1、數學： 1.1 兩個計數原理教案（新人教 B 版選修 2-3 ）1 1 分類加法計數原理和分步乘法計數原理課標要求：知識與技能：理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理；會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題；過程與方法：培養學生的歸納概括能力；情感、態度與價值觀：引導學生形成" 自主學習" 與 " 合作學習 " 等良好的學習方式教學重點：分類計數原理（ 加法原理） 與分步計數原理（ 乘法原理 ）教學難點：分類計數原理（ 加法原理） 與分步計數原理（ 乘法原理） 的準確理解授課類型：新授課課時安排：2 課時教 具：多媒體、實物投影儀教學過程：引入課題先

2、看下面的問題：從我們班上推選出兩名同學擔任班長，有多少種不同的選法？把我們的同學排成一排，共有多少種不同的排法？要解決這些問題，就要運用有關排列、組合知識. 排列組合是一種重要的數學計數方法. 總的來說，就是研究按某一規則做某事時，一共有多少種不同的做法.在運用排列、組合方法時，經常要用到分類加法計數原理與分步乘法計數原理. 這節課，我們從具體例子出發來學習這兩個原理.1 分類加法計數原理（ 1）提出問題問題1.1 ：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？問題1.2 ：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車. 如果一天中火車有3 班，汽車有2 班

3、 . 那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？探究：你能說說以上兩個問題的特征嗎？（ 2）發現新知分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1 類方案中有種不同的方法，在第2 類方案中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.（ 3）知識應用例 1. 在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到，A,B 兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業，具體情況如下：A 大學B 大學生物學數學化學會計學醫學信息技術學物理學法學工程學如果這名同學只能選一個專業，那么他共有多少種選擇呢？分析：由于這名同學在A , B 兩所大學中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業，又由于兩所大學沒有

4、共同的強項專業，因此符合分類加法計數原理的條件解：這名同學可以選擇A , B 兩所大學中的一所在A 大學中有5 種專業選擇方法，在 B 大學中有4 種專業選擇方法又由于沒有一個強項專業是兩所大學共有的，因此根據分類加法計數原理，這名同學可能的專業選擇共有5+4=9（種）.變式：若還有C大學，其中強項專業為：新聞學、金融學、人力資源學. 那么，這名同學可能的專業選擇共有多少種？探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1 類方案中有種不同的方法，在第2 類方案中有種不同的方法，在第3 類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情有類不同方案，在每一類中都有若干種不同

5、方法，那么應當如何計數呢？一般歸納：完成一件事情，有n 類辦法，在第1 類辦法中有種不同的方法，在第2 類辦法中有種不同的方法 在第 n 類辦法中有種不同的方法. 那么完成這件事共有種不同的方法.理解分類加法計數原理：分類加法計數原理針對的是" 分類 " 問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事.2 分步乘法計數原理（ 1）提出問題問題 2.1 ：用前 6 個大寫英文字母和1-9 九個阿拉伯數字，以 ,. ， ,. 的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？用列舉法可以列出所有可

6、能的號碼：我們還可以這樣來思考：由于前6 個英文字母中的任意一個都能與9 個數字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6X9 = 54個不同的號碼.探究：你能說說這個問題的特征嗎？（ 2）發現新知分步乘法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2 類方案中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法.（ 3）知識應用例 2. 設某班有男生30 名，女生24 名 . 現要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？分析：選出一組參賽代表，可以分兩個步驟第l 步選男生第 2 步選女生解：第 1 步，從 30 名男生中選出1 人，有 30

7、種不同選擇；第 2 步，從 24 名女生中選出1 人，有 24 種不同選擇根據分步乘法計數原理，共有30 X 24 =720種不同的選法探究：如果完成一件事需要三個步驟，做第1 步有種不同的方法，做第2 步有種不同的方法，做第3 步有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情需要個步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應當如何計數呢？一般歸納：完成一件事情，需要分成n 個步驟，做第1 步有種不同的方法，做第2 步有種不同的方法 做第 n 步有種不同的方法 . 那么完成這件事共有種不同的方法.理解分步乘法計數原理：分步計數原理針對的是" 分步 " 問

