1、第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt第一節第一節 污染物擴散規律污染物擴散規律第二節第二節 水質數學模型水質數學模型第三節第三節 水質預測水質預測第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt alpha alpha lfalfa阿拉法阿拉法 beta beta bi:tbi:t / / beitbeit 北塔北塔 gamma gamma g gm m 咖嗎咖嗎 delta delta deltdelt 德兒塔德兒塔 epsilon epepsilon epsailsailnn易普塞龍易普塞龍 zeta zeta zi:tzi:t 賊塔賊塔 eta eta i:ti:t / / eiteit 姨

2、塔姨塔 theta theta itit 習塔習塔 iota aiiota aioutout 哎歐塔哎歐塔 kappa kappa k kp p 卡怕卡怕 lamda lamda l lmdmd 蘭姆達蘭姆達 第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt mu mju:mu mju:繆繆nu nju:nu nju:拗拗xi ksai / gzai / zaixi ksai / gzai / zai克曬克曬 omicron ouomicron oumaikrmaikrnn歐麥克輪歐麥克輪 pi paipi pai派派rho rourho rou柔柔sigma sigma sigmsigm 西格瑪西格

3、瑪 tau tautau tau套套upsilon upsilon ju:psilonju:psilon優普西龍優普西龍 phi fai phi fai 費費chi kaichi kai開開psi psi:psi psi:普賽普賽 omega omega oumigoumig / ou / oumi:gmi:g 歐米嘎歐米嘎第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt第一節 污染物擴散規律 靜水環境中的分子擴散規律 動態水環境中的移流擴散規律 擴散方程的解析第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt靜止的水體中存在分子的不規則運靜止的水體中存在分子的不規則運動，從而使在水中的微粒也作不規動，從而使在

4、水中的微粒也作不規則的運動，這個現象早已在則的運動，這個現象早已在18261826年年為布朗的著名實驗證實。為布朗的著名實驗證實。除了在靜水中，分子擴散是使污染物質發生擴散的唯一除了在靜水中，分子擴散是使污染物質發生擴散的唯一原因外，它還存在于一切流動的水體中。原因外，它還存在于一切流動的水體中。一、靜水環境中的分子擴散規律費克（費克（FickFick）擴散（分子擴散）：）擴散（分子擴散）： 由于水的分子運動而使水中的污染物質發生擴散由于水的分子運動而使水中的污染物質發生擴散第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt費克第一定律：費克第一定律： 18551855年德國生理學家費克（年德國生理學家

5、費克（FickFick）提出）提出靜水中的污染物由于分子擴散作用，在單位時間內按一靜水中的污染物由于分子擴散作用，在單位時間內按一定方向通過一定面積的污染物質量與該方向的濃度梯度定方向通過一定面積的污染物質量與該方向的濃度梯度成正比。成正比。式中：式中：q q是單位時間通過單位面積的污染物質量，也稱為質量通量；是單位時間通過單位面積的污染物質量，也稱為質量通量； c c溶質濃度（單位體積流體中的溶質質量溶質濃度（單位體積流體中的溶質質量 D D是比例系數，稱為分子擴散系數，量綱為是比例系數，稱為分子擴散系數，量綱為L2T-1L2T-1 一般約為一般約為10-610-610-510-5cm2cm

6、2s-1s-1 xxcq xcDq 用等號一維費克擴散示意圖對一維擴散，費克定律可表示為對一維擴散，費克定律可表示為：第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt費克第二定律費克第二定律一維一維設設c(x,t)是時刻是時刻t位于位于x點上單點上單位體積的質量。在該體積內位體積的質量。在該體積內保守的污染物質量對時間的保守的污染物質量對時間的變化率為：變化率為：xttxc),( xxtxqtxq ),(),(設在設在x x處的通量為處的通量為q(x,t)q(x,t)，則在，則在(x+(x+x)x)處的通量為處的通量為: :一維輸移的控制體：兩個具有單位面積一維輸移的控制體：兩個具有單位面積的平行面與

7、的平行面與x軸垂直軸垂直第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt 根據質量守恒定律有：單位時間流入的污染物質量-流出的污染物質=污染物質量對時間的變化率相等，即:xttxcxxtxqtxqtxq ),(),(),(),(Fick定律：xcDq 二階線性拋物型偏微分方程0 tcxq22xcDtc 第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt費克第二定律費克第二定律 式中：式中： 溶質濃度隨時間的變化率。溶質濃度隨時間的變化率。 tc0zqyqxqtczyxxqxqxq為溶質在為溶質在x,y,z方向上的通量方向上的通量三維分子擴散方程三維分子擴散方程222222zcDycDxcDtczyx式中：Dx，

8、Dy，Dz沿x，y，z方向的分子擴散系數第四章第四章 水質模型水質模型整理pptDx=Dy=Dz時，即在各項同性情況下，三維分子擴散方程時，即在各項同性情況下，三維分子擴散方程222222zcycxcDtcm第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt某些物質在水中的分子擴散系數（某些物質在水中的分子擴散系數（ cm2cm2s-1s-1，水溫為，水溫為2020）物物 質質擴散系數擴散系數D D物物 質質擴散系數擴散系數D D氧氧1.801.801010-5-5醋酸醋酸0.880.881010-5-5二氧化碳二氧化碳1.501.501010-5-5甲醇甲醇1.281.281010-5-5一氧化氮一氧

