1、簡單六方結構二維光子晶體能帶的COMSOL模擬北京東之星應用物理研究所伍勇1 .引言COMSOL攜帶的案例庫里，其中一篇<BandgapAnalysisofaPhotonicCrystal>(以下簡稱<Bandgap>)對碑化錢簡單正方格子2D光子能帶進行了完整計算和研究。本文將程序用于簡單六方結構，并將結果在此做一介紹。2 .關于Floquet(弗洛蓋)波矢kF這是入門COMSOL光子晶體能帶模擬的重要概念，在另一案例<PorousAbsorber,中，在Floquet周期性邊界條件一段寫明：p(x)p(xd)ei(kd)由此我判斷Floquet波矢就是Bloc

2、h(布洛赫)波矢，但“幫助”文檔中有：kFksin1(a1cos2na1sin2)，以正格子基矢a1,a2表示(其文沒有任何幾何插圖和物理說明)，使我決定必須在六方格子中選擇矩形單胞作為周期單元，以使計算機程序能夠運行我的幾何方案。3 .幾何建模圖1作為試探選擇的幾何模型，圓形柱代表以GaAs作為格點材料,在空氣介質中周期性排列，形成二維六方結構人造晶體。a是晶格常數(shù)a11aa26aiia2x.a?a-0b12232a1(a2a3)b22a3a1a1(a2a3)矢量圖1六方格子光子晶體的矩形單胞Z是z方向的單位由倒格子基矢b1,2:以上根據(jù)倒格子基矢定義計算出b1,b2及其分量,b2,構建長方

3、格子的布里淵區(qū)也是長方結構如圖圖2.六方結構光子晶體的布里淵區(qū)4 .二維光子晶體主方程COMSOL在Bandgap模型開發(fā)器”電磁波，頻域寫出方程形式如下：r1(E)k2(r匚)E0,0在Bandgap中，下面目錄波方程，電中直接簡化為，(E)korE0電磁波在光子晶體中的傳播遵從麥克斯韋方程，上述方程可由麥克斯韋方程組出發(fā)導出介質中的麥克斯韋方程組D(1)B0(3)BDEp(2)HJ(4)DE,BH,JE在電介質中一般認為自由電荷，自由電流密度(電導率)為零。本文檔不考慮磁性質，0,J0,r1傳播模態(tài)電場函數(shù)COMSOL表達為：i"zitE(x,y,z,t)E(x,y)ezei(5

4、),在周期結構中，它應具有Bloch波的性質，不考慮衰減損耗。注意這里次上標的符號與我們習慣的教科書里正負符號相反。由(2)兩端取旋度，將(4)代入得:(E)2e絕緣介質k2k220折射率nk0J00為真空波數(shù)，應用(5),C0如期得到前面提到的Bandgap中的假設波方程:(E)k2n2E0利用(E)(E)2E2EE偏振時(又稱橫磁場模式TM )對應的二維光子晶體主方程 是:22(1)Ez(x,y)n2k(2Ez(x,y)0(6)這里電場方xy向平行于z軸，而磁場方向只分布在x-y平面內。二維光子晶體主方程(6)是計算光子能帶的出發(fā)點和源依據(jù)。5 .折射率色散函數(shù)n(f)n(f)是COMSO

5、L計算能帶的第二個關鍵點，描述折射率隨頻率參量f的變化。格點材料碑化錢的n(f),在Bandgap有如下定義n_GaAs=3.3285e5s/m*c_const/f+3.5031,參變量f,單位Hz;下限：0,上限：1c_const299792458m/s表示真空光速，我在軟件Mathematica上化簡這個函數(shù)，給出n_GaAs3.50319.97884*10八13/f,并繪制圖3如下:1.2 10155 4 4 111 o o o 1 1 1 o o o 18 6 HQ o 4 4 0 0 1 1 o o N 一圖3.光子晶體GaAs的折射率隨頻率的變化經(jīng)COMSOL計算機程序進行求解，得

6、到E偏振情況下2D介質（GaAs）光子晶體能帶結構。6 .光子能帶圖（選取能量最低的5個能帶）（1）沿布里淵區(qū)10方向（K）（圖2）:（2）沿布里淵區(qū)01方向（M）:NH) AwubnbaJJLLo ,424 另,64.23,8E,422 4.4 MMMM 2NN2GaAs 10 band (hexagonal)xlO141±- ci3 o.k20.4o.GaAs 01 band hexagonal!0.4414.240as482m,.64!2218i64 oL44 3m3,3.Z2,2N LL1 1X7 .電場傳播模態(tài)Z分量Ez（x,y）的平面圖（1）和高度圖（2）:A10,ban

7、d=1（平移組合了6個單胞圖）k(lj=O-Tl：Electricfield,zcomponent(V/m)j-5品11-3xlOrT-3,06k(l>=0 Electric field, z component (V/m)13ATAJ*B01,band=5band(5)=5k(51)=0.5T|：Electricfielrizc&rnponsnt<V/m)hak(51)=05口口Electricfield,zcomponent(V/m口8 .討論作者又在文獻“BandgapAndFieldPropagationAnalysisUsingPhotonicCrystal”(InternationalJournalofInnovativeResearchinComputerandCommunicationEngineeringAnISO3297:2007CertifiedOrganizationVol.3,SpecialIssue1,February2015)中,至“晶期單元適合計算機運行的相同本文的圖示：oReciprocal space:m k Square periodicity(b) Hcxjgonnl periodicitv受到啟發(fā)：計算機看自然可能不會拘于人類目光所決定的一種格式，晶體狀態(tài)也會有它本身具有的所有高低不同對稱性和不同的能量范圍的