1、伴隨矩陣的若干性質及應用摘要矩陣是學習高等代數中的一個非常重要的知識點，而在矩陣的運算和應用中伴隨矩陣起著十分重要的作用.本篇文章運用矩陣計算中的一些技巧和方法，證明了一般 n 階方陣和某些特殊矩陣的伴隨矩陣的一些性質.這些性質的探討是基于矩陣的伴隨矩陣與原矩陣之間的關系，利用研究矩陣的方法來著手.通過這些性質，對矩陣、伴隨矩陣有了更深一步地認識.而且，在以后的學習中遇到關于伴隨矩陣的問題我們可以直接應用這些性質，使問題變得簡單.關鍵詞矩陣伴隨矩陣特征值引言因為伴隨矩陣是學習矩陣的一個重要知識點，在計算中經常出現，把矩陣的伴隨矩陣看作一般的一個矩陣來研究.給出了伴隨矩陣的秩、伴隨矩陣的轉置、伴

2、隨矩陣的特征值、幾個特殊矩陣的伴隨矩陣的性質，以及伴隨矩陣的其他性質.這些性質能幫我們方便解決在計算矩陣時遇到的問題.本文出現的矩陣A和B均為 n 階方陣.1.一般 n 階方陣其伴隨矩陣的一些性質及應用1.1AA=AA=AE,在求解A與A的乘積，A和A的有關的問題時可以從這個性質著手.常用的關系式如下:iA(1)當A為可逆矩陣時，A也為可逆矩陣，由 AA=人人=|人可得(人丁=L；(2)當 A 為可逆矩陣時，由 AA*=A*A=|AE 可得 A*=AA，;142、一.-*、_._*-1例 1、已知A為一二階矩陣，且A=013，求(A).A的逆矩陣.解因為 A*A=AA*=AE,且A為可逆矩陣,

3、可得而A，A*41=8,A=(A，)AA,-1-3【55-1-1-15一3,所以（A*T=-1-355-1-1-15一3-15.*i“*本題用性質6可直接得(AA=()=-3-15-11.3(kA*=knJ1A*(k 為常數)證明因為提取公因子k,從而矩陣kA中每一元素 kaj的n-1階代數余子式就是 kn/Aj.所以故證之.321、*例 5、設A為一個 3 階矩陣，且已知A=1-12，求心 A.14）1n,當秩（A尸n時；秩A*=1,當秩A=n-1時;、0,當秩（A）n-M;kanka12*kanA11A21kA=ka21ka22ka2n_*A12A22-.A=,1kan2kann,1A1n

4、A2n%、An2Ann,所以kA的n-1階子式中每一個元素都是A中的相對應元素的k倍，從每行中,nJ.kA11.n八kA21-1n、kAn1A11A21An1*knA12knA22-.nJkAn2.n_1A12A22-An2n(kA)=.=k.呼.-=kKA1nkF2nknAkAnnJlA1nA2n,.Ann；*AA21A31jz-135”A22A3215-5-5,A23A33)31-5；21-1JAn解因為A=A12613-15,可見簡單之處.一3所以1.4 伴隨矩陣的秩的性質-135161555-51616，-.*AA=A 所以A#0故秩(An=n.（2）當秩（A）=n1 時，A=0,由

5、AA=|AE 彳 4AA=0從而可知 A*的每一列都是方程組 AX=0 的解向量，故由此可得（A*）Wn-秩（A）=1,又因為矩陣 A 至少有一個 n1 階子式不為零，故 A 至少有一個元素不為零，所以此時秩（A）=1.（3 當秩（A）cn-1 時，矩陣 A 的所有 n-1 階子式全為零，故 A=0,所以秩 A*=0.性質 4 在解關于矩陣的題目中用的很廣泛，以下的性質 5、6、9、16 的證明過程中都有用到性質 4,從而使證明簡單、明了.例 6、設 n（n2）階萬陣 A,若秩（A）=n-2 時，則秩（A）=.解因為秩（A）=n-2,由以上性質可得秩（A*）=0,故選 D.解因為秩（A）=3,

6、而 A 為 4 階矩陣,，一一、卡*、.,人*1所以秩(A)=12 時，秩（A*=0，所以（A*=0，所以此時有（A*）=AnA._*例 9、已知A為 n 階可逆矩陣，且 A=3,化簡（A，-A）.*一一一,1*一一一解因為 AA=AA=AE,所以 A=LA,所以IA-A”*-A）A1P）（g）CA*M4）_*5AB=BA證明（1）當 AB=0 時，此時有 A#0,B#0;從而有 A*=|AA，B*=BB，可得（AB*=AB（ABf=ABB*A，=BB，AA，=B*A*（2 肖 AB=0 時，此時考察矩陣 AR“）=A-九 E,B）=B-九 E,因為矩陣A和B的特征值最多只有有限個，因此存在有

