1、一元函數導數的若干個解法摘要：在高等數學這門學科中，微積分的計算是貫穿整個學科的重要知識點，而其中函數的求導則是微積分計算的基礎，由此可見學會如何求函數的導數也是非常必要的。本文主要介紹了一元函數求導的幾種常見解法，如定義求導法，導數的四則運算法，復合函數的求導法，高階導數的求導法以及利用萊布尼茨公式等。在這些方法中，定義求導法，導數的四則運算法是屬于基礎的方法，而后幾種方法是需要重點掌握的，并要求能在計算中靈活運用。關鍵詞：一元函數 導數 復合函數 Several derivations of functionsAbstract: In Higher mathematics,the calc

2、ulation of calculus is the key point of the whole subject,and the derivation of function is the base of the calculation,so its very necessary to learn how to derive.This article will recommend some methods of the derivation of unary fuction,such as, the definition of derivative, the four fundamental

3、 operations of arithmetic of derivative,composite function derivation,the derivation of derivatives of higher order and using Leibniz formula and so on.In these methods,the definition of derivation, the four fundamental operations of arithmetic of derivative are basic way.But the other methods must

4、be understood and used flexibly in the calculation. Key words:unary function derivate compound function高等數學主要包括了函數極限，微積分，空間解析幾何與級數等幾大部分內容。在這門學科中，微積分的計算是貫穿整個學科的重要知識點，而其中函數的求導則是微積分計算的基礎，其中一元函數的求導問題更是基礎中的基礎。一元函數的導數是一類特殊的函數極限。在幾何上函數的導數就是曲線的切線斜率，在力學上路程函數的導數就是速度。因此導數具有鮮明的幾何意義和物理意義，是連接幾何學科，其它數學學科及物理等的橋梁。所以

5、掌握計算一元函數導數的方法是非常重要的。本文總結了幾種比較常見的用來解決各種形式的一元函數導數的方法。1.定義求導法任何問題都可以從定義上來得到解決，因此根據一元函數導數的定義，我們可以求一些比較基本的問題。一元函數導數的定義如下：設函數=在點的某一鄰域內有定義，若自變量在處的改變量為（0，+)仍在該鄰域內時，相應的函數有增量=;如果與之比當時，有極限=存在，則稱這個極限為=在=處的導數。并且說，函數=在=處可導，記作。例1 若設函數=2，則=（ ） A2 B.6 C. D.0分析 該題目就是考察有關導數定義的題目，因此觀察這個極限可以發(fā)現它與函數導數的定義形式很是類似。要從定義入手，其解答過

6、程如下：=3=3=32=6因此正確答案為B。2.四則運算求導法2.1利用導數的四則運算法則導數的四則運算法則為：設在處可導，有：=， =+，=，。例2 1.=; 2.=; 3.=,;解 1.=；2. =2x+3;3.=;2.2利用四則運算法則求導應注意的問題 應先將函數簡化為最簡形式，這樣可以為下一步求導省去很多的計算過程。 在求導運算中，加、減、乘比較簡單，而除法不太方便。因此，對于類似于根式除法形式的函數可以先將其改為乘法運算形式，更方便做求導運算。3.復合函數求導法3.1利用復合函數的求導法則3.1.1公式法設由=,構成復合函數=。若在處可導，=在處可導，則復合函數=在處可導，且有。若是

7、多層復合函數，則可以逐次使用此方法求它的導數。例3 1. = 2. =解 1.令=，由復合函數的求導法則可以得 ，即=； 2令，則由復合函數的求導法則得：=3。 3.1.2利用復合函數的求導法則時應注意的問題 求復合函數的導數一直以來都是高等數學中學習的重點與難點，因此在復合函數的求導過程中一定要由表及里層層解決，不要漏層： 若是復合函數的各層函數均是基本初等函數： 正確地分析此復合函數有哪些中間變量并依次求導，最后相乘即可； 若在此函數中包含了四則運算，則要按四則運算的規(guī)則進行。 若是復合函數中含有類似于或是分段函數的形式，應先把最終的復合函數用分段函數表達出來。當在不同區(qū)間上的函數均為初等