9、化氮1.511.511010-5-5乙醇乙醇1.001.001010-5-5氨氨1.761.761010-5-5酚酚0.840.841010-5-5氯氯1.221.221010-5-5甘汕甘汕0.720.721010-5-5氫氫5.135.131010-5-5尿素尿素1.061.061010-5-5氮氮1.641.641010-5-5葡萄糖葡萄糖0.600.601010-5-5氯化氫氯化氫2.642.641010-5-5蔗糖蔗糖0.450.451010-5-5硫化氫硫化氫1.801.801010-5-5食鹽食鹽1.351.351010-5-5硫酸硫酸1.731.731010-5-5氫氧化鈉氫氧

10、化鈉1.511.511010-5-5D D值由實驗確定，值由實驗確定，D D值大，擴散快；反之，擴散慢。值大，擴散快；反之，擴散慢。第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt污染物的濃度變化主要是由紊動擴散和隨流輸移引起的初始稀釋階段主要發生在污染源附近區域，沿水深的垂向濃度逐漸均勻化一維縱向離散階段橫斷面濃度均勻混合以后的下游均勻移流擴散階段污染擴散階段污染物在過水斷面上，由于存在濃度梯度，污染由垂向均勻化向過水斷面均勻化發展二、動水環境中的移流擴散規律第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt移流擴散移流擴散：由于時均流速使污染物質發生輸移的現象：由于時均流速使污染物質發生輸移的現象紊動擴散紊

11、動擴散：由于脈動流速使污染物質發生輸移：由于脈動流速使污染物質發生輸移對層流對層流: : u、 v、w為零為零x，uy，vz，w設流體質點具有瞬時流速矢量設流體質點具有瞬時流速矢量 在在x、y、z直角坐標上的分量分別為直角坐標上的分量分別為u、v、w： v圖圖 直角坐標系下的瞬時流速分量直角坐標系下的瞬時流速分量一、移流擴散方程一、移流擴散方程wwwvvvuuu第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt1.1.一維隨流擴散方程一維隨流擴散方程 設設v=w=0v=w=0，只有，只有u u分量（沿分量（沿x x軸）軸） lFickFick定律：定律：xcDqf l污染物隨流輸移的通量：污染物隨流輸移

12、的通量：ucqs l在隨流作用和分子擴散作用下，單位時間內通過直角坐標在隨流作用和分子擴散作用下，單位時間內通過直角坐標系系yzyz平面上單位面積的示蹤物質質量：平面上單位面積的示蹤物質質量： xcDucq xqfqs圖圖 隨流和分子擴散示意圖隨流和分子擴散示意圖第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt質量守恒式：質量守恒式： 22)(xcDucxtc 22xcDxcutc 根據不可壓縮流體的一維連續性方程根據不可壓縮流體的一維連續性方程有有：0 xu一維隨流擴散方程一維隨流擴散方程0 tcxq為了求得在一定的初始條件和邊界條件下該方程的解析解為了求得在一定的初始條件和邊界條件下該方程的解析解

13、, ,一般都補充假定一般都補充假定 u u/ / t t =0=0，亦即認為，亦即認為u u也不隨也不隨t t 而變。而變。一維輸移的控制體示意一維輸移的控制體示意xcDucq 對對隨隨流流，式式中中：第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt222222)(zcEycExcEzcuycuxcutczyxzyx對三維情形，用直角坐標表示隨流擴散方程與分子擴散方程不同點是多了一些隨流項，共同點是兩者都是質量守恒定律在擴散問題中的體現。zcuycuxcuzyx隨流輸移項，表示在三維水環境中污染物濃度的隨流輸移項，表示在三維水環境中污染物濃度的隨流輸移量隨流輸移量222222zcEycExcEzyx紊

14、動擴散項，表示在三維水環境中污染物濃度的紊動擴散項，表示在三維水環境中污染物濃度的紊動擴散量紊動擴散量第四章第四章 水質模型水質模型整理pptl脈動性：各種流動參量如流速、壓力等的值呈現強烈的脈動現象，脈動性：各種流動參量如流速、壓力等的值呈現強烈的脈動現象，具有一定的隨機性具有一定的隨機性l不規則性：流體質點做極不規則的運動不規則性：流體質點做極不規則的運動l擴散性：流體的各項特性如動量、能量、溫度和含有物質的濃度等擴散性：流體的各項特性如動量、能量、溫度和含有物質的濃度等通過紊動向各方向傳遞通過紊動向各方向傳遞l三維有渦性：紊流是有渦運動，而且總具有三維的特性三維有渦性：紊流是有渦運動，而

15、且總具有三維的特性l大雷諾數：流體的雷諾數超過某個臨界值后，流動不穩定，擾動才大雷諾數：流體的雷諾數超過某個臨界值后，流動不穩定，擾動才能發展形成紊流。能發展形成紊流。二、紊動擴散方程二、紊動擴散方程紊流的特性第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt 由于紊流脈動流速的作用使污染物質發生輸移的現象稱由于紊流脈動流速的作用使污染物質發生輸移的現象稱為紊動擴散。為紊動擴散。在紊動擴散問題上的距離方差是否也具有與歷時成正比的同樣規律呢？分子擴散系數D是反映由于液體分子運動使污染物質點發生位移時用于表達通量與濃度梯度成比例的一個系數（費克定律），那么，由于紊動而使示蹤質點發生輸移時，是否還要使用類似的

