1、2.1.1合情推理(一)明目標、知重點1.了解歸納推理的含義，能利用歸納推理進行簡單的推理.2.了解歸納推理在數學發展中的作用1歸納推理從個別事實中推演出一般性的結論的推理稱為歸納推理歸納推理的思維過程大致是實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論2歸納推理的特點(1)歸納推理是從特殊到一般的推理；(2)由歸納推理得到的結論不一定正確；(3)歸納推理是一種具有創造性的推理 情境導學佛教百喻經中有這樣一則故事從前有一位富翁想吃芒果，打發他的仆人到果園去買，并告訴他：“要甜的，好吃的，你才買”仆人拿好錢就去了到了果園，園主說：“我這里樹上的芒果個個都是甜的，你嘗一個看”仆人說：“我嘗一個怎能知道全體呢？

2、我應當個個都嘗過，嘗一個買一個，這樣最可靠”仆人于是自己動手摘芒果，摘一個嘗一口，甜的就都買回去帶回家去，富翁見了，覺得非常惡心，一齊都扔了想一想：故事中仆人的做法實際嗎？換作你，你會怎么做？學習了下面的知識，你將清楚是何道理探究點一歸納推理思考1在日常生活中我們常常遇到這樣一些問題：看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家等現象時，我們會得出一個判斷天要下雨了；張三今天沒來上課，我們會推斷張三一定生病了；諺語說：“八月十五云遮月，來年正月十五雪打燈”等，像上面的思維方式就是推理，請問你認為什么是推理？答根據一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理思考2觀察下面兩個推理，回答后面的兩個

3、問題：(1)哥德巴赫猜想：422633835105512571477165111 000299711 002139863猜想：任何大于2的偶數可以表示為兩個素數的和(2)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導電，猜想：一切金屬都能導電問題：以上兩個推理在思維方式上有什么共同特點？其結論一定正確嗎？答共同特點：部分推出整體，個別推出一般(這種推理稱為歸納推理)其結論不一定正確小結從個別事實中推演出一般性的結論的推理稱為歸納推理歸納推理的思維過程大致是實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論探究點二歸納推理在數列中的應用例 1已知數列an的第1項a11，且an1(n1,2,3，)，試歸納出這個數列的通項公式解當

4、n1時，a11；當n2時，a2；當n3時，a3；當n4時，a4.通過觀察可得：數列的前四項都等于相應序號的倒數，由此歸納出an.反思與感悟(1)歸納推理的思想：對于集合 a、b、c、d、e、f ，若a、b、c、dA，則a、b、c、d、e、fA.(2)歸納推理的一般步驟：通過觀察個別情況發現某些相同性質；從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想)(3)歸納推理的意義：歸納推理在數列中應用廣泛，我們可以從數列的前幾項具有的規律，歸納數列的通項公式或探求數列的前n項和公式，其正確性有待證明，但為證明正確性提供了方向跟蹤訓練1已知數列an滿足a11，an12an1(n1,2,3，)(1)求

5、a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項公式an.解(1)當n1時，知a11，由an12an1得a23，a37，a415，a531.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可歸納猜想出an2n1(nN*)探究點三歸納推理在圖形變化中的應用例 2在法國巴黎舉行的第52屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個球；第2,3,4，堆最底層(第一層)分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數，則f(3)_；f(n)

6、_(答案用含n的代數式表示)答案10解析觀察圖形可知：f(1)1，f(2)4，f(3)10，f(4)20，故下一堆的個數是上一堆個數加上下一堆第一層的個數，即f(2)f(1)3；f(3)f(2)6；f(4)f(3)10；f(n)f(n1).將以上(n1)個式子相加可得f(n)f(1)3610(1222n2)(123n)n(n1)(2n1).反思與感悟解例2的關鍵在于尋找遞推關系式：f(n)f(n1)，然后用“疊加法”求通項，而第一層的變化規律，結合圖利用不完全歸納法可得，即為正整數前n項和的變化規律跟蹤訓練2在平面內觀察：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，由此猜

7、想凸n(n4且nN*)邊形有幾條對角線？解凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，比凸四邊形多3條，凸六邊形有9條對角線，比凸五邊形多4條，于是猜想凸n邊形比凸(n1)邊形多(n2)條對角線因此凸n邊形的對角線條數為2345(n2)n(n3)(n4且nN*)探究點四歸納推理在算式問題中的應用例3觀察下面等式，并從中歸納出一般法則112，1322，13532，135742，1357952，解對于等式，等號左端是整數，且是從1開始的n項的和，等號的右端是項數的平方猜想結論：135(2n1)n2(nN)反思與感悟對于運算式的猜測和推廣，這一類問題需要觀察的方面很多：首先是式子的共同結構特點，其次

