1、摘要 1關鍵詞 1Abstract 1Keywords 21引言 32求不定積分的思想方法 32.1直接積分的思想方法 32.2換元積分的思想方法 32.2.1 第一類換元積分的思想方法 32.2.2 第二類換元積分的思想方法 32.3 分部積分的思想方法 42.4 拆項的思想方法 43常見的不定積分類型 44例題分析 75不定積分的方法與歸類 10結束語 11謝辭 11參考文獻 11對不定積分一題多解的分析（咸陽師范學院數學與信息科學學院，陜西咸陽）摘要隨著社會進入信息時代，積分的語言已經滲透到各個領域。積分的出現不僅是數 學史上也是人類歷史上一個偉大的創舉。它的產生是由于社會經濟的發展和生

2、產技術的進 步的需要促成的，也是自古以來許多數學家長期辛勤發展起來的一連串數學思想的結晶。 因此，他在數學及其他學科有著廣泛的應用。研究不定積分要重在提高自己的邏輯思維能力、 科學分析能力、運用數學語言能力、 聯想運算能力以及應用能力。求解不定積分的過程對學生的科學思維和文化素質的培養所 起的作用極為明顯。數學與不同學科的結合形成新興學科， 都體現了量化方法已經成為研 究經濟學、社會科學的重要方法。掌握了它，會使我們在以后的學習及工作中占有一定的優勢。本文的題目是“對不定積分一題多解的分析”。一題多解其實就是培養學生的多方 向性和開放性思維，是培養學生發散思維最有效的方法。其主要解法有三種，分

3、別是：直接積分法、換元積分法以及分部積分法。對于同一題可以用不同的方法來解。關鍵字：積分；直接積分法；換元積分法；分部積分法 ；一題多解1引言怎樣計算不定積分是高等數學教學的難點和重點. 不定積分的求解方法技巧性很強， 靈活性也比較大，而且對于同一個不定積分可能有多種不同的求解方法.為了開拓學生的思路，培養學生靈活的思維能力，使學生能夠更好的理解和使用多種積分方法，達到舉一 反三、觸類旁通的教學效果，教學中往往要讓學生進行一題多解的練習.在學生初步掌握不定積分的基本積分方法后，我們不能局限于一題一解，要試圖一 題多解。為了正確使用各種積分方法求解不定積分， 我們必須掌握它的概念和性質以及積 分

4、的基本公式，才能夠在以后的解題中做題自如，進行同類遷移。2.求不定積分思想方法2.1直接積分的思想方法 觀察所求積分的形式是否可用積分基本公式直接求解。2.2換元積分的思想方法第一類換元（湊微分法）的思想方法（1）被積函數有一個因式，主要是觀察被積函數與積分基本公式中的哪一個公式的被積函數相似，即所應用的基本積分公式；然后再根據與基本積分公式相似的形式進行湊微分， 湊微分的目的是為了應用積分基本公式和性質求積分。（2）被積函數有兩個因式時，先由一個因式找到與基本積分公式相似的公式，余下一個 因式與dx結合湊微分，進而可由積分基本公式求出結果。第二類換元的思想方法主要可以分為以下三類：1.三角代

5、換2.根式代換3.倒數代換第二類換元積分法主要是通過xt對所求積分進行化簡。（1） 根式代換：如果被積函數中，含有因子ax b，我們可以通過x二t去掉根 式，以便化簡后的積分式能直接積分或使用簡單的變形湊微分后可直接用積分基 本公式，故選取x二t要保證去掉根式。（2） 三角代換法：如果被積函數中，含有因式 ；a2-X2， 、x2-a2， x2 a2時，我們由根號下式子的特點，能夠聯想到三角公式的平方關系式，sin2cos2 = 1以及1 - tan2= sec2 ：由此來選擇x = t，以此來去掉根號。當遇到'- ax2 bx c時，先將ax2 bx - c進行配方成 a2 -x2，

6、、x2-a2， . x2 a2三種形式中的一種，再用公式或利用三角代換積分。若果遇到，我們對它先進行分母有理化，在對hcx+d其分子進行配方就可化簡為a2-x2， < x2a2，x2 a2三種形式中的一種，可根據上述方法進行求解。（3）倒數代換：當積分表達式分母中自變量的幕較高于分子時，我們可以采用xt進行化簡求解2.3分部積分的思想方法分部積分法是運用公式.udv二uv - vdu進行求解不定積分，通常適用于兩類不同函數相 乘的積分。此法的關鍵是u，dv的選擇。通常來講，先選定dv，使選定的vdx能容易的湊出微分dv且積分后不是很復雜，u求導后變簡單，一次分部積分后，未積出的部分 vd

