1、一、隱函數概念二、隱函數存在性條件分析 三、隱函數定理 隱函數是函數關系的另一種表現形式.討論隱函 數的存在性、連續性與可微性,不僅是出于深刻了解這類函數本身的需要,同時又為后面研究隱函數組的存在性問題打好了基礎.1 隱函數數學分析 第十八章隱函數定理及其應用*點擊以上標題可直接前往對應內容四、隱函數求導舉例 隱函數概念3221sinyx, zxy .顯函數：因變量可由自變量的某一分析式來表示的函數稱為顯函數例如： 2/32/32/333330 xya, xyzxy.方程式所確定的函數,通常稱為隱函數例如： 隱函數：自變量與因變量之間的關系是由某一個1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例

2、隱函數存在性條件分析后退 前進 目錄 退出則成立恒等式.,0) )(,(IxxfxF R,IJxI若存在 、使得對任一若存在 、使得對任一有惟一確定的yJ 使得 ( , ),x yE 且滿足方程 (1) ,(1)確定了一個定義在 I, 值域含于J的隱函數. , )(JyIxxfy 把此隱函數記為 ( , )0.(1)F x y 2R ,:R.EFE設設1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析如果對對于于方方程程則稱由方程注2 不是任一方程 都能確定隱函數, 0),( yxF例如 顯然不能確定任何隱函數 0122 yx注1 隱函數一般不易化為顯函數，也不一定需要 )(xf

3、y 化為顯函數上面把隱函數仍記為 ，這 與它能否用顯函數表示無關 例如由方程 可確定如下兩 122 yx取值范圍個函數： 注3 隱函數一般需要同時指出自變量與因變量的 . 0, 1, 1, 1, )1( )(; 1,0, 1, 1, )1()(2221 yxxxfyyxxxfy1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析在2 還要討論由多個方程確定隱函數組的問題. 注4 類似地可定義多元隱函數例如: 由方程 0),( zyxF, ),(yxfz 確定的隱函數 0),( uzyxF,),(zyxfu 確定的隱函數 等等. 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在

4、性條件分析由方程 隱函數存在性條件分析 條件時, 由方程 (1) 能確定隱函數 , 并使 )(xfy ),(yxF要討論的問題是：當函數 滿足怎樣一些 該隱函數具有連續、可微等良好性質? )(xfy ),(yxFz (a) 把上述看作曲面 與坐標 0 z平面的交線，),(000yxP . )(,0),(0000 xfyyxF ，滿足 連續是合理的0P)(xfy 0 x),(yxF(b) 為使 在 連續，故要求 在點 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析故至少要求該交集非空，即點 存在切線，而此切線是曲面 在點 ),(yxFz 0P的切平面與 的交線，0P0 z)(x

5、fy 0 x)(xfy (c) 為使 在 可導，即曲線在 0P. )0,0(),(, ),(0000 yxFyxFyx點 可微，且 0),(00 yxFy由此可見，是一個重要條件000000d( ,( )(,)(,)()0,dx xxyF x f xFxyFxyfxx(d) 在以上條件下，通過復合求導數, 由 (1) 得到 00000(,)()(,)xyFxyfx.Fxy 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析),(yxF故應要求 在 定理18.1（隱函數存在的唯一性定理）隱函數定理設方程 (1) 中的函數 滿足以下四個條件： ),(yxF ),(000yxP2R D

6、(i) 在以 為內點的某區域 上連續； (ii) ( 初始條件 )；0),(00 yxFD),(yxFy(iii) 在 內存在連續的偏導數 ； 00(,)0.yFxy (iv) 則有如下結論成立： 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析 定理18.1（隱函數存在的唯一性定理）在 上連續)(2xf),(00 xx證 首先證明隱函數的存在與唯一性證明過程歸結起來有以下四個步驟 ( 見圖181 )： 00( ),(,),yf xxxx;0)(,(, )()(,(0 xfxFPUxfx唯一地確定了一個隱函數 它滿足： 00()f xy),(00 xxx, 且當 時, 使得 D

7、PU )(0)(0PU存在某鄰域 ，在 上 1 ( , )0F x y 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析 (c) 同號兩邊伸 x0 xy0yO0 x0 x0 y0y(d) 利用介值性 x0 xy0yO0 x0 x0()U P0y0y( )yf x (b) 正、負上下分_+_0 xyO0 x0 x0 x0y0y0y (a) 一點正,一片正+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x0 x0 x0 x0y0y0yyO圖 1811 隱函數隱函數概念隱函

8、數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析(a) “一點正, 一片正 ”00(,)0.yFxy 由條件 (iv), 不妨設 0000, ,SxxyyD.其中其中,),(,0),(SyxyxFy ),(yxFy因為 連續，所以根據 保號性， 使得 0, (a) 一點正,一片正+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x0 x0 x0 x0y0y0yySO1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析 (b) 正、負上下分_+_0 xyO0 x0 x0 x0y0y0

