1、課時作業42空間幾何體的表面積與體積1如圖，小方格是邊長為1的正方形，一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(D)A496 B(26)96C(44)64 D(44)96解析：由三視圖知，該幾何體為一個圓錐和一個正方體的組合體，正方體的棱長為4，圓錐的高為4，底面半徑為2，所以該幾何體的表面積S6×42×22×2×(44)96.2如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，俯視圖中的兩條曲線均為圓弧，則該幾何體的體積為(C)A64 B648C64 D64解析：由三視圖可知該幾何體是由棱長為4的正方體截去個圓錐和個圓柱所得到的，

2、且圓錐的底面半徑為2，高為4，圓柱的底面半徑為2，高為4，所以該幾何體的體積為4364.故選C.3已知A，B是球O的球面上兩點，AOB90°，C為該球面上的動點若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(C)A36 B64C144 D256解析：SOAB是定值，且VO-ABCVC-OAB，當OC平面OAB時，VC-OAB最大，即VO-ABC最大設球O的半徑為R，則(VO-ABC)max×R2×RR336，R6，球O的表面積S4R24×62144.4已知三棱錐A-BCD中，ABD與BCD是邊長為2的等邊三角形且二面角A-BD-C為直二面角，則三

3、棱錐A-BCD的外接球的表面積為(D)A. B5C6 D.解析：如圖，取BD中點M，連接AM，CM，取ABD，CBD的中心即AM，CM的三等分點P，Q，過P作平面ABD的垂線，過Q作平面CBD的垂線，兩垂線相交于點O，則點O為外接球的球心，如圖，其中OQ，CQ，連接OC，則外接球的半徑ROC，表面積為4R2，故選D.5一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是AB上的動點，記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADF-BCE的體積為V2，則(B)A. B.C. D.解析：由三視圖可知多面體ADF-BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角邊長為a)，且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形

4、，它們的邊長均為a.M是AB上的動點，且易知AB平面DFEC，點M到平面DFEC的距離等于點B到平面DFEC的距離，距離為a，V1VE-FMCVM-EFC·a·a·a，又V2a·a·a，故.6某工件的三視圖如圖所示，現將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內，則原工件材料的利用率為(A)A. B.C. D.解析：原工件是一個底面半徑為1，高為2的圓錐，依題意加工后的新工件是圓錐的內接長方體，且落在圓錐底面上的面是正方形，設正方形的邊長為a，長方體的高為h，則0a，0h2.于是，h2a.令f(

5、a)V長方體a2h2a2a3，f(a)4a3a2，當f(a)0時，a.易知f(a)maxf.材料利用率，故選A.7如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(B)A90 B63C42 D36解析：由三視圖可知兩個同樣的幾何體可以拼成一個底面直徑為6，高為14的圓柱，所以該幾何體的體積V×32××1463，故選B.8已知三棱錐O-ABC的頂點A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，AOB120°，當AOC與BOC的面積之和最大時，三棱錐O-ABC的體積為(B)A. B.C

6、. D.解析：設球O的半徑為R，因為SAOCSBOCR2(sinAOCsinBOC)，所以當AOCBOC90°時，SAOCSBOC取得最大值，此時OAOC，OBOC，又OBOAO，OA，OB平面AOB，所以OC平面AOB，所以V三棱錐O-ABCV三棱錐C-OABOC·OA·OBsinAOBR3sinAOB，故選B.9某組合體的三視圖如圖所示，則該組合體的體積為.解析：如圖所示，該組合體由一個四棱錐和四分之一個球組成，球的半徑為1，四棱錐的高為球的半徑，四棱錐的底面為等腰梯形，上底為2，下底為1，高為，所以該組合體的體積V××(21)×

7、×1××13.10已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若SAB的面積為8，則該圓錐的體積為8.解析：設圓錐底面半徑為r，母線長為l，高為h，因為母線SA與底面所成的角為30°，所以lr.由SAB的面積為8得l28，即×r28，所以r212，hr2.所以圓錐的體積為r2h×12×28.11在三棱錐S-ABC中，ABC是邊長為3的等邊三角形，SA，SB2，二面角S-AB-C的大小為120°，則此三棱錐的外接球的表面積為21.解析：根據題意得SA2AB2SB2，即SAAB.

8、取AB的中點為D，SB的中點為M，連接CD、MD，得CDM為二面角S-AB-C的平面角，MDC120°.如圖，設三角形ABC的外心為O1，則O1在CD上，連接BO1，則CO1BO1，DO1.設外接球半徑為R，易知球心為過M垂直面ABS的垂線與過O1垂直面ABC的垂線的交點O.在四邊形MDO1O中，二面角S-AB-C的平面角MDC120°，且MOMD，O1ODO1，MDO1D，ODO160°，OO1O1Dtan60°，連接OB，R2OB2OOO1B23，球的表面積S4R221.12如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB

9、BCAD，BADABC90°.(1)證明：直線BC平面PAD；(2)若PCD的面積為2，求四棱錐P-ABCD的體積解：(1)證明：在平面ABCD內，因為BADABC90°，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD.(2)取AD的中點M，連接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90°得四邊形ABCM為正方形，則CMAD.因為側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因為CM底面ABCD，所以PMCM.設BCx，則CMx，CDx，PMx，PCPD2x.取CD的中點N，連接PN

10、，則PNCD，所以PNx.因為PCD的面積為2，所以×x×x2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱錐P-ABCD的體積V××24.13九章算術是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊柱的楔體，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高一丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現將該楔體的三視圖給出，其中網格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為(A)A5 000立方尺 B5 500立方尺C6 000立方尺 D6 50

11、0立方尺解析：該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF.取AB的中點G，CD的中點H，連接FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐F-GBCH與三棱柱ADE-GHF的體積之和又可以將三棱柱ADE-GHF割補成高為EF，底面積為S×3×1平方丈的一個直棱柱，故該楔體的體積V×2×2×3×15立方丈5 000立方尺14如圖所示，在平面四邊形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，將其沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面體ABCD的頂點在同一個球面上，則該球的體積為(A)A. B3 C. D2解析：如圖，取B

12、D的中點為E，BC的中點為O，連接AE，OD，EO，AO.因為ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD.因為ABADCD1，BD，所以AE，EO.所以OA.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為.所以該球的體積V×3.15如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F為圓O上的點，DBC，ECA，FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐當ABC的邊長變化時，所得三棱錐

13、體積(單位：cm3)的最大值為4.解析：解法一：由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐，設ABC的邊長為a(a>0)cm，則ABC的面積為a2 cm2，點O到ABC三邊的距離都為a cm，DBC的高為cm，則正三棱錐的高為 cm，25a>0，0<a<5，所得三棱錐的體積V×a2× × cm3.令t25a4a5，則t100a3a4，由t0，得a4(滿足0a5)，易知此時所得三棱錐的體積最大，為4 cm3.解法二：由題意知折起以后所得三棱錐的直觀圖如圖所示，連接CO并延長交AB于H，連接DO、DH.則DO平面ABC.令OHx cm，則OC2x cm，DH(5x) cm，得OD cm，AB2x cm.則VD-ABC·x2·x2 cm3，令f(x)x2，則f(x)，則當x(0,2)時，f(x)單調遞增，當x(2,2.5)時，f(x)單調遞減，所以當x2時，體積取最大值，為×44 cm3.16如圖，ABC內接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC平面ABC，AB2，EB.(1)求證：DE平面ACD；(2)設ACx，V(x)表示三棱錐B-ACE的體積，求函數V(x)的解析式及最大值解：(1)證明：四邊形DCBE為平行四邊形，CDBE