1、-WORDB式一專業資料-可編輯-2019高考理科數學模擬試題（一）考試時間：120分鐘注意事項：1 .答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2 .請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、選擇題 體題共12小題，每小題5分，共60分, 每小題只有一個選項符合題意）1,已知集合 M=x|y=x 2+1 , N=y|y= 4?1,貝U M CN=（）A. (0, 1) B. x|x >- 1 C. x|x >0 D .x|x >13 .復數z=*的共轉復數的虛部為（）i+iA. - -1-i B. , C . 'i4 .已知命題p：存在向量已,使得白？ 二 |君|

2、?|可，命 題q：對任意的向量彳，E,"若:?Z=：?,則芯=彳.則下 列判斷正確的是（）A.命題p V q是假命題B .命題p A q是真命題C.命題pV （q）是假命題 D.命題pA （q）是真命題4.2017年5月30日是我們的傳統節日-端午節”，這天小明的媽媽為小明煮了 5個粽子，其中兩個臘肉餡三個豆沙餡，小明隨機取出兩個，事件A= ”取到 的兩個為同一種餡"，事件B= ”取到的兩個都是豆沙餡”，則 P ( B|A )=()A洱j C.1ioD.3105.已知銳角a的終邊上一點 P（sin40 1+cos40 ° ）則a等于（）A. 10° B.

3、 20 0 C. 70 0 D. 80 °6.已知函數 f,若 m二f 4）,b=f （兀）C=f （5）,則（）A. cc be a B. cc a< b C. be cc a D . a< cc b7閱讀程序框圖，如果輸出的函數值在區間一一一內，則輸入的實數x的取值范圍是（A. (-oo5 - 2 B.2, - 1 C. - 1, 2 D . 2, + OO）8. 一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體-y的最大值的變化范圍是（）D,6目標函數z=xA. 3, 8 B. 5, 8 C. 3, 6 D. 4, 710 .已知正實數a, b滿足a+b=3,貝I七端的

4、最小值為（）A. 1 B.1 C. 4 D. 2 3811 .已知 aW R,若 f （x） = （x+且）eX在區間（0, 1） K上只有一個極值點，則a的取值范圍為（）A. a>0 B. aw 1C. a> 1 D. aw02212 .設橢圓C:9+¥=1 （a>b>0）的左、右焦點分 a b別為'、F2,其焦距為2c,點Q （c, f）在橢圓的內 J部，點P是橢圓C上的動點，且|PF1|+|PQ| <5|FF2|恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. （i 亭）B. G，冬 C. （|5與）D.（看,堂）第n卷（非選擇題，共90分）二、填

5、空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）TT13 .已知pJ&cex,則二項式G之了展開式中的常數項是.14 .函數 f （x） =Asin （gj）+（）（A>0, 3 >0, 0<（）<兀的圖象關于y軸對稱，該函數的部分圖象如圖所示, PMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，且則 f (1)的值為 .15 .在平面直角坐標系中，有ABC,且A (-3, 0), B (3, 0),頂點C到點A與點B的距離之差為4,則 頂點C的軌跡方程為.16 . 一個長，寬，高分別為1、2、3密封且透明的長 方體容器中裝有部分液體，如果任意轉動該長方體， 液面的形狀都不可能

6、是三角形，那么液體體積的取值 范圍是.三、解答題(共6小題，共70分，解答應寫出文字說 明、證明過程或演算步驟)17. (12分)已知數列an 滿足a=1 , 4+產1一言，其中nWN*.(I)設bn=5TZT5求證：數列bn是等差數列，并求出an的通項公式(n)設& =雜，數列CnCn+2的前n項和為Tn,是 否存在正整數m,使得Tn<7T-；對于nWN*恒成立， 若存在，求出m的最小值，若不存在，請說明理由.18. (12分)從某校高三上學期期末數學考試成績中，隨機抽取了 60名學生的成績得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)根據頻率分布直方圖，估計該校高三學生本次數 學考試的

7、平均分；若用分層抽樣的方法從分數在30, 50)和130, 150的學生中共抽取6人，該6人中成績在130, 150 的有幾人？(3)在(2)抽取的6人中，隨機抽取3人，計分數 在130, 150內的人數為E,求期望E (E)19. (12分)如圖，已知平面 QBC與直線PA均垂直于RtZXABC所在平面，且 PA=AB=AC .(I )求證：PA/平面QBC;(n) PQ，平面QBC,求二面角 Q-PB-A的余弦值.20. (12分)已知橢圓 C: 4+4=1 (a>b>0),圓 Q: a b(x-2) 2+ (y-&) 2=2的圓心Q在橢圓C上，點P(0,貶)到橢圓C的