7、u要比原來的積分 udv簡單。如果被積函數是反三角函數、對數函數、幕函數、三角函數、指數函數中任意兩類函數的乘積，那么，我們可以考慮按照反、對、幕、三、指的順序來 選取u，另一個函數想辦法湊成dv進行分部積分。2.4拆項的思想方法對形如.1u7dx這種形式的積分,我們很難進行用以上公式進行求解,那么我們可以對它進行拆項已達到可以用以上方法求解的效果。我們把FXdx可以分解為1, 1例： 呢 +X2 ） （1 +xfx W 3（2 十 X2） 3（1 十 x ）dXT2+xdx- dx1 x1 an9 | 2d（2 +x2 片 I n x +1 +G18、2 arctan 2 xIn2x +1x

8、2>（C1和c均為任意常數）3常見函數的積分類型（1）有理函數的積分一般情況下，是把有理函數變形為有理整函數與真分式函數之和的形式，把真分式函數化成部分分式函數之和的形式，然后利用積分的一些方法將有理函數的積分積出來。（2）無理函數的積分如果所求積分不能用直接積分法、換元法、分部積分法求解的話，可將無理函數通過一系 列的變形化為有理三角函數或有理函數。（3）三角函數的積分所求積分是三角函數的積分時，通常是運用三角等式進行變換。形如sin kxdx和cos xdx的積分，可直接利用第一類換元積分法進行計算；形如 sin k xdx 或 cosk xdx 的積分當k為正奇數時，即k=2n1，

9、則將可將被積函數化簡成si n2nx與sinx的乘積，再 利用三角恒等式sin2x cos2 x =1可將正弦函數轉化為余弦或余弦函數轉化為正弦，如：sink xdx =sin2n1xdx =sin2n xsin xdx =-sin2n xd cos x =（1cos2 x）n d cos x 或k .2n -1 .2 n.2ncos xdx 二 cos xdx =cos xcosxdx 二 cosxd sin x = (1 sin2 x)nd sin x 進行計算不定積分;當k為正偶數時，即k=2n，則可利用三角恒等式sin2x_1cos2x cos2x_1*cos2x將被積 2 '

10、 2函數進行先化簡后計算。即被積表達式可化為sink xdx "Txdx =(肘畑=(上詈空畑或k2ncos xdx =cos xdx=(cos2x)ndx J c；s2x)ndx進行計算不定積分形如sin kx costxdxsin kx sin txdxcos kx costxdx的積分我們這里只以sin kxcostxdx型的積分為例進行說明，其它積分解法與此相似。當k =t時，我們可先利用二倍角公式對其進行化簡后再用第一類換元積分法進行計 算。即. 1sin 2kxdxcos2kx 亠C4k.1 ,sin kx costxdx =2當k =t時，我們可以利用積化和差公式對其進

11、行化簡后再用第一類換元積分法進行計 算，即1 1 1sin kxcostxdx sink t)x sin(<-t)xdxcosk t)xcos( -t)x C322(k 廿)2(k-t)形如sink x cost xdx的積分若k=t時，則化為sink xdx或coskxdx型的積分；k丄若 k t 時，如果 k 為奇數 t 為偶數時，sink xcod xdx = 一(1 -cos2 x) 2 cos* x(cosx) dx，此時令m=cosx就可把上式化為多項式的積分，積分后把m=cosx回代即可；t _1如果k為偶數t為奇數時，sink xcos* xdx = (sink x(1

12、sin2x)2 (sin x) dx 此時令 m =sin x就可把 上式化為多項式的積分，積分后把 m .sin x回代即可；如果k、t均為奇數時，我們取k、t中比較小的數按上述方法進行計算；如果k、t均為偶數時，我們利用三角恒等式2sinxcosx=sin2x,sin2 x 1-cos2x,命2 2將被積函數降次化簡，然后再用上述方法換元進行計算。形如 seck x tan * xdx 的積分k 1如果k為正偶數時，則 Jseckxtant xdx = J(1 +tan2 x)2 tan( x(tan x)dx，此時令 m =tan x 就可把上式化為多項式的積分；如果k =0時，則得積分

