1、§2.3函數的奇偶性與周期性取新考明考情考向分析1 .結合具體函數，了解函數奇偶性的含義.2 .會運用函數圖象理解和研究函數的奇偶性.3 .了解函數周期性、最小正周期的含義，會判 斷、應用簡單函數的周期性 .以理解函數的奇偶性、會用函數的奇偶 性為主，常與函數的單調性、周期性交 匯命題，加強函數與方程思想、轉化與 化歸思想的應用意識，題型以選擇、填 空題為主，中等偏上難度.基礎知識自主學習回扣基比知識訓等基此題目一r知識梳理i.函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點奇函數設函數y=f(x)的定義域為D,如果對D內的任個x, 都有xC D,且f(- x)= - f(x),則這個函數叫做奇函數關

2、于坐標原點對稱偶函數設函數y=g(x)的定義域為D,如果對D內的任個x, 都有一xC D,且g(-x)= g(x),則這個函數叫做偶函數關于y軸對稱2.周期性(1)周期函數：對于函數y= f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數y = f(x)為周期函數，稱 T為這個函數的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.【概念方法微思考】1 .如果已知函數f(x), g(x)的奇偶性，那么函數 f(x)力(x), f(x) g(x)的奇偶性有什么結論？ 提示

3、在函數f(x), g(x)公共定義域內有：奇垃=奇，偶才禺=偶，奇*奇=偶，偶*偶=偶, 奇*偶=奇.2 .已知函數f(x)滿足下列條件，你能得到什么結論？(1)f(x+a) = f(x)(aw0).,1(2)f(x+a) = f(a0).(3)f(x+a) = f(x+ b)(awb).提示 (1)T= 2|a| (2)T=2|a| (3)T=|ab|基礎自測題組一思考辨析1 .判斷下列結論是否正確(請在括號中打或"x”)(1)函數 y=X2, XC (0, +8)是偶函數.(X )(2)偶函數的圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點.(X )(3)若函數y = f(x+a)是偶

4、函數，則函數 y=f(x)關于直線x= a對稱.(V )題組二教材改編2 .已知函數f(x)是定義在 R上的奇函數，且當 x>0時，f(x) = x(1 + x),則f(-1) =答案 2 解析 f(1)= 1X2=2,又f(x)為奇函數, .f(-1) = -f(1) = -2.4x + 2, 1 W x<0,3 .設f(x)是定義在R上的周期為2的函數，當xC1,1)時，f(x)=tlx, 0Wx<1,則f1|卜答案解析1唔:工 f (- U4 2)+2=1.4 .設奇函數f(x)的定義域為5,5,若當xC0,5時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集

5、為.答案 (一2,0) U (2,5 解析 由圖象可知，當0<x<2時，f(x)>0;當2<x< 5時，f(x)<0,又f(x)是奇函數，當-2Vx<0 時，f(x)<0,當一5Wx<2 時，f(x)>0.綜上，f(x)<0 的解集為(一2,0) U (2,5.題組三易錯自糾5,已知f(x)= ax2+bx是定義在a1,2a上的偶函數，那么 a+b的值是(11B.3 C.2 D.答案 B解析 .f(x)=ax2+bx是定義在a1,2a上的偶函數，a1 + 2a= 0, - a=. 31又 f(x)=f(x), . b= 0, .

6、 - a+ b= 3.6.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+3)=f(x),且當xC 0, 2時,f(x) = -x3,則fg ：-=.答案8解析 由f(x+ 3)=f(x)知函數f(x)的周期為3,又函數f(x)為奇函數，所以f£1 i= f 2 = fgj 1 3_1 一西廠8.題型分類深度剖析15通典感深度剖析西點推點堆探究題型一函數奇偶性的判斷 -師生共研例1判斷下列函數的奇偶性: (1)f(x)=日36x2 + 由236;.2(2)f(x) =(3)f(x) =ln(1 x ).|x2| 2'X2+ x, x<0,x2 + x, x>0.36-x