8、右焦點的距離為證.(1)求橢圓C的方程;(2)過點P作互相垂直的兩條直線li, 12,且11交橢 圓C于A, B兩點，直線12交圓Q于C, D兩點，且 M為CD的中點，求 MAB的面積的取值范圍.21. (12分)設函數 f (x) =x2+a1n (x+1) (a為常數)(I)若函數y=f (x)在區間1, +°°)上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍；(II)若函數y=f (x)有兩個極值點xb x2,且x1<x2 , 求證:0<< +1 n2 .7工12請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分22. (10分)直角坐標系x

9、Oy和極坐標系Ox的原點與 極點重合，x軸正半軸與極軸重合，單位長度相同， 在直角坐標系下，曲線C的參數方程為皿(0為 參數).(1)在極坐標系下，曲線c與射線4和射線分 別交于A, B兩點，求 AOB的面積；(2)在直角坐標系下，直線l的參數方程為廣咋2t (t ly=t-V2為參數)，求曲線C與直線l的交點坐標.23. (10分)已知函數 f (x) =|2x+1| - |2x -3| , g (x)=|x+1|+|x a|(1)求f (x) > 1的解集(2)若對彳I意的tWR,都存在一個s使得g (s) >f(t).求a的取位范圍.2018高考理科數學模擬試題（一）參考答案

10、與試題解析一,選擇題（共12小題）1.已知集合 M=x|y=x 2+1 , N=y|y=4可，則 MCN=（）A. （0, 1） B. x|x >- 1 C. x|x >0 D .x|x>1【分析】求出M中x的范圍確定出M,求出N中y 的范圍確定出N,找出兩集合的交集即可.【解答】解：由M中y=x2+1 ,得到xW R,即M=R ,由 N 中 y=VHi>05得到 N=x|x >0?則 MAN=x|x >0?故選：C.【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵.2 .復數z=*的共轉復數的虛部為（）A一眄 f C fi D.【分析】利用

11、復數代數形式的乘除運算化簡，進一步求出三得答案.【解答】解：z= 4-i _ (4-i)(l-i) 3-5i 3 5 .，復數z=l+i的共軌復數的虛部為【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查了 復數的基本概念，是基礎題.3 .已知命題p：存在向量日，月使得3?=|君|?N,命 題q：對任意的向量彳，z,工 若二？"？,則則下 列判斷正確的是（）A.命題p V q是假命題B .命題p A q是真命題C.命題pV （q）是假命題D.命題pA （q） 是真命題【分析】命題p：存在同方向向量%又使得:？=|可? 目，即可判斷出真假.命題q：取向量”(1, 0), b= (0, 1),

12、 c= (0, 2),滿足！？"？，貝即可判 斷出真假.再利用復合命題真假的判定方法即可得出.【解答】解：命題p：存在同方向向量句E,使得!？=| a| ?| b| ,真命題.命題 q：取向量 W= (1, 0), = (0, 1), = (0, 2), 則！？=：?, EwW,因此是假命題.則下列判斷正確的是：pA (q)是真命題.故選：D.【點評】本題考查了數量積運算性質、復合命題的判 定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.4.2017年5月30日是我們的傳統節日-端午節”， 這天小明的媽媽為小明煮了 5個粽子，其中兩個臘肉 餡三個豆沙餡，小明隨機取出兩個，事件 A= ”

13、取到 的兩個為同一種餡"，事件B= ”取到的兩個都是豆沙 餡”，則 P ( B|A )=()A洱i C吉D,92,22【分析】求出P (A)=筆？=4 P(AB)喙得， 利用P (B|A)=翳，可得結論.222【解答】解：由題意，P (A)=竿2=+，P (AB)專二小.P (B|A )=' ; = P (A)4 '【點評】本題考查條件概率，考查學生的計算能力, 正確運用公式是關鍵.5 .已知銳角a的終邊上一點 P(sin40 1+cos40 ° )則a等于()A. 10° B. 20° C. 70 0 D. 80 °【分析】由