13、tafxdx，此時可利用tan2x=sec2x-1將積分化為上面的情形和積分tan xdx上去。或者也可利用換元公式m Manx化為分母為1 t2的有理函數的積分;如果k為奇數，t為偶數時，利用恒等式tan2x=sec2x_1以及不定積分的線性性，最后 可化為形如sec2nl xdx的積分；如果t為奇數時，則seck xtan* xdx .為多項式的積分。t 1=seck 丄x(sec2x _1) 2 (secx) dx，此時令 t =secx就把上式化形如 secn xdx、cscn xdx、 tann xdx、 cotn xdx 的積分一般利用tan2 x =sec2 x _1 或 cot

14、2 x =csc2 x _1 化簡進行求解 如果n為偶數時，由tann xdx = tann xtan2xdx= tann ? x(sec2 x _1)dx = tann' xd tan x _ tann - xdxtan"x_ tannJxdx得一遞推公式，則tann xdx的積分問 n _1題即得解決。解決icotn xdx的積分類似于tann xdx的積分n如果n為奇數時，secn xdx = secn 2 :2secn xdx = secn 2 xsec2 xdx = (tan2 x 亠1) 2 d tan x icscn xdx = cscn x esc2 xdx

15、- - (cot2 x T) 2 d cot xxsec xdx = sec xd tan x rsecHxtanx(n 2) isec'xtan2 xdxcscn xdx = csc 2 xcsc2 xdx = - csc xd cotx = -cscn - xcotx (n 2) csc xcot2 xdxtann xdx = tann xtan2xdx= tann 2 x(sec2 x -1)dx=tann 2 xd tanxitann_2xdx1n丄tan _x n -1tann - xdx4例題分析x x201dx解：（方法1）（分析：所求積分可以看做兩個分式的乘積的積分，那

16、么我們可把它拆成兩 個分式的差的積分） dx XX20120 丿 20x 1 -X ,20 dx 二x x 1-dx -.x19201撕-20 右dx20 1 =In20In x20 1 C（方法2）（分析：x20 1的導數為20x19，而x乘以x19恰巧也等于x20因此，我們可以對其進行換元，然后再進行拆項求解）77一dx分子分母同時乘以x1919 xX20 X20 1 dx令u = X2i1du220 u 1 u1(1=I 20(方法3) 法)1x x20 1dX令Xr 1 u21u20191.u .du 20du u1 u11 n 1 u20 C2020%201 八 1 , X 八20

17、C In 20Cx2020 x20 - 1（方法4）20 dx XX201產70 1 x1 20頁d 1 X-20In1 x0 2>n20x204Cx 111 I 1 c 1 IX20cdu In C Inp C u 120 u 120 x20 1（分析：所求積分的分母的次數大于分子的次數，因此我們可以考慮用倒代換例 2 求 arctan 'Xdx'Jx(1+x)解（方法1）（所求積分包含，其導數等于1 ，恰好可利用此特點對其進行湊微分）2 Jx原式=2曽d、x=2ar如5如X二 arctanx C（方法2）（分析：所求積分含有根式，因此我們可以考慮用根式代換求解）原式令

18、x#呻1 2tdt=2t1 t21 tarctan t lx丄 丄 丄廠dt = 2 Jarctan td arctan t=(arctan t2 +C = (arctan VX $ +Cx arctan x .例3 求 dx+x2解方法11 arcta n x 原式 一2 4i2 d 1x* 2 二xarctan xd . 1 x2=arctan x1x 2 2 2 -. 1 x2arctan x -dx =、；1 + x2 -1 x2arctan x - In x . 1 x2CU21 u2-2u-1du=2u2 1du -2u -12u -2u-1du（此解法采用了分部積分法，令u =

19、arctanx ,x 2 ）J1 +x2方法 2 令 x=tantdx=sechdt<t < < 2 2丿2sec tdt = ttantsectdt = td sect 二 t sect - sectdt= tsect In sect +tant| +C =arctan x Y1 +x2 In (x + 戀1 +x2 )+C（此解法采用了三角代換進行求解。當積分表達式中含有、a2-x2 ，x2-a2，: x2 a2時,可分別令 x = asi nt， x = ata nt， x =asect進行換元計算）例 4 求 sinx dx'sin x +cosx解：方法1