16、系數呢？ 由于液體分子運動的作用使污染物質點發生隨機運動時的距離方差與擴散歷時成正比：sx2 =2Dt 。紊流的脈動流速是隨機性，因而使污染物質質點的位移也是隨機性的，它們的隨機性與液體分子運動的隨機性是否相類似？第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt( 1 )( 2 ) 對紊流講，點瞬時速度i可表為點時均速度 與點脈動速度ui之和，即iuiiiu uu uu u ccc 在紊流中，由于流體的紊動使污染物質的點瞬時濃度 c 也具有隨機性質。因此，可以假設點瞬時濃度 c 是時均濃度 和脈動濃度c 之和，即：c第四章第四章 水質模型水質模型整理pptiiiiixxccDxcctcc )()()(

17、)(2u uu uiiiiiiiixcxcxcxc )()(u uu uu uu u ( 4 )因為脈動流連續方程為 ，便有: 0 iixu uiiiixxcDxctc u u 2 三維隨流擴散方程是研究隨流紊動擴散的基礎，將三維隨流擴散方程簡寫為：( 3 )第四章第四章 水質模型水質模型整理pptiiiiiixcxxcDxctc )(2u uu u)()(22iiiiiiiiiiiixxcxxcDxcxcxcxctctc u uu uu uu u將上式代入(4)，有：( 3-5-5 )運用雷諾運算法則，并注意到 ，便得: 0 u u c三維隨流紊動擴散方程的初形第五節 隨流紊動擴散方程第四章

18、第四章 水質模型水質模型整理ppt將上式改用直角坐標表示為： 222222zcEycExcEzcycxcutzyx u uu u式中： 分別是點時均流速在x、y和z方向上的分量。 u u、u紊動擴散222222zcEycExcEtzyxu第四章第四章 水質模型水質模型整理pptiiiixxcExct 2u uu u)(222222zcycxcEzcycxcutuu以上結果均是針對示蹤物質而得到的隨流紊動擴散方程為:第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt三、擴散方程的解析l擴散方程的定解條件（初始條件、邊界條件）擴散方程的定解條件（初始條件、邊界條件）l解的形式：解析解、數值解解的形式：解析解

19、、數值解l污染源（按空間）：點源、線源、面源、有限分布源污染源（按空間）：點源、線源、面源、有限分布源 不存在絕對的點源、無限長線源、無限大面源不存在絕對的點源、無限長線源、無限大面源l污染源（按時間）：瞬時源、時間連續源（事故排放、污染源（按時間）：瞬時源、時間連續源（事故排放、正常排放）正常排放）l瞬時源是一種近似，連續源又分為恒定和非恒定源瞬時源是一種近似，連續源又分為恒定和非恒定源l污染物擴散：一維、二維、三維擴散方程污染物擴散：一維、二維、三維擴散方程第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt22xcDtcm一維分子擴散方程：一維分子擴散方程：1.1.一維瞬時點源投放一維瞬時點源投放（

20、一） 靜態水環境中瞬時源和連續擴散問題的解析瞬時源瞬時源：是指在某時刻，在極短時間內將污染物投放到水環境當中，如海洋：是指在某時刻，在極短時間內將污染物投放到水環境當中，如海洋中突然發生的郵輪事故。中突然發生的郵輪事故。假設在一維水環境里，瞬間（假設在一維水環境里，瞬間（t=0）于某處投放的污染物向水域兩側擴散，）于某處投放的污染物向水域兩側擴散，形成濃度場；取污染投放處為計算的坐標原點形成濃度場；取污染投放處為計算的坐標原點第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt（2 2）邊界條件：）邊界條件： c(c(,t)=0, ,t)=0, c(c(,t)/,t)/ x=0 x=0物理含義物理含義：當

21、：當t=0t=0時，在通過時，在通過x=0 x=0處且與處且與x x軸垂直的平面上，軸垂直的平面上，單位面積的污染物質量為單位面積的污染物質量為m,m,它位于它位于x=0 x=0處以無限處以無限大的濃度強度濃縮在無限小的空間中。大的濃度強度濃縮在無限小的空間中。 c(x,0)=mc(x,0)=m (x)(x) 000)( xxx狄拉克（狄拉克（DeltaDelta） 函數函數 （1 1）初始條件：）初始條件：物理意義物理意義：在無窮遠處，在有限時間內，不會受到污染物：在無窮遠處，在有限時間內，不會受到污染物的影響的影響第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt（3 3）解析方法：如拉普拉斯變換、

22、分離變量法和量綱分析法）解析方法：如拉普拉斯變換、分離變量法和量綱分析法量綱分析量綱分析，物理方程中各項物理量的量綱之間存在的規律：，物理方程中各項物理量的量綱之間存在的規律：l量綱和諧性，物理方程中各項的量綱應當相同；量綱和諧性，物理方程中各項的量綱應當相同；l任一有量綱的物理方程可以改寫為無量綱項組成的方程而任一有量綱的物理方程可以改寫為無量綱項組成的方程而不會改變物理過程的規律性；不會改變物理過程的規律性；l物理方程中各物理量之間的規律性以及相應各量綱之間的物理方程中各物理量之間的規律性以及相應各量綱之間的規律性，不會因所選的基本量綱不同而發生改變。規律性，不會因所選的基本量綱不同而發生

23、改變。定律（布金漢定律定律（布金漢定律）：任何一個物理過程，包含有）：任何一個物理過程，包含有k+1k+1個有個有量綱的物理量，如果選擇其中量綱的物理量，如果選擇其中m m個作為基本物理量，那么該物個作為基本物理量，那么該物理過程可以由理過程可以由(k+1)-m(k+1)-m個無量綱數所組成的關系來描述。個無量綱數所組成的關系來描述。第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt式中式中:f:f為待定函數，故可在上式中寫上為待定函數，故可在上式中寫上4 4和和4 4，目的是使目的是使最終的解較為簡明最終的解較為簡明; ; m m是單位面積上的污染物質量，而不是全部污染物的是單位面積上的污染物質量，而