14、題意求出PO的斜率，利用二倍角公式化 簡，通過角為銳角求出角的大小即可.【解答】解：由題意可知sin40 0 0, 1 + cos40 0。點P在第一象限，OP的斜率tan 口 鼠n400= 2sin20c cos200 =cot20=tan70) 由a為銳角，可知a為70° .故選C.【點評】本題考查直線的斜率公式的應用，三角函數 的化簡求值，考查計算能力.6 .已知函數 fGt)= Inx“。右 aFf 4),b=f (兀)C=f (5),則()A. cc be a B cc a< b C. be cc a D . a< cc b【分析】求出函數f (x)的與數，判斷

15、函數的單調性， 從而比較函數值的大小即可.【解答】解：f (x)的定義域是(0, +8), (二+工f， (x) =- 1 -=-"一-< 0? KXX故f (x)在(0, +oo)遞減，而5>兀弓，.f (5) <f (兀)<f 已)，即 ccbest,故選：A.【點評】本題考查了函數的單調性問題，考查與數的 應用，是一道基礎題.7閱讀程序框圖，如果輸出的函數值在區間內，則輸入的實數x的取值范圍是（）A. （-oo5 - 2 B.2, - 1 C. - 1, 2 D . 2, + OO）【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據 流程圖所示的順序，可知：

16、該程序的作用是計算分段 函數f（X）=;d81的函數值.根據函數 的解析式，結合輸出的函數值在區間內，即可得到答案.【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算分段函數f （x）=儼乎2幻、的函數值.匕 *2 （-8, -2）U（2, +8）又.輸出的函數值在區間5日內，xW -2, - 1故選B【點評】本題考查的知識點是選擇結構，其中根據函數的流程圖判斷出程序的功能是解答本題的關鍵.8 . 一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）正祖國 則視回A.（9+2冗）遮B,叱咤地C,（6+冗）時D.出工坐666【分析】這個幾何體由半個圓錐與一

17、個四棱錐組合而成，從而求兩個體積之和即可.【解答】解：這個幾何體由半個圓錐與一個四棱錐組 合而成, 半個圓錐的體積為|xlx兀X1Xa二看兀對;J ±Q四棱錐的體積為X2X2XV3=|Vs;故這個幾何體的體積丫=竺篝；6【點評】本題考查了學生的空間想象力與計算能力, 屬于基礎題.9 .在約束條件內21下，當6Wsw9時，目標函數z二x-y的最大值的變化范圍是（）A. 3, 8 B. 5, 8 C. 3, 6 D. 4, 7【分析】作出不等式組對應的平面區域，畫出不等式組表示的平面區域，由z=x-y得y=x-z,利用平移即可得到結論.【解答】解：約束條件,V<2hY對應的平面區域

18、如圖:L x+y<s(陰影部分).由z=x - y得y=x - z,平移直線 y=x - z,s=6時由平移可知當直線y=x - z,經過點A時，直線y=x-z的截距最小，此時z取得最大值，x-y取得最大值；由解得 A (5, 1)代入 z=x - y 得 z=5 - 1=4, l -J即z=x - y的最大值是4,s=9時由平移可知當直線y=x - z,經過點B時，直線y=x-z的截距最小，此時z取得最大值，x-y 取得最大值;由仁I"解得B（8, 1）代入z=x - y得z=8 - 1=7, 即z=x - y的最大值是7,目標函數z=x - y的最大值的變化范圍是：4, 7

19、.故選：D.【點評】本題主要考查線性規劃的應用，用數形結合 是解決線性規劃問題中的基本方法.10 .已知正實數a, b滿足a+b=3,貝U之端的最小值為（）A. 1 B.孑 C. | D. 2 oO【分析】由已知可得W號=1,代入亡然后利用基 本不等式求最值.【解答】解：.a+b=3,3 3 3 34a b4a fb33匕生佇）L四）=工二廠3 3,2%支九二*上生也 生T-8 Vs .3 /3二當且僅當年怎）=2（當q），即a=|, b=£時等號成立. 故選：C.【點評】本題考查利用基本不等式求最值，關鍵是掌 握該類問題的求解方法，是中檔題.11 .已知 aW R,若 f （x）

