1、精選優質文檔-傾情為你奉上2010高教社杯全國大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 我們的參賽

2、報名號為（如果賽區設置報名號的話）： 所屬學校（請填寫完整的全名）： 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：賽區評閱記錄（可供賽區評閱時使用）：評閱人評分備注全國統一編號（由賽區組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：輸油管的布置 摘要 “輸油管的布置”數學建模的目的是建立起數學模型尋求使鋪設管道費用最低的設計方案。但是不同于普遍的最短路徑問題，他受各種

3、實際情況影響，例如，城區和郊區費用的不同，采用共用管線和非公用管線價格的不同等都會對設計產生影響。我們基于最短路徑模型，對于題目實際情況進行研究和分析，對三個問題都設計了合適的數學模型做出了相應的解答和處理。問題一：此問只需考慮兩個煉油廠和鐵路之間的位置關系，根據位置的不同設計相應的模型，我們根據光的傳播原理和兩大間線段最短的原則設計了最短路徑模型，在不考慮共用管線價格差異時，只需考慮如何設計最短路線即可得到最低費用的設計方案；在考慮共用管線差價的情況下，只需建立兩個未知變量，當代入已知常量，就可以解出變量的值。問題二：此問給出了兩個加油站的具體位置，在此基礎上增加了城區和郊區鋪設管線單位價格

4、的不同，我們進一步改進了數學模型，由于鋪設費用存在差異，輸油管在城區和郊區的鋪設將不會是直線方式，基于該模型，我們在模型基礎上建立直角坐標系，設計2個變量就可以列出最低費用函數，利用C+編輯程序求借出最小值。問題三：該問題的解答方法和問題二類似，但由于城郊管線和共用管線三者的價格均不一樣，我們利用問題二中設計的數學模型進行改進，在坐標系內增加一個變量，建立最低費用函數，并且利用C+解出最低費用和路徑坐標。 關鍵字： c+程序設計 光的傳播原理 數學模型 最低費用輸油管的布置一、問題的重述某油田計劃在鐵路線一側建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油。由于這種模式具有一定的普遍

5、性，油田設計院希望建立管線建設費用最省的一般數學模型與方法。1. 針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設計方案。在方案設計時，若有共用管線，應考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形。2. 設計院目前需對復雜情形進行具體的設計。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中A廠位于郊區（圖中的I區域），B廠位于城區（圖中的II區域），兩個區域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管線的鋪設費用均為每千米7.2萬元。 鋪設在城區的管線還需增加拆遷和工程補償等附加費用，為對此項附加費用進

6、行估計，聘請三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級資質，公司二和公司三具有乙級資質）進行了估算。估算結果如下表所示：工程咨詢公司公司一公司二公司三 附加費用（萬元/千米）212420請為設計院給出管線布置方案及相應的費用。3. 在該實際問題中，為進一步節省費用，可以根據煉油廠的生產能力，選用相適應的油管。這時的管線鋪設費用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費用同上。請給出管線最佳布置方案及相應的費用。二、模型假設1、管道均以直線段鋪設，不考慮地形影響。2、不考慮管道的接頭處費用。3、忽略鋪設過程中的勞動力費用，

7、只考慮管線費用。4、將兩煉油廠和車站近似看作三個點。5、將鐵路近似看作一條直線。6、不考慮施工之中的意外情況，所有工作均可順利進行。7、共用管線的價格如果和非公用管線不一致，則共用管線價格大于任意一條非公用管線價格，小于兩條非公用管線價格之和。8、根據查詢資料我們可以為所給出的三個工程咨詢公司進行分權，甲級資質分權0.4，乙級資質分權為0.3。9、假設共用管線與非共用管線存在價格差時，共用管線價格大于非共用管線價格低于兩倍的非共用管線價格。10、默認A煉油廠距離鐵路比B煉油廠近。三、符號說明W：方案的經費a：A廠到鐵路的距離b：B廠到鐵路的距離c: A廠到城郊分界線的距離l: A、B兩廠之間的

8、鐵路長度m：共用管道的費用（萬元/千米）n：非共用管道費用（萬元/千米）L: 為管線總長度h：共用管線的長度x1：車站的橫坐標（問題二）y1：城郊分界處拐點的縱坐標（問題二）x2：共用管線和非共用管線交點的橫坐標（問題三）y2：城郊分界處拐點的縱坐標（問題三）p：附加費用的估計值。四、問題分析問題一：首先要考慮兩個工廠是否在鐵路的同一側，如果兩個工廠在鐵路的同一側那么一定要考慮共用管線的問題。如果不在鐵路的同一側那么就沒有必要考慮共用管線這個問題。當兩個工廠在鐵路兩邊時，根據兩點之間線段最短的原理只要求出兩廠之間的距離，就可以得到最低費用設計；當兩個工廠在鐵路的同一側時，且當沒有共用管線時，只

9、需利用光的傳播原理可得到最短路徑；在考慮到有共用管線時，需建立方程求解最低消費設計方案。問題二：這個問題從市區和郊區分兩個部分分析，火車站建立在郊區費用要少；因為郊區非共用管線與共用管線的費用相同，所以可以用最短路徑的方法來考慮，同時又要求費用最小，可以通過方程解出最低費用及對應的鋪設線路。問題三：通過建立坐標系設兩個點的坐標，同時也是表示出管線的長度，然后再與各自的費用之積確定總的費用，從而算出兩點的坐標值。即確定了管線的路線。五、模型的建立與求解 5.1關于問題1的模型建立與求解 對于管線布置的分析，分為兩種情況：1、 兩個煉油廠在鐵路兩側，如圖所示：CAEDablB兩煉油廠A,B直接的連