20、（因為被積函數是三角有理式，所以我們很自然地想到用萬能代換進行換元，轉化成有理函數的不定積分來做.）8sin cos=In (u2 +1 )+2arctan u - In u2 2u 1 +C2 x 2 xx x -=x +ln 1 +tan |Tn tan 2tan T +CI2丿22方法2 （因為被積函數的分母是一個和式，如果能化成一個整體再拆成部分分式之和可能 有助于問題的解決，所以我們自然地想到用倍角公式來試一下.）原式二 sinxcosx-sinxdxtan2x-sec2x 1dxcos2x2 '_ 1_一4方法3 （湊微分法是不定積分的常用方法，通過觀察將被積函數適當變形，

21、再進行湊微分 是我們應該掌握的技巧.）(In cos2x 十 Insec2x +tan 2x _2x )+C原式=Ifsin x cosx dx =1(x _ In sin x +cosx )+C2sin x cosx方法4 （此法是通過三角函數的恒等變形（分子與分母同時除以sin3x）轉化成的湊微分法,結合了有理真分式拆分成部分分式之和.原式12d cot x ='(1 +cot x (1 +cot x )2 ,cot x +111 - cot x廠 d cot x1 cot x1 1J21=丄x +丄 In （1 + cot2 x ）- In 1 +cot x +C2 421求 2

22、dxx-3x -10（方法1）（分析：因為分母可以分解為兩個因式的乘積，因此我們可以聯想到用拆項解法可以對其進行化簡）1dx=17 -5LdxJx + 2 丿 7x_5dx*dxx-5x 22 十x_5|nx 2】C 十原式dx =i 2 3x 丄 949x -2441:r?x -23dx令t = x _492 t24*dt t4f11dt =11n7t+ C =In7xt- IL x -5（方法2）（分析：因為分母為一元二次式，因此，我們可以對其進行配方，然后觀察其特 點，又用了第一類換元法）t+?x -J 22丿_ 3_ 7廠2 C_3 72 2百、dt = 1 Jnx -55不定積分的方

23、法與歸類當我們在積分時，如果所求積分中含有如下特點,我們可以考慮一下其對應解決方法。含a2 -x2令 x 二asint或 x = acost三角代換令 x = asect令 x =ata nt三角代換三角代換.x 1令.一 X 1 = t根式代換ax b令 rb =t.cx d根式代換cx dx令x = 1t倒數代換我們在求積分時遇見與如下形式相似的，可采用湊微分法111 1_ _1. dx = d x c d ax c d ax c d ax 2. dx = 2d 、x = 2d x c （ x 0） aaav'x3. xdx =1 d x2 c d ax2 c = 1 dx222a

24、4. dx 二 d x =2 xd x15. dx = d In x = d Inxx6.I x 2 dx = 12 d（1 + x2 ）= d（J1+x2）.1 x 2 * 1 x7./ x 2 dx =d Q（1 -x2 ）8.J - xex 1 x dx 二 d xex9.（ 1 2 dx =d（I n£+71 + x2）10.1 x11. 1 Inx dx = d xlnx結束語為什么一道題會有多種解法呢？這是因為同一道題兼有不同類型的積分的特點，因而兼屬于幾種不同的積分類型；或同一個積分類型兼有不同的積分方法。對于一些簡單的基本的不定積分，我們可以通過基本的積分公式直接進行

25、求解。 對于難以直接用基本積 分公式的積分，我們有第一類換元積分法和第二類換元積分法，以及分部積分法。對于某 些特殊類型的不定積分，如一些有理函數的和可以化為有理函數的不定積分， 無論不定積 分有多么復雜，我們都可以按照一定的步驟求解。 對于有理函數的不定積分，我們可以用待定系數法把它拆成一些分式的和， 再按照基本積分公式求解；對于高階的積分，我們可 以運用多次分部積分法遞推公式，也可以通過一些公式代換將它化為有理函數的不定積 分，但在具體計算時，應根據被積函數的特點而采用簡單靈活的代換； 一些無理根式的不 定積分，可以運用換元法將其化為有理函數的不定積分， 再按照有理函數的不定積分方法 進行求解。謝辭在我選了論文題目之后，我曾經一度痛苦、彷徨，我不知道該怎么寫，該怎樣找到 有效的資料。通過指導老師的細心點撥，使我在對這次論文的寫作有了明確的方向。老師 的嚴格教導，對教學的細心認真，是我在寫作過程中的問題與不足都被老師一一發現并進 行指正。如今，伴隨著這篇畢業論文的最終成稿，復雜的心情煙消云散，自己甚至還有一 點成就感。