20、= （x+且）eX在區間（0, 1） X上只有一個極值點，則a的取值范圍為（）A. a>0 B aw 1C. a> 1 D aw0【分析】求導數，分類討論，利用極值、函數單調性，即可確定a的取值范圍.【解答】解：.f （x） = （x+且）ex, K在(0， 1)上為增函數，vh (0) = -a<0, h (1) =2>0,，h (x)在(0, 1)上有且只有一個零點xo,使得f '( x0) =0，且在(0, X。)上，f '刈 <0,在(X。，1)上，f(x) >0,，X0為函數f (x)在(0, 1)上唯一的極小值點；a=0 時，x

21、(0, 1), h' (x) =3x2+2x>0 成立，函數h (x)在(0, 1)上為增函數，此時h (0) =0,，h (x) >0在(0, 1)上恒成立，即f ' (x) >0,函數f (x)在(0, 1)上為單調增函數，函數f (x)在(0, 1)上無極值；a<0時，h (x) =x3+x2+a (x1),.xW (0, 1),，h (x) >0在(0, 1)上恒成立，即f ' (x) >0,函數f (x)在(0, 1)上為單調增函數，函數f (x)在(0, 1)上無極值.綜上所述，a> 0.故選：A-WORD#式-專業

22、資料-可編輯-【點評】本題考查與數知識的綜合運用，考查函數的 單調性、極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于 中檔題.2212.設橢圓C: %+2=1 (a>b>0)的左、右焦點分 a b別為FF2,其焦距為2c,點Q (c, 4)在橢圓的內部，點P是橢圓C上的動點，且|PFi|+|PQ| <5|FiF2|恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是()2【分析】點Q (c,/在橢圓的內部，餐苗, za 上|PFi|+|PQ|=2a -|PF2|+|PQ| ,由一|QF2|+|PQ| < |PQ| -|PF2| <|QF 2| 5且 |QF2|=£,要 |PFi|+

23、|PQ|<5尸總| 恒成立，即 2a-|PF2|+|PQ| <2a+f <5X 2c.、,2【解答】解：二點Q (c,射 在橢圓的內部,阿號, 已a 金? 2b2>a2? a2>2c2.|PFi|+|PQ|=2a - |PF2|+|PQ|-WORDB式一專業資料-可編輯-又因為一|QF 2|+|PQ| W|PQ| |PF2| W |QF2| ,且 |QF 2|=f,要|PFi|+|PQ| <5|FF2| 恒成立，即 2a|PF2|+|PQ|<2a+4<5X 2c2號10%則橢圓離心率的取值范圍是（乎）.【點評】本題考查了橢圓的方程、性質，橢圓的離

24、心 率，轉化思想是解題關鍵，屬于難題.,填空題（共4小題）13 .已知pj'cCx,則二項式G味）6展開式中的常數項是 240.【分析】利用定積分求出a,寫出展開式的通項公式, 令x的指數為0,即可得出結論.ITJT【解答】解：痂J皆.4dle =sinx|2帝=2,則二項式(升聲了令6/也 求得r=4,所以二項式a囁/展開式中的常 數項是嵋義24=240.故答案為：240.【點評】本題考查定積分知識的運用，考查二項式定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題.14 .函數 f (x) =Asin(3)+(j)(A>0, 3 >0, 0< <j)< 兀的圖象關于

25、y軸對稱，該函數的部分圖象如圖所示， PMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，且=2乃則f (1)的值為 0.o V * r【分析】由題意，求出結合函數的圖象，圖象關于y軸對稱，小今，ZXPMN是以MN為斜邊的等腰直角三 W角形，可得 |PM| ?sin45。尋MN| ,且 Imn|mp|=20,求 解|MN|和A,即得函數f (x) =Asin (3什小)【解答】解：由題意，圖象關于y軸對稱，小吾，,PMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，可得|PM| ?sin45 焉MN| ,且 I耐1皿|二2百，解得：|MN|=2 , |PM|= 加在等腰三角形PMN中，可求的 PMN的高為1,即P 點的縱

26、坐標是1,故得A=1 ,T=2|MN|=4 , ”T, ,二 函數 f (x) =Asin ( 3 什。)=sin (-k+-) = cost-s),當 x=1 時，即 f (1) =c。吟=0. u-故答案為0.【點評】本題主要考查利用y=Asin (3葉小)的圖象特 征，由函數y=Asin(3什()的部分圖象求解析式，屬 于中檔題.15.在平面直角坐標系中，<AABC,且A (-3, 0), B (3, 0),頂點C到點A與點B的距離之差為4,則22頂點C的軌跡方程為十a=1 (x>2). 45 【分析】利用A ( - 3, 0), B (3, 0),頂點C到點A 與點B的距離