7、2>0,解由S得x2=36,解得x=虬|x2-36>0,即函數f(x)的定義域為6,6,關于原點對稱， . f(x) = 36-x2 + 4x2-36 = 0.f(-x)=- f(x)且 f(-x)=f(x),函數f(x)既是奇函數又是偶函數.1-x2>0 ,(2)由得定義域為(一1,0) U (0,1),辰2產2, 關于原點對稱.x-2<0,|x-2|-2 = - x,2 .-x又 £(x)=2ln1 x) _x 一2ln 1 xx)=-f(x),，函數f(x)為奇函數.(3)顯然函數f(x)的定義域為(8, 0)U(0, +8),關于原點對稱.當 x<

8、;0 時，一x>0,則 f(x)= ( x)2 x= x2 x = f(x);當 x>0 時，一x<0,則 f( x)= ( x)2 x= x2 x= f(x);綜上可知，對于定義域內的任意x,總有f(-x)=- f(x),，函數f(x)為奇函數.思維升華 判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件： (1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域;(2)判斷f(x)與f( x)是否具有等量關系.f(x) + f(-x)= 0(奇函數)或 f(x)在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價關系式 f( x)=0(偶函數)是否成立.跟蹤訓練1

9、 (1)下列函數中，既不是奇函數也不是偶函數的是()A. f(x) = x+ sin 2x八.x 1C. f(x)=3 3xB. f(x)=x2cos xD. f(x)=x2+tan x答案 D解析 對于選項A,函數的定義域為R,f(x)=x+sin 2( x) = (x+ sin 2x) = f(x), 所以f(x)=x+sin 2x為奇函數；對于選項 B ,函數的定義域為R, f(- x) = (- x)2- cos(- x) = x2-cos x=f(x),所以f(x)=x2 cos x為偶函數；對于選項C,函數的定義域為R, f(-x) = 3 x=-3 1= f(x),所以f(x)=

10、 3x?為奇函數；只有f(x)=x2+tan x既不是奇函數也33不是偶函數.故選 D.xx(2)已知函數f(x) = 25/，g(x) = 2,則下列結論正確的是()h(x) = f(x) + g(x)是偶函數B.h(x) = f(x) + g(x)是奇函數C.h(x) = f(x)g(x)是奇函數D.h(x) = f(x)g(x)是偶函數答案解析易知 h(x)=f(x) + g(x)的定義域為x|xw 0.因為，/、，、x x x 2x xf(x)+ g(-x) = -x+于=-x52 x-121-2x 2x(1 2x J- xx x , x9=+-=f(x)+g(x),22x-12x(1

11、-x), 0WxW 1, sin 冰，1<x< 2,則f答案516解析由于函數f(x)是周期為4的奇函數,所以h(x)= f(x)+g(x)是偶函數.故選 A.題型二函數的周期性及其應用-自主演練 1.若函數f(x)(xC R)是周期為4的奇函數，且在0,2上的解析式為f(x) =所以d*44升3 if3 一一 a .516+6-16.2 .已知定義在R上的函數f(x)滿足f(2) = 2 J3,且對任意的x都有f(x+ 2) = Tfjx-)，則"2 020) 答案 2一*1 一1 一解析 由f(x+ 2)=,得f(x+4) = f(x),所以函數f(x)的周期為4,所

12、以f(2 020)f(x ) f(x+ 2 )1 一.11一= f(4).因為 f(2+2) =,所以 f(4)=-=-= 2 /3.故 f(2 020) = - 2-J3._f(2)f(2)2-事 '"3 . (2017山東)已知f(x)是定義在 R上的偶函數，且 f(x+4) = f(x 2).若當xC 3,0時，f(x) =6 x,則 f(919) =.答案 6解析f(x+4)=f(x- 2),.f(x+2) + 4)=f(x+2)-2),即 f(x+6) = f(x),，f(x)是周期為6的周期函數，. .f(919) = f(153X6+1)=f(1).又f(x)是

13、定義在R上的偶函數，.f(1) = f(-1) = 6,即 f(919) = 6.4 .設定義在R上的函數f(x)同時滿足以下條件：f(x)+f( x)=0;f(x)=f(x+2);當0Wx<1 時，f(x)=2x1,則 電> f+琮戶(2) +嚕.答案 # 1解析依題意知：函數f(x)為奇函數且周期為 2,則 f(1) + f(1) = 0, f(-1) = f(1),即 f(1) = 0.f(2 卜 f(1) + fj|)+ f(2) + f(|)=fg * 0 + f 2 * f(0)+fg；111= %H2 產 f(0)+fw1=先廣f(0)1=22 1 + 20-1=/-