8、題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事.3理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理異同點相同點：都是完成一件事的不同方法種數的問題不同點：分類加法計數原理針對的是 “分類"問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數原理針對的是" 分步 " 問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.3

9、綜合應用例 3. 書架的第1 層放有 4 本不同的計算機書，第2 層放有 3本不同的文藝書，第3 層放 2 本不同的體育書.從書架上任取1 本書，有多少種不同的取法？從書架的第1、 2、 3 層各取 1 本書，有多少種不同的取法？從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？【分析】要完成的事是" 取一本書" ，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應用分類計數原理.要完成的事是" 從書架的第1、 2、 3 層中各取一本書" ，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分，只有第1、2 、 3 層都取后，才能完成這件事，因此是

10、分步問題，應用分步計數原理.要完成的事是" 取 2 本不同學科的書"，先要考慮的是取哪兩個學科的書，如取計算機和文藝書各1 本，再要考慮取1本計算機書或取1 本文藝書都只完成了這件事的一部分，應用分步計數原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選法的種數之間還應運用分類計數原理.解： (1) 從書架上任取1 本書，有3類方法：第1 類方法是從第 1 層取 1 本計算機書，有4 種方法；第2 類方法是從第3 層取 1 本文藝書，有3 種方法；第3 類方法是從第3 層取 1 本體育書，有2 種方法根據分類加法計數原理，不同取法的種數是=4+3+2=9;( 2 )從

11、書架的第1 , 2 , 3 層各取 1 本書，可以分成3個步驟完成：第1 步從第 1 層取 1 本計算機書，有4 種方法；第2 步從第 2 層取 1 本文藝書，有3 種方法；第4 步從第 3 層取 1 本體育書，有2 種方法根據分步乘法計數原理，不同取法的種數是=4X 3X2=24 .( 3)。例 4. 要從甲、乙、丙3 幅不同的畫中選出2 幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？解：從 3 幅畫中選出2 幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1 步，從 3 幅畫中選1 幅掛在左邊墻上，有3 種選法；第2 步，從剩下的2 幅畫中選1 幅掛在右邊墻上，有2 種選法

12、根據分步乘法計數原理，不同掛法的種數是N=3X 2=6 .6 種掛法可以表示如下：分類加法計數原理和分步乘法計數原理，回答的都是有關做一件事的不同方法的種數問題區別在于：分類加法計數原理針對的是" 分類 " 問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事，分步乘法計數原理針對的是" 分步 " 問題，各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事練習1填空：( 1 )一件工作可以用2 種方法完成，有5 人只會用第1種方法完成，另有4 人只會用第2 種方法完成，從中選出l人來完成這件工作，不同選法的種數是；( 2 )從 A 村去

13、B 村的道路有3 條，從 B 村去 C 村的道路有2條，從A村經B的路線有一條.2現有高一年級的學生3 名，高二年級的學生5 名，高三年級的學生4 名 ( 1 )從中任選1 人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？村去C 村，不同( 2 )從 3個年級的學生中各選1 人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？3在例1 中，如果數學也是A 大學的強項專業，則A 大學共有 6 個專業可以選擇，B 大學共有4 個專業可以選擇，那么用分類加法計數原理，得到這名同學可能的專業選擇共有6 + 4 = 10(種).這種算法有什么問題？例 5. 給程序模塊命名，需要用3 個字符，其中首字符要求用字母AG或U

14、Z ,后兩個要求用數字19.問最多可以給多少個程序命名？分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第1 步，選首字符；第2 步，選中間字符；第3 步，選最后一個字符而首字符又可以分為兩類解：先計算首字符的選法由分類加法計數原理，首字符共有7 + 6 = 13種選法再計算可能的不同程序名稱由分步乘法計數原理，最多可以有13X 9X9 = = 1053個不同的名稱，即最多可以給1053 個程序命名例6.核糖核酸（RNA分子是在生物細胞中發現的化學成分一個 RNA 分子是一個有著數百個甚至數千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學成分所占據總共有 4 種不同的堿基，分別用A,C,G