27、之差為4,由雙曲線的定義可得點 C的 軌跡是焦點在x軸上的雙曲線的右支，2a=4, c=3,求 出b,即可求出點C的軌跡方程.【解答】解：A (-3, 0), B (3, 0),頂點C到點 A與點B的距離之差為4,.由雙曲線的定義可得點C的軌跡是焦點在x軸上的 雙曲線的右支，2a=4, c=3,，a=2, b=&,22.點P的軌跡方程為號*=1 (xA2), 故答案為三年=1 (x>2).【點評】本題考查點C的軌跡方程，考查雙曲線的定 義，正確運用雙曲線的定義是關鍵.16. 一個長，寬，高分別為1、2、3密封且透明的長 方體容器中裝有部分液體，如果任意轉動該長方體， 液面的形狀都

28、不可能是三角形，那么液體體積的取值 范圍是4).f-6/【分析】畫出長方體，使其一個頂點放在桌面上，容 易觀察出液體體積何時取得最小值和最大值.【解答】解：長方體 ABCD-EFGH,若要使液面不則液面必須高于平面EHD,且低于平面AFC;而當平面EHD平行水平面放置時，若滿足上述條件，則任意轉動該長方體，液面的形狀都不可能是三角形；所以液體體積必須大于三棱柱 G - EHD的體積看，并且小于長方體 ABCD - EFGH體積-三棱柱 B-AFC 體積 1-1=!5 66故答案為：&，）. 0 o【點評】本題考查了棱柱的結構特征以及幾何體的體 積求法問題，也考查了空間想象能力，是難題.

29、三.解答題（共7小題，滿分70分）17. （12分）已知數列an滿足a=1, 4+1=1-；,其 中 n W N*.（I）設bn = yT5求證：數列bn是等差數列，并求出an的通項公式an；（n）設Cn = ,數列CnCn+2的前n項和為Tn,是 否存在正整數 m,使得昌一對于nWN*恒成立，LjrLj1tH若存在，求出m的最小值，若不存在，請說明理由.【分析】（I ）利用遞推公式即可得出bn+1- bn為一個 常數，從而證明數列bn是等差數列，再利用等差數 列的通項公式即可得到bn,進而得到a；（n）利用（I）的結論，利用“裂項求和”即可得-WORDB式一專業資料-可編輯-,»、

30、.一,一T*、.、.一到Tn,要使得 TnV；對于nW N恒成立，只要34二,即嗯史3,解出即可.丁，同4bn=2%+1 2%T【解答】(I )證明：= bn+1224%=2 一數列bn是公差為2的等差數列，又b二一_ =2,. bn=2+ (n1) X2=2n. da112n= 2a2-1，解得J Jr 13(n)解：由(i)可得.的號磊=2(f),數列CnCn+2的前 n 項和為 Tn=2。多+或予+專+©rTr)+)=2 3.要使得Tn資一對于nW N*恒成立，只要3三一，即 cjxcjirH嗎J3,解得m拄3或mW - 4,而m>0,故最小值為3.【點評】 正確理解遞推

31、公式的含義，熟練掌握等差數列的通項公式、“裂項求和”、等價轉化等方法是解 題的關鍵18 （ 12 分） 從某校高三上學期期末數學考試成績中，隨機抽取了60 名學生的成績得到如圖所示的頻率分布直方圖：（ 1） 根據頻率分布直方圖，估計該校高三學生本次數學考試的平均分；（ 2）若用分層抽樣的方法從分數在30， 50）和 130，150的學生中共抽取6 人，該 6 人中成績在130， 150的有幾人？（ 3）在（2）抽取的6 人中，隨機抽取3 人，計分數在130, 150內的人數為E,求期望E （E）【分析】（1）由頻率分布直方圖計算數據的平均分；（2）計算樣本中分數在30, 50）和130, 15

32、0的人數，根據分層抽樣原理求出抽取的人數；（3）計算抽取的6人中分數在130, 150的人數，求 出E的所有取值與概率分布，計算數學期望值.【解答】解：（1）由頻率分布直方圖，得該校高三學生本次數學考試的平均分為0.0050 X 20 X 40+0.0075 X 20 X 60+0.0075 X 20 X80+0.0150X 20X 100+0.0125X 20X 120+0.0025X 20X 140=92;（4 分）（2）樣本中分數在30, 50）和130, 150的人數分別為6人和3人，所以抽取的 6人中分數在130, 150的人有（人）；（8分）(3)由(2)知：抽取的6人中分數在13

