1、1.3.2“楊輝三角”與二項式系數的性質A 基礎達標1 .若 x3+JIneN*）的展開式中只有第 6 項系數最大，則該展開式中的常數項為（）A.210B.252C.462D.10解析：選 A.由于展開式中只有第 6 項的系數最大，且其系數等于其二項式系數，所以展開式項數為11,從而n=10,于是得其常數項為 C60=210.2.（1+x）n（3-x）的展開式中各項系數的和為 1024,則n的值為（）A.8B.9C.10D.11解析：選 B.由題意知（1+1）n（31）=1024,即 2n+1=1024,所以 n=9.故選 B.3.（2019煙臺高二檢測）已知（1+x）n的展開式中第 4 項與

2、第 8 項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為（）A.212B.211C.210D.29解析：選 D.因為（1+x）n的展開式中第 4 項與第 8 項的二項式系數相等，所以 C3=C7,解1得 n=10,所以二項式（1+x）10的展開式中奇數項的二項式系數和為-x210=29.4.已知（3x）n=a0+ax+a2x2+anxn,若其第 2 項的二項式系數與第 4 項的二項式系數相等，則a。一&+%+（1）nan=（）(1) 32B.64D.256解析：選 D.由題意可得 d=d,所以 n=4.令 x=1,則(3x)=(3+1)=aa1+a2a3+a4=256.所以 aa+&

3、;+(-1)nan=256.解析：選D.令x=1得3n=a+a+a2+a2n1+a2n.令x=1得1=a0a+a2一a2n1+a2n.C.1285.設(1+x+x2)n2n=ao+ax+a2x+a2nx,則a0+a2+a4+a2n等于()nA. 2B.3=12C. 2n1D.3n+12+得 3n+1=2(a0+a2+a2n),3n+1 二所以ao+&+a2n=-2.故選D.6 .已知(ax)5=ao+aix+&x2+asx5,若a2=80,則ao+ai+a2+as=解析：展開式的通項為Tr+1=(1)展a5x,令 r=2,則 a2=(1)2C5a3=80,即 a=2,故(2x)

4、5=a0+a1x+a2x2+asx5,令 x=1,得a0+a1+a5=1.答案：17 .若(1+，2)5=a+W2(a,b為有理數)，則 a+b=.解析：因為(1+m)5=C5()0+C5(m)1+反乖)2+&乖)3+&、)4+戊乖)5=1+5+20+202+20+4/2=41+292,由已知可得 41+29，2=a+by2,所以 a+b=41+29=70.答案：708 .(x+1)(x2)=a0+a1(x1)+a2(x1)+a3(x1)+an(x1),則a+a2+a3+an 的值為.解析：令 x=1,得a0=-2.令 x=2,得a0+a+a2+an=0.所以a1+&+

5、a3+a*=2.答案：29 .設(2，3x)100=ao+ax+a2x2+a100 x100,求下列各式的值：(2)a。；(3)a1+a2+a3+&+2100；(4)a+a3+a5+a99；(4)(a0+a2+a100)一(a+a3+a99)；(5)|a|+|a+|a100|.解：(1)令x=0,可得a=2100.(2)令 x=1,可得ao+a1+a2+a100=(2f3),(*)所以a+&+a100=(23)1002100.(3)令 x=-1.可得a0a1+a2a3+a100=(2+小)100.與(*)式聯立相減得若 Tr+1為常數項，則1065r=0,即r=2,故常數項為飛

6、=(1)2C2 435 一=27,于是有 2n=27,得 n=7.3nc73/a 展開式的二項式系數和為 2n=27=128.(2)3737r3-0a 的通項為 Tr+1=C7ja(一,Js)=C7(1),37,a5r216-所以所求a1項的二項式系數為 C3=35.B 能力提升11.若(12x)2017=a+-x+a2017X2017(xCR),則+|2黑的值為(A.2B. 0C. -2D. 1(4)原式=(a0+a2+a)+(ai+a3+a99)(a()+&+a)(a+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100),(a0a1+a2a3+a98a99+a100)=(23)(2+3)

7、1100=1.(5)因為Tr+1=(1)rCr002100r(5)rxr.所以a2k10(kNj.所以|ao|+|a+|a?|+,+|a1oo|=a。一a1+a2a3+,+a1oo=(2+-3).求:3/an展開式的二項式系數和;依題意，令 a=1,得工”展開式中各項系數和為(3-1)n=2n,4 折一扁5ai+a3+a99=(2后-(2+通10010.已知n的展開式的各項系數之和等于 4 強,5b5的展開式中的常數(2)n展開式中含a-1項的二項式系數.解:展開式中的通項為Tr+1=C5(43/b)5r看(1)&5r.52b卡解析：選D.(12x)2017=a()+aix+a2017

8、X2017,令x=-1,12017a1a2a2017_則(12x2)=a0+萬+亍+2201/=0,a1a2a2017.其中 a0=1,所以萬+22017=11.12.(a+x)(1+x)4的展開式中X的奇數次哥項的系數之和為 32,則 a=.解析：設(a+x)(1+x)4=a0+ax+&x2+a3x3+a4x4+asx5.令x=1,得(a+1)X2=a0+a1+a2+&+a4+a5.令x=-1,得0=a。一a1+a2a3+a4一a5.一，得 16(a+1)=2(ada3+a5)=2X32,所以a=3.答案：3213.已知(x3+3x2)n的展開式中，各項系數的和比它的二項式系

9、數的和大 992.(1)求展開式中二項式系數最大的項；(2)求展開式中系數最大的項.解：(1)令 x=1,則展開式中各項系數的和為(1+3)n=22n,又展開式中二項式系數的和為 2n,所以 22n-2n=992,解得 n=5,所以展開式共 6 項，二項式系數最大的項為第三、四兩項，2所以F=C5(x3)3(3x2)2=90 x6,T4=C5(x3)2(3x2)3=270 x3.(2)設展開式中第r+1 項系數最大，210+4r則Tr+1=C5(x3)5r(3x?)r=3Cx3,3rs3r展1,79所以 3r院廣+1?2r2,又CN,所以 r=4.即展開式中第 5 項系數最大，226T5=c5

10、(x3)(3x2)4=405x3.14.(選做題)在楊輝三角中，除每行的兩端數值外，每一數值都是它左上角和右上角兩個數值之和，楊輝三角開頭幾行如圖所示.笫I行第班簫3行笫4行第5行1(1)利用楊輝三角展開(1x)6;(2)在楊輝三角中哪一行會出現相鄰的三個數，它們的比是 3：4：5?解：(1)根據楊輝三角的規律“每行兩端都是 1,其余每個數都等于它肩上的兩個數的和”，可寫出第 6 行的二項式系數為 1,6,15,20,15,6,1,所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.令 a=1,b=x,得(1x)6=16x+15x220 x3+15x46x5+x6.(2)設在第 n 行出現的三個相鄰的數的比是 3：4：5,并設這三個數分別是 d-,d,Ck+1,3cn-廠cr，4c