24、不是全部污染物的質量質量M M，m m的量綱是的量綱是MLML-2-2 M M與與m m的關系是的關系是m=M/Am=M/A，其中，其中A A是通過坐標原點且與是通過坐標原點且與x x垂直的垂直的面積，并假設平均分布在該面積中。面積，并假設平均分布在該面積中。 假設有函數：假設有函數： F(c,m,D,x,t)=0F(c,m,D,x,t)=0利用利用定律，選定律，選c c、D D、t t為基本變量，可得：為基本變量，可得：)4(4),(DtxfDtmtxc 從物理概念上分析，濃度從物理概念上分析，濃度c c是是m m、D D、x x、t t的函數的函數0),( DtxDtcmF第四章第四章 水

25、質模型水質模型整理ppt 設變量設變量Dtx4 進一步令進一步令 ，有，有: : 。邊界條件由原來的邊界條件由原來的c c( (,t)=0, ,t)=0, c(c(,t)/,t)/ x=0 x=0f()=0f()=0，df()/ddf()/d=0=0即即= =常數常數k k1 1, ,因此有：因此有：以以f f的邊界條件代入上式得的邊界條件代入上式得k k1 1=0=0，故上式變為，故上式變為: :)(4),( fDtmtxc02fddf它的通解為：它的通解為：20ekf22xcDtc02222fddfdfdfddf2)(12kfddf0dd第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt為任何時刻源

26、點濃度（坐標原點與源點重合的情況下）為任何時刻源點濃度（坐標原點與源點重合的情況下）根據污染物質的質量守恒定律，有根據污染物質的質量守恒定律，有對上式分別通過求對上式分別通過求t0t0、 x0 x0和和t0t0（x0 x0）的極限，）的極限，可得到可得到c=c=和和c=0c=0，這說明了該解也是滿足初始條件的。，這說明了該解也是滿足初始條件的。此外，上式雖然是對此外，上式雖然是對x0 x0的定解條件求解，但也可用于的定解條件求解，但也可用于x x0 0情形。情形。 , ,推出推出k k0 0=1=1)4exp(4),(2DtxDtmtxc02mcdx第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt瞬時

27、點源一維無界空間的濃度分布瞬時點源一維無界空間的濃度分布瞬時點源一維無界空間的濃度瞬時點源一維無界空間的濃度場在任一時刻場在任一時刻t t沿沿x x軸是正態分軸是正態分布，隨時間布，隨時間t t的增加，濃度的峰的增加，濃度的峰值值C Cm m變小，而擴散的范圍變寬。變小，而擴散的范圍變寬。)4exp(4),(2DtxDtmtxc)2(2exp(221),(22DtxDtmtxc第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt2 2 一維瞬時空間分布投放一維瞬時空間分布投放設只當設只當t=0t=0時在時在x=x=處投放污染物質（瞬時點源）處投放污染物質（瞬時點源）初始條件：初始條件：c(x,0)=mc(

28、x,0)=m(x-(x-) )邊界條件：邊界條件：c(c(,t)=0,t)=0 空間分布源可以看做成若干個瞬時集中點源的疊加，在數學上，即對點源的積分空間分布源可以看做成若干個瞬時集中點源的疊加，在數學上，即對點源的積分4exp4),(2DtxDtmtxc）（有解：第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt現將初始條件改為：現將初始條件改為： c(x,0)=f(x),-c(x,0)=f(x),-x 其中其中f(x)f(x)為任意給定的函數，亦即該初始分布是沿無限長直線上給定為任意給定的函數，亦即該初始分布是沿無限長直線上給定的濃度為的濃度為f()f()，它的量綱為，它的量綱為MLML-3-3 ，

29、單位面積上的質量為，單位面積上的質量為f(f()d)d。位于位于處由該微小污染單元處由該微小污染單元的擴散而導致在時刻的擴散而導致在時刻t t位于位于x x的濃度應為的濃度應為: :用一系列質量為用一系列質量為f()df()d的團塊來求濃度分布的團塊來求濃度分布4)(exp4)(2DtxDtdfdcdDtxDtftxc4)(exp4)(),(2第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt下面討論兩種特殊情況：下面討論兩種特殊情況：單側階梯濃度函數的濃度分布單側階梯濃度函數的濃度分布1.1.當當f(x)f(x)為階梯函數：為階梯函數： 該問題的物理模型可認為該問題的物理模型可認為是在一條無限長的等截

30、面是在一條無限長的等截面渠道的靜水中，左端（渠道的靜水中，左端（x0 x0 x0）為清水，現閘）為清水，現閘門突然打開，左邊的污染門突然打開，左邊的污染物質向右邊擴散。解的形物質向右邊擴散。解的形式為：式為：000)0 ,()(0 xxcxcxf當當當當 0204)(exp4),(dDtxDtctxc第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt 取變換取變換有有,4Dtxu )4(2)4(1 2),(00DtxerfccDtxerfctxc 即：即：式中：式中：erf(z)(z)為誤差函數，為誤差函數，erfc(z)(z)為余誤差函數，即為余誤差函數，即)4(22)exp(2)exp(),(040

31、20420DtxerfcduucduuctxcDtxDtx)(1)()exp(2)(02zerfzerfcduuzerfz第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt 取變換取變換=x-=x-, ,有有再取變換再取變換 , ,有有該問題的物理模型可認為是在一條無限長的等截面渠道該問題的物理模型可認為是在一條無限長的等截面渠道的靜水中，突然發生事故，在渠中出現一段污染源而向的靜水中，突然發生事故，在渠中出現一段污染源而向兩端擴散的情形。解的形式為：兩端擴散的情形。解的形式為：2.2.當當f(x)f(x)為階梯函數：為階梯函數： 1100)0 ,()(xxxxcxcxf 當當當當X=0X=0X=XX=