33、0, 150的人 有2人，依題意士的所有取值為0、1、2,當己二時,P“v6當 七二時，？(已二1)二里二1;C6當己=時，P(已二2)二要4；*-£(& )=0X-+ix4+2X-=i .(12 分) 555【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖以及平均數 和概率的計算問題，也考查了運用統計知識解決簡單 實際問題的能力，是基礎題.19. (12分)如圖，已知平面 QBC與直線PA均垂直 于RtZXABC所在平面，且 PA=AB=AC .(I )求證：PA/平面QBC;(n) PQL平面QBC,求二面角 Q-PB-A的余弦 值.【分析】(I )利用線面垂直的性質定理及線面平行的

34、判定定理即可證明；(n)方法一：利用三角形的中位線定理及二面角的 平面角的定義即可求出.方法二：通過建立空間直角坐標系，利用平面的法向量所成的夾角來求兩平面的二面角的平面角.【解答】解：(I)證明：過點Q作QDLBC于點D, 二平面QBJ平面ABC,，QD，平面ABC, 又: PAL平面ABC,QD II PA,又丁 QD?平面 QBC, PA?平面 QBC,.PA/平面 QBC.(n)方法一：: PQ,平面 QBC,丁. / PQB= / PQC=90° ,又 v PB=PC , PQ=PQ ,-WORD#式-專業資料-可編輯-PQBZXPQC, ，BQ=CQ.點D是BC的中點，連

35、接 AD,則ADLBC,AD,平面 QBC,，PQ/AD, AD±QD5四邊形PADQ是矩形.設 PA=2a,/. pq=ad=V2 35 PB=2Mia,過Q作QRPB于點R, 一 QR= 2g =2 %P嚼"=毫=醇'RN,取PB中點M,連接AM ,取PA的中點N ,連接 PR=Jpb=ph, PNhPA, MA II RN . PA=AB, /.AM±PB? /. RNXPB. / QRN為二面角Q - PB-A的平面角.-WORDB式一專業資料-可編輯-連接 QN)則 QN= 7qP2+PN2= V2a2 + a2=a 又即仁2,cos/ QRN=

36、W 2j_ 22QR-RNxz a _ a A-3a2近Ta即二面角Q- PB-A的余弦值為岑.(n)方法二：: PQ，平面 QBC, ./PQB=/ PQC=90° ,又. PB=PC, PQ=PQ,PQBZXPQC, ，BQ=CQ.點D是BC的中點，連 AD,則ADXBC.AD,平面 QBC,，PQ/AD, AD±QD5四邊形PADQ是矩形.分別以AC、AB、AP為x、y、z軸建立空間直角坐標 系 O - xyz.不妨設 PA=2,則 Q (1, 1, 2), B (0, 2, 0), P (0, 設平面QPB的法向量為2a一，力.西=(1, 1, 0), pb= (0

37、, 2, 2).；a。令 x=1，則 y=z= =二|n)I |n |3又,二面角Q-PB-A是鈍角 cos 9 二 1".【點評】熟練掌握線面垂直的性質定理及線面平行的 判定定理、二面角的定義及通過建立空間直角坐標系 并利用平面的法向量所成的夾角來求二面角的平面角 是解題的關鍵.又平面PAB的法向量為；o, o).設二面角 Q PB A為0 ,則cos憐|皿<益；>| =(0,%到橢圓C的右焦點的距離為氣.(1)求橢圓C的方程；(2)過點P作互相垂直的兩條直線ll, 12,且li交橢 圓C于A, B兩點，直線12交圓Q于C, D兩點，且 M為CD的中點，求 MAB的面積

38、的取值范圍.【分析】(1)求得圓Q的圓心，代入橢圓方程，運用兩點的距離公式，解方程可得a, b的值，進而得到橢 圓方程；(2)討論兩直線的斜率不存在和為0,求得三角形MAB的面積為4;設直線y=kx+我,代入圓Q的方程，運用書達定理和中點坐標公式可得 M的坐標，求得MP的長，再由直線AB的方程為y=-*x+近，代入橢 圓方程，運用韋達定理和弦長公式，由三角形的面積 公式，化簡整理，由換元法，結合函數的單調性，可得面積的范圍.【解答】解：（1）圓Q: （x 2） 2+ （y 蝕）2=2的圓心為（2,近）,代入橢圓方程可得+得=1, a b由點P （0, &）到橢圓C的右焦點的距離為低,即

