以只保留一組公式4，設保留（7）Yee元胞如圖2所示 圖2 一維Yee元胞差分格式為 （9） （10） 如果介質無損耗，則2.4 二維問題三維通常是散射問題，二維是TE、TM波問題，一維是TEM波問題。在二維場中，所有物理量與Z坐標無關，既。于是在TE和TM波的表達式分別為TE波（） （11）TM波（） （12）圖3分別給出了TM波和TE波的Yee

7、元胞圖 圖3 TM波的Yee元胞 圖4 TE波的Yee元胞對于TE波，只要令，在上，不隨z變化，m中去掉k即可得到：式中： （13）式中： （14）式中， （15） 對TM波，只要令，在上，不隨z變化，m中去掉k，即可得到：式中， （16）式中， （17）式中： （18） 為了編寫統一的TE和TM 波二維FDTD程序，可將描述TE波差分公式(13)(15)中相應的標號整體移動1/2，即坐標（x,y）分別沿x和y軸方向移動半個網格，并將離散時間也移動半個時間步長，式(13)(15)可以重新寫為 式中： （19）式中： （20）式中， （21）可以看出，TE波的FDTD公式(19)(21)與TM波

8、的FDTD公式(16)(18)形式相同，給編程帶來極大方便。注意TE波和TM波之間的對偶關系5，即這樣就可以編寫統一的計算程序了。2.5 三維問題（直角坐標系）2.5.1電場時間推進差分格式節點的3個電場分量分別用、位置上的表示，以式（3）中第一個公式為例： 在時間步，對節點的離散公式為：上式中的第二項用平均值來替代是因為離散方程中電場的時間取樣是整數n，磁場的時間取樣是n+1/2，所以只能取n及n+1時電場的平均值。實際也證明這個平均值使FDTD算法具有數值穩定性。整理后，將作為未知數，其余作為迭代計算的已知數 （22） 同理，式（3）中其它兩個公式的離散形式為 （23） （24）以上三式是

9、電場的時間推進計算公式。2.5.2磁場時間推進差分格式節點的3個磁場分量分別用、位置上的表示，同樣，討論式（4）中第一個公式，設觀察點為的節點，即在時刻，對節點的離散公式為： （25） 同理，式（4）中其它兩個公式的離散形式為 （26） （27）以上三式是磁場的時間推進計算公式。 時域推進計算框圖（交叉半步逐步推進）若已知時空間各節點處的電場值（賦初值）計算時空間各節點處的磁場值，式（25）（27）計算時空間各節點處的電場值，式（22）（24）在編程中，為了使電場和磁場有相同的數量級（為減小誤差），可對H或E進行“歸一化”處理，即：用取代，用取代，式中是自由空間波阻抗。計算結果再分別除以和乘以

10、即可。可以看出，這種離散方法電場和磁場在時間順序上交替抽樣，抽樣間隔相差半個時間步長，使麥克斯韋方程離散后成為顯示差分方程，從而可以在時間上迭代求解，不需矩陣求逆。給定初值后，可以逐步推進，求得以后各個時刻點的空間電磁分布。這是FDTD法的最大特點。2.6 解的穩定性在FDTD中，時間增量和空間增量、之間不是相互獨立的，它們的取值必須滿足一定的關系，以避免數值結果的不穩定，表現為隨著時間步數的增加，計算結果發散。造成解不穩定的因素有多種： 誤差因素：計算機在計算過程中，原始數據可能有誤差，如系數陣建立過程中產生的誤差，而每次運算由于只能保留有限位數而又產生誤差，誤差的積累有可能淹沒真正解，使計

11、算結果不可靠，即不穩定； 計算方法不合適； 、離散間隔不當等。為了確定數值解穩定的條件，有許多推導方式，結論相同6。2.6.1時間步長穩定性要求一般情況下 （28）2.6.2時間步長與空間步長的關系三維 （29）在非均勻區域，v取最大值。真空中v=c(光速)。若是正方體Yee元胞， 那么 （30） 若是正方形Yee元胞（二維），那么 （31） 若是線段等分Yee元胞（一維）， 那么 （32） 2.7 數值色散當波傳播的速度是頻率的函數，即速度與頻率有關時，稱其波為色散波。色散的原因有多種：由于媒質是金屬或各向異性等；由于載波體形狀（也稱幾何色散）；由于數值計算方法等（也稱數值色散）原因。用差分法計算時，會在計算網格中引起模擬波模的色散，即在時域有限差分網格中，數值波模的傳