7、無窮多個九，使得1.6解 4A*B，=4nA*(A*=ABn?A(n2)“I4nJ14n二-2-2A1.7*tt*tt*由 1 悶結論可得，(A鳳九)*=BQuAQu),令(AJB(九=(hij損城 B(九 A3)=(kij5)晨則由上式得H0 伍)=%(九)，(i,j=1,2,n)因為知有無窮多個，.使式成立，從而也就有無窮多個工使 0 式成立，但是由于hj5)kij(K旃B是多項式，因此 O 式對一切，都成立；特別，當令人=0 時有*.*.*AB=A0B0=B0A0=BA例 10、已知A和B為三階可逆矩陣，且13I111-410一一，一、t一，1*.-1解經計算可得(B)=01-3001證

8、明由于 AA=AA=AE所以(A*TAT(AT*=(A*T|AT|E=AT|(A*T=|A(A*又(A*TAT(AT$=(AA*AT)=(|A|EF(AT)=|A(AT*TA(A*T=|A(AT)(1)當 A 可逆時，則IA#0,T1.8(AT=AT*因此有A*.*.*.所以AB)；=!BA913-2一412所以(2)當A不可逆時，則A=0,此時用矩陣A-KE代替矩陣A,得=|A-九E|A九EF)因為矩陣 A 的特征值最多只有有限個，因此存在無窮多個人使得-一，,一九*TT:A九目第 0,從而有（A-AE）=（A-AE）一*T*令（A九 E）=（九（九）篇，A征）=（%（九）晨，所以有 hj=

9、kji,j=1,2,.,n由此可得存在無窮多個工使得上式成立，而 hj（九）kj伍）都是多項式，因此上式對一切 K 都成立，取九=0 代入式時，有.T_*（AT=（AT）.1.9 伴隨矩陣的特征值5設矩陣 A 有 n 個特征值兒，卜2,.,九n；（1&A 為滿秩矩陣時，伴隨矩陣的特征值為-iJA,2JIA,.,nJIA（2）當 A 為降秩矩陣時，那么伴隨矩陣 A 的 n 個特征值至少有 n-1 個為 0,而且另一個不等于零的特征值若存在，則等于 A11A22.Ann.5證明（1）因為 A 為滿秩矩陣，所以 A 為可逆矩陣也即|A=0A）=|AA，此時矩陣 A 的特征值均不為零，且 A的

10、 n 個特征值為九，九2,.，九n,再由A=|AA 可得，伴隨矩陣有 n 個特征值為K|A|,A,./n,|A；（2）當秩（AAn-2 時，此時，秩（A）=0,所以 A=0因此可推得 0,0,。為伴隨矩陣 A*的特征值此時結論成立.當秩（A）=n-1 時，此時，秩（A）=1,那么設 A）的特征值為1,2,.,n由若爾當標準形知，存在可逆矩陣 T,使得T,AT=,其中兒，九 n 為A的全部特征值一,0）因為（A）=1,不妨設兀0,而12=.=hn=0,則上式為*九IT,A*T=0.0IJ*從而1=trA=A11A22.Ann.例 11、設A為 n 階可逆矩陣，A為A的伴隨矩陣，E為 n 階單位矩

11、陣，若A有特征值九，則（A*3+E 必有特征值什么？解由性質知，A有特征值九，A*必有特征值1A,從而（A*3+E 必有特征值九1.10 如果A是可逆矩陣，且 AB,則 AB證明因為AB,則存在可逆矩陣T,使得TAT=B把上式兩邊同時取行列式得T1A|T|=|B,又由于 A 可逆，故|A#0,從而 B#0,即 B 也是可逆的，所以，A*=|AA,B*=BB由 T,AT=B,則 CTATF=TA（T=TA,T=B，因止匕A，B，因為 AB,則|A=|B把 T“A，T=B兩端同時乘以 A 得，T“A*T=T，AA“T=|AB=|BB”=B*所以,TA*T=B*,A*B*.例 12、設A、B為三階相

12、似矩陣，A的特征值為 1,1,3,求B*.解因為 A 的特征值為 1,1,3,一*，.一、1所以A的特征值為1MA=3,1MA=3,/A=1,3又因為AB,所以A*B*,所以 B 的特征值為 3,3,1,所以 B|=9.1.11 如果A是可逆矩陣，且 A 與 B 和合同，則 A*與 B*也合同證明由題中矩陣A與B合同，因此存在可逆矩陣C,使川CTAC=B,等式兩邊分別取行列式，得CT|A|C=B因為 A 是可逆矩陣，所以，A#0,從而|B=0,而 CA=B_111又因為(CTAC)=CA(CT)=B,令 T=(CT)T則T=C=)=(C)=C,從而TTA/T=B,故 A與 B是合同的，從而CA