39、有2+m=解得 c=2,即 a2 - b2=4,解得a=2%，b=2 ,即有橢圓的方程為4+4=1 ；（2）當直線b： y=立，代入圓的方程可得x二2±&,可得M的坐標為（2, &）,又|AB|=4 ,可得4MAB的面積為2X4=4;設直線y=kx+V2,代入圓Q的方程可得，（1+k2） x2- 4x+2=0,可得中點M （卷，電器必）, l+k1+k|MP|=1 (l+k2)2 (1H2)2 Vl+k2設直線AB的方程為y=-+x+但 代入橢圓方程，可得：(2+k2) x2 - 4加kx - 4k2=0,設(xi, yj, B(X2, y2),可得 Xi+X2=&a

40、mp;" XiX2=4, 2+k2+k則呼，;一:心?可得 mab的面積為s=i*rM?盟黯=4 仔口，V (2+k2)22設 t=4+k2 (5>t>4),可得77=二十< 一 (2+k ) (t2 )td-4 4+-=1,可得Sc4,且 S> 4=一e3綜上可得， MAB的面積的取值范圍是(羋，4,V【點評】本題考查橢圓的方程的求法，注意運用點滿 足橢圓方程，考查三角形的面積的范圍，注意運用直 線方程和橢圓方程聯立，運用書達定理和弦長公式，以及三角形的面積公式，運用換元法和函數的單調性, 屬于中檔題.21. (12分)設函數 f (x) =x2+aln (

41、x+1) (a為常數)(I)若函數y=f (x)在區間1, +°°)上是單調遞增 函數，求實數a的取值范圍；(II)若函數y=f (x)有兩個極值點xi, x2,且xi< x2 , 求證:o<< +l n2 .x /【分析】(I)已知原函數的值為正，得到導函數的值 非負，從而求出參量的范圍；(n)利用韋達定理，對所求對象進行消元，得到一 個新的函數，對該函數求導后，再對導函數求導，通 過對導函數的導導函數的研究，得到導函數的最值， 從而得到原函數的最值，即得到本題結論.2【解答】解：(I)根據題意知：f x)=汽滬)。在1, +8)上恒成立.即a3 - 2

42、x2-2x在區間1, +oo)上恒成立.- 2x2-2x在區間1, +oo）上的最大值為-4,，a3 4;經檢驗：當 a= 4 時，f，二2'十?7二2（"空1）o x x+1<k+1J 1, +°°）.，a的取值范圍是-4, +oo）. 2、,（n）二空等在區間（-1, +°°）上有兩個 x+l不相等的實數根，即方程2x2+2x+a=0在區間（-1, +°°）上有兩個不相等的實數根.4>-1記 g （x） =2x2+2x+a,則有，晨4）<0,解得0<a<£.町 + 珍-L

43、2叼。2工2+小口， 叼二手告汽，卷犬2<° ： ： 令k二2dg智13,底（得，0）. -1 -x2一/ k （!）-丁+21nlx+l）,（1+或產t己 D （工）二六 21rL（工+1）.（1+x）20 ， 2工 +6k+2P' （-）=-4, P' （0）=2在?。ǘ?，G使得p' （X0） =0.當迂（4，而）,p' X） <0；當 xW（X0, 0）時，p （x） >0.而k' （x）在（40）單調遞減，在（X0, 0）單調遞 增，丁-.二當 一 1? ? ?，k （x）在（,o）單調遞減，口口 廣式冷） 1即 0<<-T7+ln2 .工2【點評】本題考查的是與數知識，重點是利用與數法 研究函數的單調性、究極值和最值，難點是多次連續 求與，即二次求與，本題還用到消元的方法，難度較請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分22. （10分）（選做題）直角坐標系 xOy和極坐標系Ox的原點與極點重合，x軸正半軸與極軸重合，單位長度相同，在直角坐標系下，曲線C的參數方程為藍;（0為參數）（1）在極坐標系下，曲線c與射線。斗和射線人一分別交于A, B兩點，求 AOB的面積；（2）在直角坐標系下，直線l的參數方程為二歲發（t為參數），求曲線C與直線l的交點坐標.【