10、線與鐵路的交點E為車站位置 此時L=此時為最低費用設計方案。2、兩個煉油廠位于鐵路的同一側,則需考慮有無共用管線兩種情況：a.當沒有公用管線時，此時找出兩廠與鐵路交點連線的最近路線即可，如圖：CAEDablBAa過鐵路CD作A點的對稱點A，連接AB，與鐵路相交于點E即為車站所在位置，此時L= 此時為最低費用設計方案。b當存在共用管線時：A、當共用管線與非共用管線價格相同，均為m時： 設計方案如圖所示ACDBblhEFa2xxYX假設公共管線長度為h；（0hb）x=a-h （1）L=+h （2）L=+h （3）W=Lm=m*+m*h （4）當實際情況下已知a，b，l的情況下，上式只存在一個未知數

11、h，再結合h的范圍即可得出最低費用的設計方案。B、當共用管線價格為m，非共用管線價格為n；（nm2n）設計方案如圖所示：AaClxhFEbBDW=h*m+n*+n*其中： 0xl； 0hb；實際情況下的費用可以根據已知道的常量a、b、l再結合x、h的取值范圍可以得出最小費用。5.2關于問題2的模型建立與求解因為在城區和郊區鐵路管線的費用相同，而在城區有拆遷和工程補償等費用，所以城區和郊區要分為兩部分來考慮。我們從三家咨詢公司給出的三個方案來看，我們考慮到甲級資質和乙級資質的評估準確性，所以我們對三家公司進行分權，甲級資質的權重為40%，乙級資質的權重為30%所需要的附加費預估值為p=0.4*2

12、1+0.3*24+0.3*20=21.6(萬元/千米)由于城區管線鋪設所花費的費用比較大 ，所以車站站點建設在郊區才是相對節約經費的。我們根據共用管線與非共用價格相同設計出如下圖所示模型：F（x1，h）G（5，y1）A5ChEBD82015x2xYX如上圖所示建立坐標系，在城區部分我們可以得到每千米鋪設管線費用為21.6+7.2=28.8萬元。W=7.2*（h+）+28.8* （1）x=5-h （2）W= 7.2*（h+）+28.8* （3）其中 0h8 0y18利用C+程序編輯器編輯程序求解：最小費用W=283.201萬。5.3關于問題3的模型建立與求解根據城郊管線之間以及共用管線之間存在價

13、格差異，我們建立出如下圖的模型：F（x2，h）G（5，y2）A5ChEBD82015x2xYXG為B管線與分界線之間的交點；F為A，B管線間的交點；A廠到F點距離：AF=；GF之間距離：FG=；B廠到G點距離：BG=；共用管道FE距離為h；0h8；5x220；0y28；總費用：W=5.6*AF+6*GF+7.2*EF+（21.6+6）*BG (1)W=5.6*+6*+7.2*h+27.6*利用C+程序編輯器編輯程序求解：得到最低的費用為W=252.474萬元。六、模型的評價與應用從實際的生活出發輸油管道是石油生產過程中的重要環節，石油工業始終離不開輸油管線的鋪設問題。它是煉油廠、車站、用戶、產

14、地之間的重要環節。優點：利用數學模型的建立，是復雜的實際問題簡單化，同時又與實際情況相聯系。建立合適的數學模型可以使設計達到最優的目的，使解決復雜的時間問題更加簡單化，更加得節約和快捷。缺點：該模型進行了很多假設，比如忽略接頭問題，和施工費用問題，以及忽略了地形對施工的影響。在計算過程中由于C+程序編程循環過于龐大，即采用由粗至細的運算方法，存在一定誤差。應用：模型在實際運用中，不僅僅可以用在成品油運輸管布置，還可運用到原油輸送和污水處理，電線電纜的布置還有公路鐵路的修建等一些列的線路布置問題。附錄問題二的C+程序片段#include<iostream.h>#include<

15、math.h>void main() double h,y1,w;double a,b;h=0;int i,j;double min=10000;for(j=0;j<=80000;j+)h=h+0.0001;y1=0;for(i=0;i<=80000;i+)y1=y1+0.0001;w=28.8*sqrt(8-y1)*(8-y1)+25)+(sqrt(y1+5-2*h)*(y1+5-2*h)+225)+h)*7.2;if(min>w)min=w;a=h;b=y1;cout<<"w="<<min<<'n

16、9;cout<<"h="<<a<<'n'cout<<"y1="<<b<<'n'問題二的C+程序片段：#include<iostream.h>#include<math.h>void main() double h,y2,x2,w;double a,b,c;h=0;y2=0;x2=5;int i,j,k;double min=10000;for(i=0;i<=8;i+)h=h+1;y2=0;for(j=0;j<=8;j+)y2=y2+1;x2=5;for(k=0;k<=15;k+)x2=x2+1;w=27.6*sqrt(8-y2)*(8-y2)+25)+5.6*sqrt(5-h)*(5-h)+(20-x2)*(20-x2)+6*sqrt(x2-5)*(x2-5)+(y2-h)*(y2-h)+7.2*h;if(min>w)min=w;a=h;進一步細化：#include<iostream.h>#include<math.h>void main() double h,y2,x2,w;double a,b,c;h=0.13;y2=0;x2=5;int