14、1.思維升華 利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區間上，進而解決問題.多維題型三函數性質的綜合應用命題點1求函數值或函數解析式例2 (1)設f(x)是定義在R上周期為4的奇函數，若在區間2,0) U (0,2上，f(x) =ax+ b, 2<x<0, <ax 1, 0<x< 2,貝 U f(2 021) =.,1答案一2解析 設 0<xW2,則一2< x<0, f(x)= ax+b.因為f(x)是定義在 R上周期為4的奇函數，所以f(- x) = - f(x)= - ax+ 1 = ax+b,所以b1=

15、1.而 f(2) = f(2+4) = f(2),所以一2a+b=2a1,解得 a = -,一,1.1所以 f(2 021) = f(1)=-X1-1 = -2.(2)已知 f(x)為偶函數，當 xw。時，f(x)=e x 1 -x,則 f(x) =答案e x 1-x, x<0, ex1 + x, x>0解析 當x>0時，一x<0, 1- f(x) = f( x) = ex 1 + x,e x 1-x, x<0,1 1f(x) = ： x 1 e +x, x>o.命題點2求參數問題例3 (1)若函數f(x)=xln(x+Ra+ x2)為偶函數，則a=答案 1

16、解析f(-x) = f(x), xln("sja + x2 x) = xln(x+ a+ x2), ln( 4 + x2)2-x2=0.In a= 0, - a = 1.(2)設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區間1, 1上,ax+ 1, - 1 < x<0, f(x) = b bx+ 2I, 0WxW 1 ,lx+1其中a, bCR.若 破)=博)則a+3b的值為答案 10解析 因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數，所以 , r f(-2 步 f(i)=f(i)，12b+21,從而 1= - 2a + 1,2+1即 3a+2b= 2.一一，rb+2由 f(-

17、1) = f(1),得a+1 = 即b = 2a. 由得a=2, b=4,從而a+ 3b=10.(3)已知函數f(x)是定義在 R上的奇函數，且當 x>0時，f(x) = -x2+ax-1-a,若函數f(x)為R上的減函數，則 a的取值范圍是 .答案 -1,0解析 因為函數f(x)是R上的奇函數，所以f(0) = 0,若函數f(x)為R上的減函數，則滿足當x>0時，函數為減函數，且一1-a<0,此時a-2<0,aw 0即 i即 一 1WaW0.、a1 1 5命題點3利用函數的性質解不等式 例4(1)已知定義在 R上的偶函數f(x)在0, +8)上單調遞增，若f(ln x

18、)<f(2),則x的取值范2.、B. (e , +°° )D. (e 2, e2)圍是()A. (0, e2)C. (e2, +°° ) 答案 D解析根據題意知，f(x)為偶函數且在0, +8)上單調遞增，則f(in x)<f(2)? 11n x|<2,即一2<In x<2,解得e 2<x<e2,即x的取值范圍是(e 2, e2).(2)設函數f(x)=1n(1+ |x|) 則使得f(x)>f(2x 1)成立的x的取值范圍為 .1 x答案3, i；解析由已知得函數f(x)為偶函數，所以f(x) = f(|x

19、|),由 f(x)>f(2x1),可得 f(|x|)>f(|2x-1|).一，一1當 x>0 時，f(x)= 1n(1 + x) -2，1 + x一,1因為y=皿(1+*)與丫=2在(0 , + 8)上都單倜遞增，所以函數f(x)在(0, + 8)上單倜遞1 +x增.由 f(|x|)>f(|2x 1|),可得 |x|>|2x-1|,兩邊平方可得x2>(2x- 1)2,整理得3x2-4x+ 1<0,1斛得£<x<1. 3所以符合題意的x的取值范圍為 g, 1；.思維升華解決周期性、奇偶性與單調性結合的問題，通常先利用周期性轉化自變量

20、所在的區間，再利用奇偶性和單調性求解.跟蹤訓練2 (1)定義在R上的奇函數f(x)滿足 f(x+3 戶 f(x)，當 x e 6,f(x)= log (1 -x),2則f(x)在區間卜，2內是(A .減函數且f(x)>0B .減函數且f(x)<0C .增函數且f(x)>0答案 DD.增函數且f(x)<0解析 當xC q, 1 I時，由f(x)= 1og1(1x)可知，f(x)單調遞增且f(x)>0,又函數f(x)為奇函2數，所以在區間1 .2, 0，比函數也單調遞增，且f(x)<0.由f" 2 /= f(x)知，函數的周期為3,所以在區間1, 2:

21、,函數單調遞增且f(x)<0.故選D.(2)設f(x)是周期為2的奇函數，當0WxWl時，f(x)= 2x(1 x),則f 2(=. ,1答案2解析由題意可知，f-22”卜f-2；= fg；= -2x2x ij-2；= -2.X3, x<0,(3)已知函數g(x)是R上的奇函數，且當 x<0時，g(x)= ln(1 x),函數f(x) =4 ig(x> x>。,若f(6 x2)>f(x),則實數x的取值范圍是 .答案 ( 3,2)解析,g(x)是奇函數，. .當 x>0 時，g(x) = g( x) = ln(1+x),易知f(x)在R上是增函數，由

22、f(6-x2)>f(x),可得 6-x2>x,即 x2+x 6<0,3<x<2.高頻小考點函數的性質函數的奇偶性、周期性及單調性是函數的三大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數的奇偶性和周期性來確定另一區間上的單調性，即實現區間的轉換，再利用單調性解決相關問題.一、函數性質的判斷例 1 (1)已知函數 f(x)=ln x+ln(2x),則()A. f(x)在(0,2)上單調遞增B. f(x)在(0,2)上單調遞減C. y= f(x)的圖象關于直線 x= 1對稱D. y=f(x)的圖象關于點(1,0)對稱答案 C解析 f(x)的定義域為(

23、0,2).f(x) = In x+ ln(2 x)= lnx(2 x) = ln( x2+ 2x).設u= x2+2x, x (0,2),則u = -x2+2x在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減.又y = In u在其定義域上單調遞增,，f(x) = ln( x2+2x)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減.選項A, B錯誤；/ f(x) = ln x+ln(2 x) = f(2 x),，f(x)的圖象關于直線 x= 1對稱，.二選項C正確；. f(2-x)+f(x)=ln(2 -x)+ln x + ln x+ ln(2 -x)= 2ln x+ln(2-x),不恒為 0,

24、，f(x)的圖象不關于點(1,0)對稱，.二選項D錯誤.故選C.(2)定義在 R上的函數f(x)滿足f(x) = f(-x),且f(x)=f(x+6),當xC0,3時,f(x)單調遞增,則f(x)在下列哪個區間上單調遞減()A. 3,7 B. 4,5 C. 5,8 D. 6,10答案 B解析依題意知，f(x)是偶函數，且是以6為周期的周期函數.因為當xC 0,3時，f(x)單調遞增，所以f(x)在3,0上單調遞減.根據函數周期性知，函數f(x)在3,6上單調遞減.又因為4,5 3,6,所以函數f(x)在4,5上單調遞減.(3)(2018大連*II擬)已知函數y = f(x)是R上的偶函數，對于

25、任意xC R,都有f(x+ 6)=f(x) + f(3)成立，當x1，x2 0,3,且xwx2時，都有卯上3>0.給出下列命題： Xi x2 f(3) = 0;直線x=6是函數y=f(x)的圖象的一條對稱軸；函數y=f(x)在 9, 6上為增函數；函數y=f(x)在 9,9上有四個零點.其中所有正確命題的序號為 .答案解析 -.f(-3+6) = f(-3)+f(3).又f(x)是R上的偶函數，所以f(3) = 0,故正確；由知f(x+6) = f(x),所以f(x)的周期為6.又因為f(x)是R上的偶函數，所以 f(x+6) = f(-x), 而f(x)的周期為6,所以f(x+ 6)=

26、f(-6+x),f(-x)=f(-x-6),所以f(6 x)=f(6+x),所以直線x= 6是函數y = f(x)的圖象的一條對稱軸.故 正確；業.二。1口、，一、，g - f(x1 / f(x2當xi, x2C0,3,且xwx2時，都有 J >0,所以函數y=f(x)在0,3上為增函數.因為xi x2f(x)是R上的偶函數，所以函數y=f(x)在 3,0上為減函數，而f(x)的周期為6,所以函數y= f(x)在 9, 6上為減函數.故 錯誤；f(3)=0, f(x)的周期為 6,所以 f(-9)=f(-3)=f(3) = f(9) = 0,所以函數 y=f(x)在 9,9上有四個零點.