9、y(b) “正、負上下分 ” ,),(,0),(SyxyxFy , ,00 xxx因 故 格增，且連續 ( 據條件 (i) ) 00(,)0,F xy 0(, ),F xy特別對于函數 由條 00(,)0F xy 件可知件可知00(,)0.F xy 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析把 看作 的函數時, 它在 上嚴y),(yxF,00 yy (c) 同號兩邊伸 x0 xy0yO0 x0 x0 y0y(c) “同號兩邊伸” 因為 關于 連續，),(, ),(00 yxFyxFx (b) 的結論，根據保號性， 使得 , )0( 0( ,)0,F x y 0( ,)0,

10、F x y 00(,).xxx1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析故由.0), ( yxF,)(0JIPU 1若記 則定理結論 得證 (d) 利用介值性 x0 xy0yO0 x0 x0()U P0y0y( )yf x就證得存在惟一的隱函數: 由的任意性, 這 x0000(,),(,).xIxxyJyy ( ),yf x 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析(d) “利用介值性” , ),(00 xxx), (yxFy因 關于 連續, 且嚴 格增，故由 (c) 的結論，依據介值性定理 , 存在惟 滿足00(,),yyy一的 ( ,)0 ,(

11、 ,)0 .F x yF x y( , )0,F x y 由 對 嚴格增，而 ),(yxFy推知 .xxOyxxyyy0y0y0P.圖 18200,yyyy( ).yf x 其中其中 足夠小，使得 ,0 如圖 182 所示, 取1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析下面再來證明上述隱函數的連續性: 00(,) ,xxx即即欲證上述 在 連續. )(xfx.0),(,0),( yxFyxF),( xxx且當 時，有 , ),(,)( xxxyxfy在 上處處連續),(00 xx因此 在連續. x)(xf類似于前面 (d) ，由于隱函數惟一，故有 1 隱函數隱函數概念隱函

12、數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析)(xf由的任意性, 便證得 x類似于前面 (c) ， 使得 , ),(),(00 xxxx注1 定理 18.1 的條件 (i) (iv) 僅是充分條件, 如： 在點 雖 ,0)0 , 0(,0),(33 yFxyyxF)0,0(.xy 不滿足條件 (iv)，但仍能確定唯一的隱函數 xyO11 圖 183 (雙紐線), 在 0)(),(22222 yxyxyxF點 同樣不滿足)0,0(條件 (iv); 所示, 么小的鄰域內, 確實 不能確定唯一的隱函數. 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析如圖183在該點無論多用這兩個較強的

13、條件，一則是使用時便于檢驗， 的作用二則是在后面的定理 18.2 中它們還將起到實質性 注 2 條件 (iii) 、 (iv) 在證明中只是用來保證在鄰 )(0PU域 內 關于 為嚴格單調),(yxFy注3 讀者必須注意, 定理 18.1 是一個局部性的隱 函數存在定理)0, 1( , )0, 1( , )0, 0( 三點以外, 曲線上其余各點處都 存在局部隱函數)(xfy 以檢驗，見后面第四段的例)1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析之所以采 例如從以上雙紐線圖形看出: 除了 (這不難用定理 18.1 加 注4 在方程 中, 0),( yxFxy與 的地位是平等

14、的. . )( ygx 時，將存在局部的連續隱函數 ),(yxFx0),(00 yxFx 連續, 且 “”1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析當條件 (iii) 、 (iv) 改為 定理18.2（隱函數可微性定理）),(yxF設函數 滿足定理 18.1 中的條件 (i) (iv), D在 內還存在連續 . ),(yxFx且所確定的隱函數 在 I 內有連續的導函數， )(xfy ( , )( )( , ).(2)( , )xyFx yfx,x yIJFx y ( 注: 其中00(,)Jyy與與),(00 xxI示于定理18.1 的證明 (d) ).1 隱函數隱函數概念

15、隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析則由方程 0),( yxF( )()yf x , yyf xxJ. ,Ixxx 證 設則 .0),(, 0),( yyxxFyxF由條件易知 F 可微，并有 使用微分中值定理, 使得 , )10( 0(,)( , )F xx yyF x y (,)yFxx yyy, (,)xFxx yyx1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析.),(),(yyxxFyyxxFxyyx 顯然 也是連續函數)(xf 0 x,0 yyxFFf,因 都是連續函數, 故 時并有 00(,)( )limlim(,)xxxyFxx yyyfxxFxx y

16、y ( , ),( , ).( , )xyFx yx yIJFx y 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析,0),(),( yyxFyxFyx.0)( yFyyFFyFFyyyxyyxxx),(yxF注1 當 存在二階連續偏導數時，所得隱函 數也二階可導. 將 (2) 式代入上式，經整理后得到 21(2)xxxyyyyyFF yF yF1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析應用兩次復合求導法，得 ( , )( )( , ).(2)( , )xyFx yfx,x yIJFx y (3)2232.xyxyyxxxyyyF F FF FF FF注

