1、實變函數論課后答案第五章2第五章第二節習題1 設，在上可測且幾乎處處有限，證明：在上可積的充要條件是證明 在上可積在上可積，顯然可測（由可測）若，則則從知。反過來，若，則所以此時，可積，從而可積。證畢2 證明，分別在和上不可積。證明 顯然在上連續，從而非負可測。（P142 Th2）（積分不分開區間還是閉區間）所以在上不可積。（P142 Th1 可積于也可積于）則在上不可積。令知則在上不可積。3.設在意義下的廣義積分是絕對收斂的，證明在上可積，且證明 1）在上可測。事實上，在上廣義可積充分大，在上可積,故在上有界，且可積。由P156Th8 在上幾乎處處連續，且可測（P157： 于，為簡單函數，可

2、測）由的任意性，知在上可測 于2）在上可積。我們只用證。 充分大，由作為廣義絕對收斂，知在 上（有界）可積，且由1）已知在上可測，從而也可測于，再由P142定理已知在上可積知在上可積且且令則于。，由Levi定理則則在上可積。3）從（前已證）只用證，于。由控制收斂定理，知4.設，證明如果，都是上的可積函數，且在上一致收斂于，則也在上可積且證明 從于，知，則可測于另一方面(1)事實上，若（a）,則顯然（1）成立。若（b），則故（1）成立若（c），則若（d），則（1）成立。由（1）和于知（2）同理（3）故于由準則知， ， ，（由）則所以存在且有限。由引理和（2）（3）知故在上非負可積，從而有在上可積

3、。從于知 ， ，當時有則時則5.設F是一族在上可積的函數證明F是積分等度絕對連續的充分條件是對任意，都有使證明 設，則若F是等度絕對連續，則 ， ，使得當可測集且時，有對上述和存在，使，故，可積，故故，故得證。反過來，若 ，使，則 ，使令則當可測集，且時，可積，故于是積分等度絕對連續。6.證明證明 顯然在上非負連續，從而非負可測。故存在（有限或正無窮）。又時，在上非負可測，由基本定理，令，則非負可測，單調上升（關于！）且故由定理（因為在上連續，P142Th2）則綜上有結論（1）得證注意上面的論證，固然也可用本節練習3的結論先驗證廣義積分絕對收斂，從而有但交換順序導致不方便，還是要用基本定理，反

4、而多了一道手續（2）則顯然時，收斂，故 絕對收斂于注意時， 是正項級數。而時，是上的可積函數。由基本定理由控制收斂定理則（用分部積分法或用）則為求，考慮在上的付里葉展式設則則由于充分光滑，故（由，）即則證畢。7.證明證明 令，則非負連續于，當時（當）當時（若）令則對一切有在和上分別非負可測。從P104定理4知在上廣義絕對可積知在上可積，由控制收斂定理知（定理）第二問題的解：令則當時則在時是的增函數。又顯然則于上，從而于上。所以在上單調遞減，當時，令，則 于若在上可積，由控制收斂定理可得若在上可積，從非負可測，非負可測，由引理知8.設都是上的可測函數證明 在上幾乎處處絕對收斂，其和函數在上可積，

5、并且證明 可測，則簡單非負可測（P107Th7）故由基本定理和本題條件故在上可積，由P144定理3 于即在上幾乎處處絕對收斂。又也為上可測函數，故由P145 定理4故在可積，由P142定理2知在上可積令則，而，而可積由控制收斂定理證畢15.利用引理給出情況下的控制收斂定理的一個更直接初等的證明。證明 設存在非負可積函數使于 則從于知 于故于則于，令則在上非負可測，且于由引理由在上非負可積知則則則所以得證注實際上證了于且在書上要求實際上只用對幾乎處處有上式即可。14.設在上可積，是的一串收斂的可測子集，證明證明 令則從可測，可積知，是上可測函數，由P11習題6的結論另一方面則于上另一方面由條件可

6、積于故由控制收斂定理證畢11.設當時是在上可積的函數（這里是有界閉區間）且有常數使證明證明 使，則充分大時故由條件，在上可積在上可積且又由中值定理 則 由控制收斂定理即由的任意性知序列極限與函數極限的關系知 證畢9.將中全體有理數排成序列，證明是在上幾乎處處收斂的。證明 顯然，是上的可測函數且是上的非負可測函數，也是上的非負可測函數。由基本定理故故幾乎處處收斂。10.設，證明在上的充要條件是證明 先設則子列則從于和有P154有界收斂定理知反過來，若，由于在上單調增加故時，令則則故于上12.證明：若在上可積，則對任意都有上的連續函數使如果還是有界的，則上述還可以要求是的多項式。證明 ，在上可積都在上可積。若本題結論對非負的成立，則對一般也成立。事實上，若結論對成立，則，使，令， 則故結論成立。下面假設，在上可積，則由非負可測函數積分的定義（P131）則，使，這個有界可測函數滿足從知則，幾乎處處有限于，由P116Th2（Lusin定理的另一形式，可不要求）閉集和，使（1）時，（2