32、X1 1X=-XX=-X1 1初始濃度分布圖初始濃度分布圖114)(exp4),(20 xxdDtxDtctxc114exp4),(20 xxxxdDtDtctxcDtu4第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt雙側階梯濃度函數的濃度分布雙側階梯濃度函數的濃度分布隨著隨著 增大，濃度增大，濃度分布曲線愈平坦化。分布曲線愈平坦化。)4()4(2)4()4(2)exp()exp()exp(),(1101104/ )(024/ )(0204/ )(4/ )(201111DxxerfDxxerfcDxxerfDxxerfcduuduucduuctxcDtxxDtxxDtxxDtxx1/ xDt第四章第

33、四章 水質模型水質模型整理ppt誤差函數的定義誤差函數的定義: : 從而有：從而有：余誤差函數的定義余誤差函數的定義: :0)0(, 1)()exp(2)()()(2erferfxxerfdxdxerfxerfzduuzerf02)exp(2)()(1)(zerfzerfc第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt000第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt時間連續點源：時間連續點源：在流場的某一點上，連續不斷地投入濃度在流場的某一點上，連續不斷地投入濃度為為c c0 0（常數）的污染物質，即時間連續恒定點源。（常數）的污染物質，即時間連續恒定點源。如果一維擴散區域無限長，則可將投放點位置取為

34、坐標原點如果一維擴散區域無限長，則可將投放點位置取為坐標原點假設在初瞬時假設在初瞬時t=0t=0，沿，沿x x軸各處的濃度均為零，但在軸各處的濃度均為零，但在x=0 x=0處濃處濃度突然從零增加到，以后保持不變，亦即度突然從零增加到，以后保持不變，亦即c(0,t)=cc(0,t)=c0 0無限邊界條件為無限邊界條件為c(c(,t)=0,t)=0本問題的解也是一個有用的基本解，可以用來構造其他某些本問題的解也是一個有用的基本解，可以用來構造其他某些問題的解。問題的解。3 3 一維連續點源投放一維連續點源投放第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt借助量綱分析法來求解濃度分布借助量綱分析法來求解濃

35、度分布c c(x,t) (x,t) 顯然，顯然，c c與與c c0 0, ,D D, ,x x和和t t有關，利用有關，利用定理定理, ,選選 c c、D D和和t t為基本變量，為基本變量，可得如下可得如下關系式：關系式： )(0Dtxfcc 式中：式中：f f是某一待確定的函數。令是某一待確定的函數。令 , ,有有Dtx/ 02122 ddfdfd二階變系數齊次常微分方程二階變系數齊次常微分方程0),4()4(1 ),(00 xDtxerfccDtxerfctxc邊界條件為邊界條件為f f(0)=1,(0)=1,f f( ()=0,)=0,顯然有顯然有c c(-x,t)=(-x,t)=c

36、c(x,t),(x,t),解對稱解對稱于原點，只需沿于原點，只需沿x x正向求解。正向求解。第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt對擴散被各種邊界所限制的問題，通常運用疊加原理來解對擴散被各種邊界所限制的問題，通常運用疊加原理來解決。因為擴散方程是線性的，如果邊界條件也是線性的，決。因為擴散方程是線性的，如果邊界條件也是線性的，則可以疊加任意數量的單獨解，從而構成新的解。則可以疊加任意數量的單獨解，從而構成新的解。 假設邊界為完全反射壁，即不吸收擴散物質。假設邊界為完全反射壁，即不吸收擴散物質。 4 4 考慮邊界反射的擴散考慮邊界反射的擴散第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt邊界條件：壁

37、面上的濃度梯度必須是零，由費克定律得到邊界條件：壁面上的濃度梯度必須是零，由費克定律得到: : 0 x) t , x( cLx 初始條件：初始條件：)()0 ,(xmxc 討論最簡單的情況：當討論最簡單的情況：當t=0t=0時，在時，在x=0 x=0處與處與x x軸垂直的單位面軸垂直的單位面積上，投放的污染物質量為積上，投放的污染物質量為m m。在正方向的邊界為無窮遠，。在正方向的邊界為無窮遠，但在但在x=-Lx=-L處有一阻止物質擴散的壁存在，并設該壁不吸收擴處有一阻止物質擴散的壁存在，并設該壁不吸收擴散物質（完全反射）。散物質（完全反射）。 第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt像源法：

38、當像源法：當t=0t=0時，另在時，另在x=-2Lx=-2L處投入單位面積質量為處投入單位面積質量為m m的污的污染物質染物質像源或映像源，由像源和真實源各自產生像源或映像源，由像源和真實源各自產生的濃度場疊加即為真正問題的解：的濃度場疊加即為真正問題的解： 4)2(exp)4exp(4),(22DtLxDtxDtmtxc一邊側壁的像源法一邊側壁的像源法在反射壁邊界處的濃度等于在反射壁邊界處的濃度等于不存在該壁時的兩倍。以上不存在該壁時的兩倍。以上的解可以通過檢查初始條件的解可以通過檢查初始條件和邊界條件是否得到滿足而和邊界條件是否得到滿足而加證實。加證實。第四章第四章 水質模型水質模型整理p