8、函數時，在各區(qū)間內部可按初等函數的導數進行求導，而在分段點上應按分段函數導數進行求解。 根據一階微分的不變性可知，可以求出的微分，然后式子兩邊同時去掉，即可得。由此當是復合函數時，可利用一階微分不變性由表及里層層求出的微分，然后得。 在復合函數的求導過程中，應注意以下幾點： 與的差別：前者為導數在的值，而后者表示的是一個常數（即在處的函數值）的導數即為0。 與的另一差別：前者為對求導后得到的，將代入即可；而后者表示復合函數，關于的導數，必須使用復合函數的求導法則。 與的關系為：。3.2反函數求導法設為的反函數，若在點的某鄰域內連續(xù)，嚴格單調且，則在點（）可導，且。證 令，由于函數在點的某鄰域內

9、連續(xù)且嚴格單調，則在的某鄰域內連續(xù)且嚴格單調。因此，當且僅當時，且當且僅當時。故由，可得：。對于一些不能直接求導數的函數，可以間接的先求其反函數的導數，然后再由這個公式求得原函數的導數。例4 證明。證明 令，則，。 根據反函數的求導法則，可得：，其中。 因為， 所以。3.3參數方程的求導法設=是由參數方程=，=所確定的函數，其中，在區(qū)間I內可導，且0，則=。若是，在二階可導，則可進一步求出二階導數，即=例5 設=，=,則=? （2010年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一的二（9）題）解 利用參數方程的求導法可得，=-，=,則有=-,= = =故：=0 3.4隱函數的求導法設有二元函數，在區(qū)間I

10、上存在函數=滿足=0，則稱這個函數=為方程在區(qū)間I上確定的隱函數。若可以表示為其顯函數即=的形式，則要先求出的顯函數，然后根據其顯化形式=選擇合適的方法求導；若不能表示為=的形式，在求時，常用下列方法:要先在方程的兩邊同時對進行求導，則可求得或是所滿足的方程，再解出或即可；將方程兩邊同時微分，寫成形式，即可求出； 公式法：由二元函數確定的隱函數y=的導數為：其中分別是二元函數對的偏導數。例6 已知函數=由確定，則=？解 方法一：當時，由題目所給的方程得=0。先在此方程兩邊對求導，可得：，然后將帶入上式，得=0。方法二：，則利用上述的公式法，可得：，將代入此式，故得：=0。方法一中將看做自變量，

11、則是關于的一元函數，而方法二中均是自變量，則是關于的二元函數。3.5冪指數函數的求導法對于冪指數函數的求導，一般是不能直接求出其導數，經常使用的方法有轉化形式法和對數求導法。3.5.1轉化形式法將表示成的形式，然后求導（其中,均可導）即：=3.5.2對數求導法將兩邊分別取對數,得。然后兩邊對求導得。因此， 。例7 設+，求=？解 可先分別求出和的導數，最后根據導數的四則運算求出， 令，將兩邊同時取對數，則：，然后兩邊對求導，即：， 。故：在這兩個方法中，對數求導法不僅適用于冪指數函數，而且還便于計算函數連乘積、函數乘方、函數開方等形式的導數。它是簡化簡化求導的一種方法，但在有加減運算時慎用。例

12、8 設，求。解 這是個連乘積的求導，應用對數求導法更方便。因為函數可以取負值，故先取絕對值后再取對數，得：，對求導，得：，因此：。3.6變限積分的求導法設在連續(xù)，在可導，當時，則在可導，且：例9 設連續(xù)，則（ ）。（1998年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一的一（3）題） A. B. C. D.解 令，則，故： 即答案為A. 在求變限積分函數的導數時要注意：若被積函數中含有積分上限變量，一般先把提到積分號外才能求導，若是不能直接提出積分號，則可考慮用換元法將變換成積分的上下限，再求導。4.分段函數的求導法當求分段函數的導數時，關鍵是求連接點處的導數。求連接點處的導數一定要按左右導數定義進行計算

