1、項目四 無窮級數 實驗 無窮級數（基礎實驗） 實驗目的觀察無窮級數部分和的變化趨勢,進一步理解級數的審斂法以及冪級數部分和對函數的逼近. 掌握用Mathematica求無窮級數的和, 求冪級數的收斂域, 展開函數為冪級數以及展開周期函數為傅里葉級數的方法. 基本命令 1. 求無窮和的命令Sum 該命令可用來求無窮和. 例如,輸入 Sum1/n2,n,l,Infinity則輸出無窮級數的和為 命令Sum與數學中的求和號相當. 2. 將函數展開為冪級數的命令Series 該命令的基本格式為 Seriesfx,x,x0,n它將展開成關于的冪級數. 冪級數的最高次冪為余項用表示. 例如,輸入 Seri

2、esyx,x,0,5則輸出帶皮亞諾余項的麥克勞林級數 3. 去掉余項的命令Normal在將展開成冪級數后, 有時為了近似計算或作圖, 需要把余項去掉. 只要使用Normal命令. 例如,輸入 SeriesExpx,x,0,6 Normal%則輸出 4. 強制求值的命令Evaluate如果函數是用Normal命令定義的, 則當對它進行作圖或數值計算時, 可能會出現問題. 例如,輸入fx=NormalSeriesExpx,x,0,3Plotfx,x,-3,3則只能輸出去掉余項后的展開式 而得不到函數的圖形. 這時要使用強制求值命令Evaluate, 改成輸入 PlotEvaluatefx,x,-3

3、,3則輸出上述函數的圖形.5. 作散點圖的命令ListPlot ListPlot 為平面內作散點圖的命令, 其對象是數集,例如,輸入ListPlotTablej2,j,16,PlotStyle-PointSize0,012則輸出坐標為的散點圖(圖1.1).圖1.16. 符號“/；”用于定義某種規則,“/；”后面是條件. 例如,輸入Clearg,gf;gx_:=x/;0=x1gx_:=-x/;-1=x=1則得到分段的周期函數再輸入 gf=Plotgx,x,-1,6則輸出函數的圖形1.2.圖1.2注:用Which命令也可以定義分段函數, 從這個例子中看到用“(表達式)/; (條件)”來定義周期性分

4、段函數更方便些. 用Plot命令可以作出分段函數的圖形, 但用Mathematica命令求分段函數的導數或積分時往往會有問題. 用Which定義的分段函數可以求導但不能積分. Mathematica內部函數中有一些也是分段函數. 如:Modx,1,Absx,Floorx和UnitStepx.其中只有單位階躍函數UnitStepx可以用Mathematica命令來求導和求定積分. 因此在求分段函數的傅里葉系數時, 對分段函數的積分往往要分區來積. 在被積函數可以用單位階躍函數UnitStep的四則運算和復合運算表達時, 計算傅里葉系數就比較方便了. 實驗舉例 數項級數例1.1 (教材 例1.1)

5、(1) 觀察級數的部分和序列的變化趨勢.(2) 觀察級數的部分和序列的變化趨勢.輸入sn_=Sum1/k2,k,n;data=Tablesn,n,100;ListPlotdata;NSum1/k2,k,InfinityNSum1/k2,k,Infinity,40則輸出(1)中級數部分和的變化趨勢圖1.3.圖1.3級數的近似值為1.64493.輸入sn_=Sum1/k,k,n;data=Tablesn,n,50;ListPlotdata,PlotStyle-PointSize0.02;則輸出(2)中級數部分和的的變化趨勢圖1.4.圖1.4例1.2 (教材 例1.2) 畫出級數的部分和分布圖.輸入

6、命令Clearsn,g;sn=0;n=1;g=;m=3;While1/n10-m,sn=sn+(-1)(n-1)/n;g=Appendg,GraphicsRGBColorAbsSinn,0,1/n,Linesn,0,sn,1;n+;Showg,PlotRange-0.2,1.3,Axes-True;則輸出所給級數部分和的圖形（圖1.5）,從圖中可觀察到它收斂于0.693附近的一個數.圖1.5例1.3 求的值.輸入 Sumx(3k),k,1,Infinity得到和函數 例1.4 (教材 例1.3) 設 求. 輸入Cleara;an_=10n/(n!);vals=Tablean,n,1,25;Li