39、pt 用用解析法解析法求解三維隨流擴散方程中濃度函數求解三維隨流擴散方程中濃度函數c c( (x ,y ,z ,t x ,y ,z ,t ) )在數學上是很困難的，在數學上是很困難的， 一般只對一般只對一維隨流擴散方程一維隨流擴散方程，且在邊，且在邊界條件和初始條件都比較簡單的情況下才有可能。界條件和初始條件都比較簡單的情況下才有可能。 嚴格說來，由于水中污染物的存在對流動會產生影響，嚴格說來，由于水中污染物的存在對流動會產生影響，例如熱污染、海水與河水混摻等，所以當求解隨流擴散方程例如熱污染、海水與河水混摻等，所以當求解隨流擴散方程（包括將要介紹的隨流紊動擴散方程）時，（包括將要介紹的隨流紊

40、動擴散方程）時， 應將它與應將它與流體運流體運動基本方程組動基本方程組聯立求解包括流速和濃度等未知函數。聯立求解包括流速和濃度等未知函數。 在示蹤物質的假定下，可以將流場和濃度場分開求解，在示蹤物質的假定下，可以將流場和濃度場分開求解，即先求解流速，然后求解濃度。即先求解流速，然后求解濃度。 （二） 動態水環境中瞬時源和連續源擴散問題的解析第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt一維隨流擴散方程:令=t，=x-ut，其中u為常數。采用微分連鎖規則, 有: t tt t xxxt t t tt t uttt22xcDxcutc 將t 寫作t，便得：22 cDtc2222)()( t t t t

41、xxx與一維分子擴散方程相似1 1 一維瞬時點源投放一維瞬時點源投放第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt 如果站在速度為 u 的動坐標 上觀察，則一維隨流擴散問題變為在靜止水體中的擴散問題。在靜止水體中的擴散解式中，以在靜止水體中的擴散解式中，以(x-ut)置換置換x之后，如果還之后，如果還滿足一維隨流擴散問題給定的初始條件和邊界條件，這滿足一維隨流擴散問題給定的初始條件和邊界條件，這就是問題的解就是問題的解這種解法稱為這種解法稱為置換解法置換解法。x0u圖 一維隨流擴散第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt 與分子擴散瞬時點源無界空間解式相應，有解與分子擴散瞬時點源無界空間解式相應，有

42、解: : 可以驗證，該解滿足: 初始條件：c(x, 0)= m(x) 邊界條件：c(,t )=0， c(, t )/x=04)(exp4),(2DtutxDtmtxc第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt瞬時點源一維隨流擴散隨著時間的增加，正態隨著時間的增加，正態曲線的峰值愈小，曲線的峰值愈小， 但離但離散程度愈大。散程度愈大。該式也是瞬時無限平面源無界空間的一維隨流擴散問題的解。DtutxDtmtxc4)(exp4),(2tEtuxtEmtxcxx4exp4),(2第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt當污染源持續以當污染源持續以CO的濃度進行排放時，將會形成一維時的濃度進行排放時，將會

43、形成一維時間連續源排放。通過坐標變換：間連續源排放。通過坐標變換：)4(12),(0tEtuxerfctxcx2 2 一維時間連續點源投放一維時間連續點源投放第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt若沿若沿y y軸單位長度時間連續穩定源排放的污染物量為軸單位長度時間連續穩定源排放的污染物量為MM，量綱為量綱為MLML-1 -1T T-1 -1, ,則整個過程可以作為一系列瞬時源沿時間則整個過程可以作為一系列瞬時源沿時間的積分，然后采用坐標變換的方法，得到平面二維時間的積分，然后采用坐標變換的方法，得到平面二維時間連續穩定點源的濃度分布：連續穩定點源的濃度分布：)4exp(/4),(2xEzuu

44、xEuMzxczxxzx3 3 平面二維時間連續穩定點源投放平面二維時間連續穩定點源投放第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt1）污染帶濃度分布xEzuuxEHuMzxczxxZx4exp/4),(204 4 污染物輸移擴散中幾個問題探討污染物輸移擴散中幾個問題探討xEzBuxEzuuxEHuMzxczxzxxZx42(exp4exp/),(220岸邊排放，且不計邊界反射岸邊排放，且不計邊界反射岸邊排放，若考慮邊界一次反射時岸邊排放，若考慮邊界一次反射時第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt2）斷面最大濃度xZxuxEHuMzxc/4),(0max中心排放與岸邊排放的斷面最大濃度：中心排放

45、與岸邊排放的斷面最大濃度：中心排放時，最大濃度出現在斷面中心線上，岸邊排放時，最大濃中心排放時，最大濃度出現在斷面中心線上，岸邊排放時，最大濃度出現在岸邊度出現在岸邊第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt污染帶：污染帶：一般指河道中斷面邊緣點濃度為該斷面最大濃度一般指河道中斷面邊緣點濃度為該斷面最大濃度5%的各點的連的各點的連線所形成的區域，該區域的寬度就是污染帶寬。線所形成的區域，該區域的寬度就是污染帶寬。2）污染帶寬的確定若污染排放點在河中心且不計兩側邊界反射，污染帶寬為：若污染排放點在河中心且不計兩側邊界反射，污染帶寬為：若污染排放點在河岸且不計另一側邊界反射，污染帶寬為：若污染排放點