27、故正確.二、函數性質的綜合應用例2 (1)(2018全國n)已知f(x)是定義域為(8, +oo )的奇函數，滿足 f(1x)=f(1+x).若f(1)=2,則 f(1)+f(2)+f(3)+ + f(50)等于()A. 50 B.0 C.2 D. 50答案 C解析 .f(x)是奇函數，.-.f(-x) = - f(x),.f(1-x)=- f(x 1). . f(1-x) = f(1+x),-f(x-1)=f(x+1), .-.f(x+2) = - f(x),f(x+ 4)= f(x+2) = f(x) = f(x),.函數f(x)是周期為4的周期函數.由f(x)為奇函數且定義域為 R得f(

28、0) = 0,又f(1x) = f(1+x),f(x)的圖象關于直線 x= 1對稱，.f(2) = f(0) = 0, f(-2)=0.又 f(1)=2, .1.f(-1) = - 2,.f(1) + f(2) + f(3)+f(4) = f(1) + f(2) + f(-1)+f(0)=2+0-2 + 0= 0, f(1) + f(2) + f(3)+f(4)+ +f(49) + f(50)=0X 12+f(49) + f(50) = f(1) + f(2)= 2+0=2.故選C.(2)已知定義在 R上的奇函數f(x)滿足f(x4)=f(x),且在區間0,2上是增函數，則()A. f( 25

29、)<f(11)<f(80)B. f(80)<f(11)<f(25)C. f(11)<f(80)<f(25)D. f( 25)<f(80)<f(11)答案 D解析 因為f(x)滿足f(x 4)=-f(x),所以f(x-8) = f(x),所以函數f(x)是以8為周期的周期函數,則f(-25)=f(-1), f(80)=f(0), f(11) = f(3).由f(x)是定義在 R上的奇函數，且滿足 f(x -4)=-f(x),得 f(11)=f(3) = -f(-1)=f(1).因為 f(x)在區間0,2上是增函數，f(x)在 R 上是 奇函數，所以

30、f(x)在區間 2, 2上是增函數,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11). 已知f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間(一8, 0)上單調遞增.若實數 a滿足f(2|"1|)> f(啦)，則a的取值范圍是 .較案 3、口水切2，解析f(2a 1|)>f(-*)= f(*),又由已知可得f(x)在(0, +8)上單調遞減，1113 2<+=22, |a-1|<2, -2<a<2.課時作業才基礎保分練1 .下列函數中，既是偶函數又在區間(1,2)內單調遞減的是()A. f(x) = $:B.

31、 f(x)=；2xC. f(x) = 2x+ 2 xD. f(x) = cos x答案 B解析 函數f(x)=%是偶函數，且在(1,2)內單調遞減，符合題意. x2.已知f(x)為定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x) = 2x+m,則f(2)等于()55A.3 B 4 C.4 D. 3答案 A解析 由f(x)為R上的奇函數，知f(0) = 0,即f(0) = 2°+m = 0,解得m=1,則f(-2) =f(2) = (22 1)= 3.3 .已知y=f(x)是定義在R上的奇函數，則下列函數中為奇函數的是()y=f(|x|)； y=f( x);丫:*); y=f(x) +

32、x.A. B. C. D.答案 D解析由奇函數的定義f(- x) = - f(x)驗證，f(| x|)=f(|x|),為偶函數；f(一( x) = f(x) = f( x),為奇函數；一xf( x) = x f(x) = xf(x),為偶函數；f( x)+(x)= f(x) + x,為奇函數.可知正確，故選D.4 .已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，其最小正周期為4,且當xC (一 1, 0；時，f(x) =log2( 3x+ 1),則 f(2 021)等于()A. 4 B. 2 C. 2 D. log 27答案 C解析 二.函數f(x)是定義在R上的奇函數，其最小正周期為 4, .-.f