13、TTAT=，BB即(CTTAACT=BB所以(CTTA*4CT)=B*,所以 A 與 B 也合同.某些特殊矩陣的伴隨矩陣的性質4若A是可逆的對稱矩陣，則它的伴隨矩陣A也是可逆的對稱矩陣a.已知數量矩陣 kE(k#0),它的伴隨矩陣也是數量矩陣；b.若對角矩陣A是可逆的，則它的伴隨矩陣A*也是對角矩陣.2.2 若A是上(下)三角矩陣，且A是可逆的，則A*也是上(下)三角矩陣112、例 13、設A=031,故,A=3,所以A是可逆的，1001)2.30)當 n 階實矩陣A是半正定時，則它的伴隨矩陣A*也是半正定的證明由于A是半正定的，因此存在實矩陣C,使A_CTC_*._*.T_.T從而 A=(C

14、C)=C(CT)=C(C)=PTP 其中 P=(C)即有實矩陣P,使得A*=PTP所以A也半正定的.(2)當n階實矩陣A是正定矩陣時，則它的伴隨矩陣A也是正定矩陣證明由于矩陣A是正定的，從而可知存在可逆矩陣T,使TTAT=.E所以 TTAT=TATT=TAT=E=E即有 T*A*(T*T=E所以A*也是正定矩陣.2.4 當n階矩陣A為正交矩陣時，則其伴隨矩陣A*也為正交矩陣7證明由于 A 為正交矩陣，從而可知ATA=E,A=1,而 AA=AE,所以 A=AA=A而(A*TA*=(iA，T(A，)=E故A*也是正交矩陣.工例 14、設正交矩陣 A=，1A11A21A313-1-5A12A22A3

15、2二01-163A23A3303,所以A是可逆的，且為上三角矩陣.121五1而1寺2)*A從而可算的 A*(A*T=E,即A*也為正交矩陣.2.5 若 A 為幕等矩陣，也就是說滿足 A2=A,當秩（A）=n 或秩（A）n1 時，對應可得矩陣 A*也是幕等矩陣4證明 0）當秩（A）=n 時，由于 A2=A,左式兩邊同時取行列式，得|A2=A,所以|A=1,由 A2=A,又可得 A2=A,；而 AA*=俳，A*=|A|A，從而（A*2=（|AA。2=（A，f=A=A，=AA，=A*,即（A*2=A*所以，此時 A 也是幕等矩陣.（2）當秩（A）n-1 時，可得秩（A*）=0,所以*_A=0,當然有

16、（A*2=A*,所以，此時A*也是幕等矩陣.小結本文運用矩陣計算的有關方法和技巧，以及應用已經證明了的關于伴隨矩陣的性質，進一步證明了矩陣的伴隨矩陣的其它相關性質.這樣較廣泛深入的理解了伴隨矩陣， 從而能更好的把伴隨矩陣的性質運用到矩陣的學習中，不斷升華知識.與伴隨矩陣有關的性質還有很多，本文只是對其一部分性質進行說明，需要不斷努力去挖掘找到它其它很有價值的性質.也可以把伴隨矩陣放到高等代數的其它章節中找到它相應的性質，這需不斷的去研究.參考文獻:1北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數M.高等教育出版社，2003:177-2032賈云峰.矩陣與其伴隨矩陣的特征值J.陜西師范大學繼續

17、教育學報，2007 年第 24 卷第 1 期:98-993 樂茂華.高等代數M.南京大學出版社,20024 呂興漢.關于伴隨矩陣性質的進一步討論J.中國科技信息，2006 年第 22 期：322-3235錢吉林.高等代數題解精粹M.中央民族大學出版社，2009 年 10 月第二版：100-2186邱森.高等代數M.武漢大學出版社，20087王萼芳.高等代數M.上海科學技術出版社，1981:271-2968姚慕生.高等代數學M.復旦大學出版社，1995:38-399葉世源.葉家琛等M.同濟大學出版社，199510張禾瑞.高等代數（第 4 版）M.北京高等教育出版社，199911曾京玲.關于伴隨矩

18、陣的幾個討論J.渭南師范學院學報，2003 年增刊：28-29SomePropertiesandApplicationsoftheAdjointMatrixName：YangTingStudentNumber:200740510647Advisor:GeXintongAbstractMatrixisaveryimportantpointinlearninghigheralgebra,whileinmatrixscalculationsandapplicationadjointmatrixplaysanextremelyimportantrole.Thispaperusingsometechniquesandmethodsinmatrixscalculatipns/edsomepropertiesofgeneralnorderphalanxandsomespecialmatrixadjointmatrix.Thesepropertiesarediscussedbasedontherelationship