46、在河岸且不計另一側邊界反射，污染帶寬為：xZuxEb/92. 6xZuxEb/46. 3若確定污染帶抵岸時的距離若確定污染帶抵岸時的距離x x，則需要考慮邊界反射影響：，則需要考慮邊界反射影響：xZuxEb/68. 7xZuxEb/84. 3中心排放中心排放岸邊排放岸邊排放第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt污染帶長污染帶長：污染濃度達到全斷面均勻混合的距離：污染濃度達到全斷面均勻混合的距離4）污染帶長的確定ZxEBKuL/2式中：L污染帶長度，m K帶長系數，中心排放時取0.1，岸邊排放時取0.4 B河寬，m第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt第二節 水質數學模型 河口水環境污染河口

47、水環境污染河口河口：是江河的入?？?，是從陸地到海洋、從淡水到咸水的過渡地帶：是江河的入?？?，是從陸地到海洋、從淡水到咸水的過渡地帶 淡水淡水 + 咸水咸水 = 復雜區域復雜區域獨特位置獨特位置： 河口水環境是一個多因素共同作用的混合系統河口水環境是一個多因素共同作用的混合系統水質影響因素水質影響因素： 上游徑流大小、來水的水質、江段所接納的排上游徑流大小、來水的水質、江段所接納的排 污負荷、地理地形以及潮汐作用等因素污負荷、地理地形以及潮汐作用等因素的綜合的綜合 影響影響第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt 模擬污染物在流域范圍內遷移轉化過程模擬污染物在流域范圍內遷移轉化過程 查明污染物運

48、移的時空分布規律查明污染物運移的時空分布規律 為流域水質預測、管理和規劃決策等提供有力的技術為流域水質預測、管理和規劃決策等提供有力的技術與方法支持與方法支持水質模擬的意義與作用第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt水質模型的定義 定義： 基于數學模型建立，通過計算機將研究系統進行適當簡化處理，描述污染物在流域范圍（含陸域及水體）內隨空間和時間變化規律的一系列數學表達式 目的：解決流域內的水環境問題 為流域水質規劃和管理提供科學依據定義范圍的拓展：定義范圍的拓展： 水體水體 流域流域第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt分類分類分類依據依據模型性質模型性質 研究對象研究對象 水質組分水質組

49、分 水質系統狀態水質系統狀態 數學方程的解數學方程的解 反應動力學反應動力學 空間維數空間維數 第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt 按按研究對象研究對象： 河流、河口（包括潮汐的和非潮汐的）、湖泊（水河流、河口（包括潮汐的和非潮汐的）、湖泊（水庫）、地下水庫）、地下水 按按模型涉及的水質組分模型涉及的水質組分：單一組分、耦合和多重組分：單一組分、耦合和多重組分 按按水質系統的狀態水質系統的狀態：穩態和非穩態：穩態和非穩態 根據所描述的根據所描述的數學方程的解數學方程的解：準理論、隨機：準理論、隨機第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt 按按反應動力學反應動力學： 純反應型、惰性物質的純

50、遷移型、遷移反應型、生態純反應型、惰性物質的純遷移型、遷移反應型、生態 按按水質模擬的空間維數水質模擬的空間維數： 零維、一維、二維、三維零維、一維、二維、三維 按按模型性質模型性質： 黑箱、白箱、灰箱黑箱、白箱、灰箱第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt地表水質模型一維穩態模型發展的初級階段一維穩態模型發展的初級階段（ 20 世紀世紀 20 年代中期至年代中期至 70 年代初期）年代初期）研究深化、完善與廣泛應用階段研究深化、完善與廣泛應用階段（ 20 世紀世紀 80 年代中期至今）年代中期至今）迅速發展階段迅速發展階段（ 20 世紀世紀 70 年代初期至年代初期至 80 年代中期）年代中

51、期）第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt非點源模型模型經驗模型研究階段經驗模型研究階段（ 20 世紀世紀 70 年代初期以前）年代初期以前）機理模型研究階段機理模型研究階段（ 20 世紀世紀 70 年代到年代到 80 年代）年代）實用性模型研究階段實用性模型研究階段（ 20 世紀世紀 90 年代）年代）第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt流域水質管理模型 產生時間產生時間：20 世紀世紀 90 年代后期年代后期 代表模型代表模型：BASINS 模型系統、模型系統、WARMF 模型模型 突出特點突出特點：集流域分析、評價、總量控制、污染治理：集流域分析、評價、總量控制、污染治理與費用效益

52、分析等于一體與費用效益分析等于一體 實例實例：BASINS模型模型第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt流域水質模型建立的一般步驟流域水質模型建立的一般步驟流域水質預測流域水質預測流域水質管理與規劃流域水質管理與規劃流域污染控制流域污染控制模型的概化模型的概化水質模型水質模型一般性質研究一般性質研究參數估計參數估計模型的率定模型的率定模型的應用模型的應用選擇變量選擇變量近似假設近似假設靈敏性靈敏性平衡性平衡性穩定性穩定性不滿意不滿意數據收集數據收集選擇方法選擇方法數據再收集數據再收集結果比較結果比較不滿意不滿意選擇求解技術選擇求解技術第四章第四章 水質

53、模型水質模型整理ppt 模型的概化模型的概化 （1）確定模型時空規模和范圍）確定模型時空規模和范圍 （2）識別主要因素和相互關系，選擇適當變量）識別主要因素和相互關系，選擇適當變量 （3）研究變量的變化和相互作用，作合理近似假設）研究變量的變化和相互作用，作合理近似假設 （4）形成模型的結構概念）形成模型的結構概念 模型的一般性質研究模型的一般性質研究 平衡性研究、穩定性研究、靈敏性研究平衡性研究、穩定性研究、靈敏性研究 第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt 靈敏性是指當模型中參數變化時，其結果產生的差別是否靈敏性是指當模型中參數變化時，其結果產生的差別是否在允許范圍之內。在允許范圍之內。