7、stPlotvals,PlotStyle-PointSize0.012則輸出的散點圖（1.6）,從圖中可觀察的變化趨勢. 輸入 Suman,n,l,Infinity則輸出所求級數的和.圖1.6求冪級數的收斂域 例1.5 (教材 例1.4) 求的收斂域與和函數. 輸入Cleara;an_=4(2n)*(x-3)n/(n+1);stepone=an+1/an/Simplify則輸出 再輸入 steptwo=Limitstepone,n-Infinity則輸出 這里對an+1和an都沒有加絕對值. 因此上式的絕對值小于1時, 冪級數收斂; 大于1時發散. 為了求出收斂區間的端點, 輸入ydd=Sol

8、vesteptwo=1,xzdd=Solvesteptwo=-1,x則輸出 由此可知,當時,級數收斂,當或時,級數發散. 為了判斷端點的斂散性, 輸入 Simplifyan/.x-(49/16)則輸出右端點處冪級數的一般項為因此,在端點處,級數發散. 再輸入 Simplifyan/.x-(47/16)則輸出左端點處冪級數的一般項為因此,在端點處, 級數收斂. 也可以在收斂域內求得這個級數的和函數. 輸入 Sum4(2n)*(x-3)n/(n+1),n,0,Infinity則輸出 函數的冪級數展開 例1.6 (教材 例1.5) 求的6階麥克勞林展開式. 輸入 SeriesCosx,x,0,6則輸

9、出 注:這是帶皮亞諾余項的麥克勞林展開式. 例1.6 (教材 例1.6) 求在處的6階泰勒展開式.輸入 SeriesLogx,x,1,6則輸出例1.7 (教材 例1.7) 求的5階泰勒展開式.輸入serl=SeriesArcTanx,x,0,5;Poly=Normalserl則輸出的近似多項式 通過作圖把和它的近似多項式進行比較. 輸入PlotEvaluateArcTanx,Poly,x,-3/2,3/2,PlotStyle-Dashing0.01,GrayLevel0,AspectRatio-l則輸出所作圖形（圖1.7）, 圖中虛線為函數,實線為它的近似多項式.圖1.7 例1.9 求在處的8

10、階泰勒展開, 并通過作圖比較函數和它的近似多項式. 輸入Clearf;fx_=Exp-(x-1)2*(x+1)2;poly2=NormalSeriesfx,x,1,8PlotEvaluatefx,poly2,x,-1.75,1.75,PlotRange-2,3/2,PlotStyle-Dashing0.01,GrayLevel0則得到近似多項式和它們的圖1.8. 圖1.8例1.10 求函數在處的階泰勒展開, 通過作圖比較函數和它的近似多項式, 并形成動畫進一步觀察. 因為 所以輸入DoPlotSum(-1)j*x(2j+1)/(2j+1)!,j,0,k,Sinx,x,-40,40,PlotSt

11、yle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,0,1,k,1,45則輸出為的3階和91階泰勒展開的圖形. 選中其中一幅圖形,雙擊后形成動畫. 圖1.9是最后一幅圖.圖1.9例1.11 利用冪級數展開式計算(精確到).因為根據在處的展開式有故前項部分和為輸入命令sn_=3(1-1/(5*34)-SumProduct5i-1,i,1,k-1/(5k k!3(4k),k,2,n-1);rn_=Product5i-1,i,1,n-1/5n/n!3(4n-5)/80;delta=10(-10);n0=100;DoPrintn=,n,sn=,Nsn,20;Ifrndelta,Break;Ifn=

12、n0,Printfailed,n,n0則輸出結果為 傅里葉級數例1.12 (教材 例1.8) 設是以為周期的周期函數,它在的表達式是 將展開成傅里葉級數. 輸入Clearg;gx_:=-1/;-Pi=x0gx_:=1/;0=xPigx_:=gx-2Pi/;PiRGBColor0,1,0; 則輸出的圖形 (圖1.10).圖1.10因為是奇函數, 所以它的傅里葉展開式中只含正弦項. 輸入b2n_:=b2n=2 Integrate1*Sinn*x,x,0,Pi/Pi;fourier2n_,x_:=Sumb2k*Sink*x,k,1,n;tun_:=Plotgx,Evaluatefourier2n,x

13、, x,-Pi,5 Pi,PlotStyle-RGBColor0,1,0,RGBColor1,0.3,0.5,DisplayFunction-Identity; (*tun是以n為參數的作圖命令*)tu2=Tabletun,n,1,30,5; (*tu2是用Table命令作出的6個圖形的集合*)toshow=Partitiontu2,2; (*Partition是對集合tu2作分割, 2為分割的參數*)ShowGraphicsArraytoshow (*GraphicsArray是把圖形排列的命令*)則輸出6個排列著的圖形（圖1.11）,每兩個圖形排成一行. 可以看到越大, 的傅里葉級數的前項和與越接近. 圖1.11實驗習題1.求下