15、,U 表示在一個RNA 分子中，各種堿基能夠以任意次序出現，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關假設有一類RNA分子由 100 個堿基組成，那么能有多少種不同的RNA 分子？分析：用圖1. 1 一 2 來表示由100 個堿基組成的長鏈，這時我們共有100 個位置，每個位置都可以從A , C , G , U 中任選一個來占據解： 100 個堿基組成的長鏈共有100 個位置，如圖1 . 1 一2 所示從左到右依次在每一個位置中，從A , C , G , U 中任選一個填人，每個位置有4 種填充方法根據分步乘法計數原理，長度為100 的所有可能的不同RNA 分子數目有（個）例 7. 電子

16、元件很容易實現電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態，而這也是最容易控制的兩種狀態因此計算機內部就采用了每一位只有O 或 1 兩種數字的記數法，即二進制為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節來表示，其中字節是計算機中數據存儲的最小計量單位，每個字節由8 個二進制位構成問：(1 )一個字節(8 位)最多可以表示多少個不同的字符？(2 )計算機漢字國標碼(GB 碼)包含了6 763 個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節表示？分析：由于每個字節有8 個二進制位，每一位上的值都有0,1 兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因

17、此可以用分步乘法計數原理求解本題解： (1 )用圖 1.1 一 3 來表示一個字節圖 1 . 1 一 3一個字節共有8 位，每位上有2 種選擇根據分步乘法計數原理，一個字節最多可以表示2X2X2X2X2X2X2X2二28 =256 個不同的字符；( 2)由(1 )知，用一個字節所能表示的不同字符不夠6763 個，我們就考慮用2 個字節能夠表示多少個字符前一個字節有256 種不同的表示方法，后一個字節也有256 種表示方法根據分步乘法計數原理，2 個字節可以表示256X 256 = 65536個不同的字符，這已經大于漢字國標碼包含的漢字個數6763所以要表示這些漢字，每個漢字至少要用2 個字節表

18、示例 8. 計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試程序員需要知道到底有多少條執行路徑（即程序從開始到結束的路線），以便知道需要提供多少個測試數據一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成如圖1.1 一 4，它是一個具有許多執行路徑的程序模塊問：這個程序模塊有多少條執行路徑？另外，為了減少測試時間，程序員需要設法減少測試次數你能幫助程序員設計一個測試方法，以減少測試次數嗎？圖 1.1 一 4分析：整個模塊的任意一條執行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執行到A 點；第 2 步是從 A 點執行到結束而第1 步可由子模塊1 或子模塊2 或子模塊3 來完成；第 2 步可由子模塊4 或子模塊5 來完成

19、因此，分析一條指令在整個模塊的執行路徑需要用到兩個計數原理解：由分類加法計數原理，子模塊1 或子模塊2 或子模塊3 中的子路徑共有18 + 45 + 28 = 91（條）;子模塊 4 或子模塊5 中的子路徑共有38 + 43 = 81（條）.又由分步乘法計數原理，整個模塊的執行路徑共有91X81 = 7 371 （條）.在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊這樣，他可以先分別單獨測試5 個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常總共需要的測試次數為18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172.再測試各個模塊之間的信息交流

20、是否正常，只需要測試程序第 1 步中的各個子模塊和第2 步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數為3X2=6 .如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常這樣，測試整個模塊的次數就變為172 + 6=178 （次）.顯然， 178 與 7371 的差距是非常大的你看出了程序員是如何實現減少測試次數的嗎？例 9. 隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3 個不重復的英文字母和3 個不重復的阿拉伯數字，并且3 個字母必須合成一組出現， 3 個數字也