33、(2 021) = f(4X 505+ 1)=f(1)= -f(-i).ie (-3, 0),且當 xe ( 3, 0 M,f(x) = log2( 3x+ 1), .f(-1)=log2-3X(- 1)+ 1 = 2, f(2 021) = - f(-1) = - 2.5. (2018錦州調研)已知定義域為 等式f(log»)>2的解集為()A. (2, +oo )C. 0, -22 U( .2, +oo )答案 B解析 f(x)是R上的偶函數，且在R的偶函數f(x)在(一8,D. (V2,)0上是減函數，且 f(1) = 2,則不(8, 0上是減函數，所以f(x)在0 ,

34、+ 8)上是增函數,1所以 f(log2x)>2= f(1)? f(|log2x|)>f(1)? 110g2x|>1? log2x>1 或 log2x< 1? x>2 或 0vx<2.6.已知偶函數f(x)對于任意xC R都有f(x+1) = f(x),且f(x)在區間0,1上是單調遞增的，則f(6.5), f(1), f(0)的大小關系是()A. f(0)<f(6.5)<f( 1)B. f( 6.5)<f(0)<f( 1)C. f(1)<f(6.5)<f(0)D. f( 1)<f(0)<f(6.5)答案

35、 A解析 由 f(x+ 1)=f(x),得 f(x+2)= f(x+1)=f(x), .函數 f(x)的周期是 2.函數f(x)為偶函數,.f(-6.5) = f(-0.5) = f(0.5), f(-1) = f(1). f(x)在區間0,1上是單調遞增的，.f(0)<f(0.5)<f(1),即 f(0)<f(-6.5)<f(-1).7,若 f(x)= ln(e3x+ 1)+ax是偶函數，則 a =.答案一3解析 函數 f(x)= ln(e3x+1)+ ax 是偶函數，故 f(x)=f(x),即 ln(e 3x+ 1) ax= ln(e3x+1) + ax,化簡得 l

36、n(1 + e3x)In e3xax= ln(e3x+1) + ax,即3xax= ax,所以 2ax+3x=0 恒成立， 一一3所以a= 3.8 .已知函數f(x)是奇函數，當x>0時，f(x)=ln x,則ff&j加值為.答案 ln 2解析由已知可得fg = ln =- 2,所以亭.4fJ 2).又因為f(x)是奇函數，所以，伶) f(-2) = - f(2) = - ln 2.9 .奇函數f(x)在區間3,6上是增函數，且在區間3,6上的最大值為8,最小值為一1,則f(6)+ f(3)的值為.答案 9解析 由于f(x)在3,6上為增函數，所以f(x)的最大值為f(6) =

37、8, f(x)的最小值為f(3)=1,因為 f(x)為奇函數，所以 f(3) = f(3)=1,所以 f(6) + f(3)=8+1 = 9.10 .若函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間0, +8)上是單調遞增的.如果實數 t滿足f(ln t)+fi'ln 1 '飪2f(1),那么t的取值范圍是 .t答案"e，e I解析 由于函數f(x)是定義在R上的偶函數，所以 f(ln t)=fn； !,由 f(ln t)+f(n；卜 2f(1),得 f(ln t)<f(1).又函數f(X)在區間0, + 8)上是單調遞增的，所以 11n t|w1,即1wln t&

38、lt; 1,故1wtwe. e-x2+2x, x>0,11 .已知函數f(x)=S。，x=0,是奇函數.x2+ mx, x<0(1)求實數m的值；(2)若函數f(x)在區間1, a2上單調遞增，求實數 a的取值范圍.解設x<0,則一x>0,所以 f(x)= ( x)2+ 2( x) = x2 2x.又f(x)為奇函數，所以f(-x)=- f(x),于是 x<0 時，f(x) =x2+2x= x2+mx,所以 m= 2.a 2> 1,(2)要使f(x)在1, a2上單調遞增，結合 f(x)的圖象(如圖所示)知5所以戶一2W1,1<a<3,故實數a的取值范圍是(1,3.12 .設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數 x,恒有f(x+ 2)=- f(x).當xC 0,2時，f(x) =2x-x2 .求證：f(x)是周期函數；(2)當xC 2,4時，求f(x)的解析式.(1)證明 . f(x+ 2) = - f(x),f(x+ 4)=- f(x+2) = f(x).，f(x)是周期為4的周期函數.(2)解-. x 2,4,. . 一 xC -4, 一 2, 4-x 0,2, .f