13、，只有當左右導數相等時，才認為函數在連接點處可導；若是不相等，則函數的導數在連接點處是沒有定義的。對非連接點處的求導就是通常的非分段函數的求導，那如何求連接點處的導數？ 不同的情形可分三種：按求導法則分別求出連接點處的左右導數； 設，為某常數，若，又。按定義求出連接點處的導數或左右導數；設，其中為某常數，在處無定義，則可按定義求:,.若上述極限均存在且相等，記為，則。連接點是連續(xù)點時，求導函數在連接點處的極限值。設的空心鄰域內可導且在處連續(xù)。若存在極限，則。例10 確定常數a和b,使得函數 ，處處可導。解 這是一個分段函數，根據題目可知，由于在處可導，可知在 處連續(xù)。由函數的表達式可知，在右連

14、續(xù)，故在連又因為在可導.則： ，.因此在處可導，故當 時處處可導。5.高階導數的求法在解決高階導數的問題時，可以使用的方法是有多種的，而常用的方法依次為下：5.1歸納法對于一些函數可以先逐一求出的一、二、三階導數，若是觀察出其規(guī)律性，就可以寫出的公式，然后利用歸納法證明。例11 設函數有任意階導數且，則？（>2）分析 將兩邊分別求導，得，再求導，得：=。由此可歸納證明的：5.2分解法通過恒等變形將某些比較復雜函數分解為若干個簡單的初等函數之和，常有的情形如下：有理函數和無理函數的分解:在求分式有理函數的高階導數時，可先將有理假分式用多項式除法變?yōu)檎脚c有理真分式之和，再將有理真分式寫為部

15、分分式之和，利用公式求出所給函數的n階導數；求由的和、差、積所組成函數的高階導數，可以利用三角函數中積化和差與倍角公式把函數的項數逐次降低變?yōu)橹突虿畹男嗡疲倮霉剑蟪鏊o函數的導數即可。例12 求下列 1. 2.解 1.因為，則：= =2. 利用 故：5.3利用萊布尼茨公式若存在，則乘積的階導數可用萊布尼茨公式=（其中）。例10 設，求？解 在使用萊布尼茨公式求解該題時，有， 得：= =5.4利用泰勒公式的展開式求導數若函數能夠展開成的冪級數，則必是函數的泰勒展開式：=。因此，若是得到展開式=，則知：例12 設，求解 根據上述所說的方法，可以先求出帶皮亞諾余項的麥克勞林公式： 令，則由

16、 ,得 則可得 。上述主要總結了五種不同類型函數的求導方法，其中的公式法可以適用于任何類型的函數，但有時解題過程很復雜。復合函數求導法，高階導數的求導法需要重點掌握，并能夠靈活運用。此外求解一元函數導數的方法還有很多，本文只是介紹了幾種比較常用并易于掌握的方法，而且只是給出了一元函數的求導方法，對二元函數甚至是多元函數的偏導數問題可以由一元函數的求導方法類推，其中一元復合函數的求導法則對于求解多元函數的高階偏導數問題尤為重要。因此一元函數的求導問題至關重要，對于如何求出各種形式一元函數的導數的問題仍需要進一步深入探討的，在學習中善于發(fā)現和總結出新的方法。參考文獻1華東師范大學數學系.數學分析上冊（第三版）M.北京：高等教育出版社，2001.2王建福.高等數學同步輔導及習題全解（第五版）M.徐州:中國礦業(yè)大學出版,2006.3李正元，李永樂，袁蔭棠, 等.數學復習全書（數學一）M.北京：國家行政學院出版社,2009.4同濟大學應用數學系主編.高等數學上冊（第五版）M.北京：高等教育出版社,2007.5陳文燈.考研數學10年真題點評（數學一）M.北京：北京理工大學也出版社,2010.6錢吉林，等.數學分析題解精粹（第二版