54、 穩定性是指模型是否能夠收斂，如通過樣本量的變化來分穩定性是指模型是否能夠收斂，如通過樣本量的變化來分析相關參數估計量的穩定性，多次預測對結果影響小，穩析相關參數估計量的穩定性，多次預測對結果影響小，穩定性好。定性好。 平衡性是指模型模擬變量是否平衡平衡性是指模型模擬變量是否平衡。第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt 參數估值參數估值 一般通過實驗室模擬試驗或將現場測定的數據代入模一般通過實驗室模擬試驗或將現場測定的數據代入模型，選擇最佳擬合值作為模型的參數值（實驗法、經型，選擇最佳擬合值作為模型的參數值（實驗法、經驗公式、回歸分析（線性，非線性模型參數）、最小驗公式、回歸分析（線性，非線

55、性模型參數）、最小二乘法、優化法、蒙特卡羅法。并將參數代入模型后二乘法、優化法、蒙特卡羅法。并將參數代入模型后能較好地重現一組觀測數據，稱為模型率定。能較好地重現一組觀測數據，稱為模型率定。 模型率定模型率定 概念概念：檢驗所建立的模型是否具有預測功能的過程：檢驗所建立的模型是否具有預測功能的過程 常用方法常用方法：圖形圖示法、相關系數法、相對誤差法等：圖形圖示法、相關系數法、相對誤差法等 第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt模型求解模型求解: 現代水質模型因其復雜性一般要采用各種數值解法，應現代水質模型因其復雜性一般要采用各種數值解法，應用計算機來完成。一個好的水質模型需有水文學、水力學

56、、用計算機來完成。一個好的水質模型需有水文學、水力學、化學、生物化學、水質、數學以及計算機等方面的專家通化學、生物化學、水質、數學以及計算機等方面的專家通力合作。力合作。 數學基礎：線代、概率、微積分、運籌（線性非線性規劃、數學基礎：線代、概率、微積分、運籌（線性非線性規劃、灰色模型等灰色模型等第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt參數估值的一般方法對物理意義明確的參數，可通過實驗室模擬或試驗測定對物理意義明確的參數，可通過實驗室模擬或試驗測定的方式輔助確定的方式輔助確定 對使用頻率較高的參數對使用頻率較高的參數 ，將測定數據代入經驗公式計算，將測定數

57、據代入經驗公式計算即可確定即可確定最簡單方法最簡單方法應用較為普遍也比較成熟的是線性回歸法應用較為普遍也比較成熟的是線性回歸法實際選擇方法，要考慮模型要求、可獲得數據等因素！實際選擇方法，要考慮模型要求、可獲得數據等因素！第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt 解析法解析法 數值法數值法 （1）有限差分法）有限差分法 （2）有限單元法）有限單元法第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt水質模式中坐標系的建立 以排放點為原點以排放點為原點 Z軸鉛直向上，軸鉛直向上，X、Y軸為水平方向軸為水平方向 X方向與主流方向一致方向與主流方向一致 Y方向與主流垂直方向與主流垂直第四章第四章 水質模型水質模

58、型整理ppt河流水質模型 河流完全混合模式河流完全混合模式、一維穩態模式一維穩態模式、S-PS-P模式模式（適用于河流的充分混合段） 托馬斯模式托馬斯模式（適用于沉降作用明顯河流的充分混合段） 二維穩態混合模式與二維穩態混合模式與二維穩態混合衰減模式二維穩態混合衰減模式（適用于平直河流的混合過程段） 弗羅模式與弗羅模式與弗弗- -羅衰減模式羅衰減模式（適用于河流混合過程段以內斷面的平均水質） 二維二維穩態累積流量模式與穩態累積流量模式與二維二維穩態混合衰減累積流量模式穩態混合衰減累積流量模式（適用于彎曲河流的混合過程段） 河流河流pHpH模式模式與與一維日均水溫模式一維日均水溫模式第四章第四章

59、 水質模型水質模型整理ppt)/()(hphhppQQQcQcc河流完全混合模式河流完全混合模式適用條件適用條件：（1 1）廢水與河水）廢水與河水迅速完全混合后迅速完全混合后的污染物濃度計算；（的污染物濃度計算；（2 2）污染物是）污染物是持持久性污染物久性污染物，廢水與河水經一定的時間（距離）完全混合后的污染物濃度預測。，廢水與河水經一定的時間（距離）完全混合后的污染物濃度預測。 河河流為恒定流動；廢水連續穩定排放流為恒定流動；廢水連續穩定排放 C 廢水與河水完全混合后污染物的濃度，廢水與河水完全混合后污染物的濃度，mg/L Qh 排污口上游來水流量，排污口上游來水流量，m3/s Ch上游來

60、水的水質濃度，上游來水的水質濃度，mg/L Qp 污水流量，污水流量，m3/s Cp 污水中污染物的濃度，污水中污染物的濃度， mg/L 第四章第四章 水質模型水質模型整理ppt一維穩態模式一維穩態模式 對于一般河流，由于推流導致的污染物遷移作用要比彌散作用大對于一般河流，由于推流導致的污染物遷移作用要比彌散作用大得多，可忽略彌散作用：得多，可忽略彌散作用：。 C C 為污染物的濃度；為污染物的濃度； Dx Dx 為縱向彌散系數，為縱向彌散系數，u ux x 斷面平均流速；斷面平均流速； K K 為污染物衰減系數為污染物衰減系數模型的適用對象：模型的適用對象：污染物濃度在各斷面上分布均勻的中小