17、2 利用公式 (2) , (3) 求隱函數的極值:0 y 00 xFF( , )A x y% % %(a) 求使 的點 , 即 的解 0 xFA(b) 在點 處因，而使 (3) 式化簡為 .AyxxAFFy (4)0 (0)Ay 或或(c) 由極值判別法, 當 時, 隱函數 在 取得極大值(或極小值).y( )yf x x1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析注3 由方程 0),( zyxF(5),(yxfz 確定隱函數的相關定理簡述如下： 設在以點 為內點的某區域 上, ),(0000zyxP3R D,0),(000 zyxF.0),(000 zyxFzF 的所有一

18、階偏導數都連續，并滿足 則存在某鄰域 在其內存在唯一的、連 ,)(0DPU 續可微的隱函數( , ),zf x y,.yxxyzzFFzzffxFyF (6)1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析且有0),(21 yxxxFn更一般地，由方程 ),(21nxxxfy 確定隱函數 的相關定理, 材下冊 p.159 上的定理18.3 , 這里不再詳述. 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析見教 解 令 它有連續的 ,)(),(22222yxyxyxF .2)(4,2)(42222yyxyFxyxxFyx 求解 分別得到 ,0),(0),(0),

19、(0),( yxFyxFyxFyxFyx與與隱函數求導舉例 0)(22222 yxyx例1 試討論雙紐線方程 ( )( ).yf xxg y或或所能確定的隱函數 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析再考慮隱函數的極值由于 )(xfy )0, 1( , )0, 0( 所以，除 這三點外，曲線上在其他 . )(xfy 所有點處都存在局部的可微隱函數 在其他所有點處都存在局部的可微隱函數( ).xg y )42,46(, )0, 0( 同理，除 這五點外，曲線上 26(0,0)(,)0,44xxFF(0,0)1,00.yyFF1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱

20、函數存在性條件分析, )126(2),(22 yxyxFxx62,( );44f xx 因因此此在在處處取取得得極極大大值值622623(,),(,),442442yxxFF 62(,)443 2320222y性又知, 62( ).44f xx 在處還取得極小值在處還取得極小值1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析由對稱例2 討論笛卡兒葉形線(圖184) )0(333 aaxyyx(7)(xfy 所確定的隱函數 的存在 性，并求其一階、二階導數 各點處都能確定局部的隱函數)(xfy .3),(33axyyxyxF 解 令 0)(32 xayFy先求出在曲線 (7) 上

21、使 的點為 圖 184由隱函數求導公式 (2) 求得 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析除此兩點外, 方程 (7) 在其他 33(0,0),( 4 ,2 ).OBaa.)(3)(32222xayxyaxayyaxFFyyx 22254 () ,yxxF Fx yax為了求出二階導數，要使用公式 (3) , 先算出: 22254 ()(),xyxyF F Fa yaxxay 22254 () .xyyF Fy xay所以2232xyxyyxxxyyyF F FF FF FyF 2222222354 ()()()() 27()a yaxxayx yaxy xayyax

22、1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析3232.()a xyyax 22333232 3()()ax yxy xyayax223232 3(3)()ax yxyaxyayax0 y類似于例1 的方法, 求出曲線上使 的點為 . )4,2(33aaA在幾何上，它是兩條曲線 0),( yxF0),( yxFx和的交點 (見圖).1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析圖 184,024|3 ayA容易驗證 )(xfy A34 .a隱函數在點 取得極大值 分別有水平切線和垂直切線AB以上討論同時說明, 該曲線在點 和 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱

23、函數求導舉例隱函數存在性條件分析圖 184所以 2(31)d0,xyzz332(2 )d(3)dyzxxxzyyd3dd0,xyz解法 1 (形式計算法 ) 對方程兩邊微分，整理得( , , )(0,1,1)x y z 將 代入，又得 例3 試求由方程 所確定的隱 3230 xyzxyz函數 在點 處的全微分 (0,1,1)P( , )zf x y 1 隱函數隱函數概念隱函數定理隱函數求導舉例隱函數存在性條件分析dd3d .Pzxy解法 2 ( 隱函數法 ) 設 323( , , ).F x y zxyzxyz.313,31222323zyxyzxFFyzzyxxzyFFxzzyzx 因此在點 P 附近能唯一地確定連續可微的隱函數 ( , );zz x y 且可求得它的偏導數如下： 以 代入, 便得到 ( , , )(0,1,1)x y z 1,3,x Py Pzzdd3d .Pzxy由于 上處處連續, 而 3(0,1,1)0,RxyzFFFF 在在2(0,1,1)(31)10,zPFxyz