21、必須合成一組出現那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？分析：按照新規定，牌照可以分為2 類，即字母組合在左和字母組合在右確定一個牌照的字母和數字可以分6 個步驟解：將汽車牌照分為2 類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右字母組合在左時，分6 個步驟確定一個牌照的字母和數字：第 1 步，從 26 個字母中選1 個，放在首位，有26 種選法；第2 步，從剩下的25 個字母中選1 個，放在第2 位，有25種選法；第3 步，從剩下的24 個字母中選1 個，放在第3 位，有24種選法；第 4 步，從 10 個數字中選1 個，放在第4 位，有 10 種選法；第5 步，從剩下的9 個數字中選1 個，放在

22、第5 位，有9 種選法；第6 步，從剩下的8 個字母中選1 個，放在第6 位，有8 種選法根據分步乘法計數原理，字母組合在左的牌照共有26 X25X24X 10X9X8=11 232 000 （個）同理，字母組合在右的牌照也有11232 000 個所以，共能給11232 000 + 11232 000 = 22464 000（個）輛汽車上牌照用兩個計數原理解決計數問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析 需要分類還是需要分步分類要做到" 不重不漏" 分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數分步要做到"步驟完整" 完成了所有

23、步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立分步后再計算每一步的方法數，最后根據分步乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數練習1乘積展開后共有多少項？2某電話局管轄范圍內的電話號碼由八位數字組成，其中前四位的數字是不變的，后四位數字都是。到9 之間的一個數字，那么這個電話局不同的電話號碼最多有多少個？3從5 名同學中選出正、副組長各1 名，有多少種不同的選法？4某商場有6 個門，如果某人從其中的任意一個門進人商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場的方式？鞏固練習：書本第9 頁 練習 1 ， 2， 3 習題 1. 11 ， 2課外作業：第12 頁 習題 1. 1 3 ,

24、 4 , 5例 1. 一螞蟻沿著長方體的棱, 從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條？解：從總體上看，如，螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成, 所以 ,第一類，ml =1X2 = 2條第二類，m2 =1X2 = 2條第三類，m3 =1X2 = 2條所以，根據加法原理,從頂點A到頂點C1最近路線共有N = 2 + 2 + 2= 6條例2 . 如圖, 要給地圖A、 B、 C、D 四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種, 允許同一種顏色使用多次, 但相鄰區域必須涂不同的顏色, 不同的涂色方案有多少種？解 : 按地圖A、 B、 C、 D 四個區域依次分四步完成

25、,第一步,m1 =3種,第二步,m2 =2種,第三步,m3 =1種,第四步,m4 =1種,所以根據乘法原理,得到不同的涂色方案種數共有 N = 3 X2 X1X1=6變式1,如圖，要給地圖A、B、C、D四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種, 允許同一種顏色使用多次, 但相鄰區域必須涂不同的顏色, 不同的涂色方案有多少種？2 若顏色是2 種， 4 種， 5 種又會什么樣的結果呢？75600 有多少個正約數?有多少個奇約數?解：由于 75600=24X33X 52X7（1） 75600 的每個約數都可以寫成的形式, 其中 ,于是 , 要確定75600的一個約數, 可分四步完成, 即分別在各自的范

26、圍內任取一個值, 這樣有 5 種取法 , 有 4 種取法 , 有 3 種取法 , 有 2 種取法 , 根據分步計數原理得約數的個數為5X4X3X2=120 個.鞏固練習：1. 如圖 , 從甲地到乙地有2 條路可通, 從乙地到丙地有3 條路可通 ; 從甲地到丁地有4 條路可通, 從丁地到丙地有2 條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？2. 書架上放有3 本不同的數學書，5 本不同的語文書，6本不同的英語書（ 1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？（ 2） 若從這些書中，取數學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？（ 3） 若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？3. 如圖一 , 要給 , , , 四塊區域分別涂上五種顏色中的某一種, 允許同一種顏色使用多次, 但相鄰區域必須涂不同顏色 , 則不同涂色方法種數為（）A. 180 B. 160 C. 96 D. 60若變為圖二, 圖三呢 ?5. 五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？6（2007 年重慶卷）若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成（C ）A 5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分課外作業：第10 頁 習題