8、是式子中出現的字母之間的關系，還有化簡或運算的結果等等另外要注意對較為復雜的運算式，不要化簡，這樣便于觀察運算規律和結構上的共同點跟蹤訓練3在ABC中，不等式成立；在四邊形ABCD中，不等式成立；在五邊形ABCDE中，不等式成立猜想在n邊形A1A2An中有怎樣的不等式成立？答案(n3且nN*)1已知 2，3，4，若 6(a、b均為實數)請推測a_，b_.答案635解析由前面三個等式，發現被開方數的整數與分數的關系：整數和這個分數的分子相同，而分母是這個分子的平方減1，由此推測 中，a6，b62135.2下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規律往下排起來，那么第36顆珠子的顏色應是_答案白色解析

9、由圖知：三白二黑周而復始相繼排列，36÷57余1.第36顆珠子的顏色為白色3將全體正整數排成一個三角形數陣：按照以上排列的規律，第n行(n3)從左向右的第3個數為_答案解析前n1行共有正整數12(n1)個，即個，因此第n行第3個數是全體正整數中第3個，即為.4如圖，觀察圖形規律，在其右下角的空格處畫上合適的圖形，應為_答案解析觀察圖中每一行，每一列的規律，從形狀和顏色入手每一行，每一列中三種圖形都有，故填長方形又每一行每一列中的圖形的顏色應有二黑一白呈重點、現規律歸納推理的一般步驟：(1)對有限的資料進行觀察、分析、歸納、整理，發現某些相同的性質；(2)從已知的相同性質中推出一個明確

10、表述的一般命題，提出帶有規律性的結論，即猜想注意：一般性的命題往往要用字母表示，這時需注明字母的取值范圍.一、基礎過關1數列5,9,17,33，x，中的x_答案65解析5221,9231,17241,33251，歸納可得：x26165.2根據給出的數塔猜測123 456×97_.1×921112×93111123×941 1111 234×9511 11112 345×96111 111答案1 111 111解析由數塔猜測應是各位都是1的七位數，即1 111 111.3觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納

11、推理可得：若定義在R上的函數f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導函數，則g(x)_.答案g(x)解析由所給函數及其導數知，偶函數的導函數為奇函數因此當f(x)是偶函數時，其導函數應為奇函數，故g(x)g(x)4f(n)1(nN*)，經計算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推測當n2時，有_答案f(2n)>(n2)解析觀測f(n)中n的規律為2k(k1,2，)不等式右側分別為，k1,2，f(2n)>(n2)5已知sin230°sin290°sin2150°，sin25°

12、sin265°sin2125°. 通過觀察上述兩等式的規律，請寫出一個一般性的命題：_.答案sin2(60°)sin2sin2(60°)6觀察下列等式11234934567254567891049照此規律，第n個等式為_答案n(n1)(3n2)(2n1)27已知正項數列an滿足Sn(an)，求出a1，a2，a3，a4，并推測an.解a1S1(a1)，又因為a1>0，所以a11.當n2時，Sn(an)，Sn1(an1)，兩式相減得：an(an)(an1)，即an(an1)所以a22，又因為a2>0，所以a21.a32，又因為a3>0，所以

13、a3.a42，又因為a4>0，所以a42.將上面4個式子寫成統一的形式：a1，a2，a3，a4，由此可以歸納推測：an.二、能力提升8古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數，如三角形數1,3,6,10，第n個三角形數為n2n，記第n個k邊形數為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：三角形數N(n,3)n2n，正方形數 N(n,4)n2，五邊形數 N(n,5)n2n，六邊形數 N(n,6)2n2n可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推測：當k為偶數時，N(n，k)n2n，

14、N(10,24)×100×101 1001001 000.9傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數他們研究過如圖所示的三角形數：將三角形數1,3,6,10，記為數列an，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列bn，可以推測：(1)b2 012是數列an中的第_項；(2)b2k1_.(用k表示)答案(1)5 030(2)解析由以上規律可知三角形數1,3,6,10，的一個通項公式為an，寫出其若干項有1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，發現其中能被5整除的為10,15,45,55,10

15、5,120，故b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15.從而由上述規律可猜想：b2ka5k(k為正整數)，b2k1a5k1(5k1)×，故b2 012b2×1 006a5×1 006a5 030，即b2 012是數列an中的第5 030項10觀察下列等式1211222312223261222324210照此規律，第n個等式可為_答案12223242(1)n1n2(1)n1·解析觀察等式左邊的式子，每次增加一項，故第n個等式左邊有n項，指數都是2，且正、負相間，所以等式左邊的通項為(1)n1n2.等式右邊的值的符號也是正、負相間，其絕對值分別為1,3,6,10,15,21，.設此數列為an，則a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n個等式為12223242(1)n1n2(1)n1·.11根據下列條件，寫出數列的前4項，并歸納猜想它的通項公式(1)a1a，an1；(2)對一切的nN*，an>0，且2an1.解(1)由已知可得a1a，a2，a3，a4.猜想an(nN*)(2)2an1，2a11，即2a11，a11.又2a21，2a21，a2a230，對一切的nN*，an>0，a23.同理可求得a35，a47，猜想出an2n1(