1、20092010學年度高三數學（人教版A版）第一輪復習資料第26講平面向量的數量積及應用一【課標要求】1平面向量的數量積通過物理中"功"等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義；體會平面向量的數量積與向量投影的關系；掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。2向量的應用經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發展運算能力和解決實際問題的能力。二【命題走向】本講以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質，重點考察平

2、面向量的數量積的概念及應用。重點體會向量為代數幾何的結合體，此類題難度不大，分值59分。平面向量的綜合問題是“新熱點”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數等聯系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主預測2010年高考：（1）一道選擇題和填空題，重點考察平行、垂直關系的判定或夾角、長度問題；屬于中檔題目（2）一道解答題，可能以三角、數列、解析幾何為載體，考察向量的運算和性質；三【要點精講】1向量的數量積（1）兩個非零向量的夾角已知非零向量a與a，作，則AA（）叫與的夾角；說明：（1）當時，與同向；（2）當時，與反向；（3）當時，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點

3、的，范圍0°q180°。C（2）數量積的概念已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數量積（或內積）。規定；向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；（3）數量積的幾何意義：·等于的長度與在方向上的投影的乘積（4）向量數量積的性質向量的模與平方的關系：。乘法公式成立；平面向量數量積的運算律交換律成立：；對實數的結合律成立：；分配律成立：。向量的夾角：cos=。當且僅當兩個非零向量與同方向時，=00，當且僅當與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題（5）兩個向量的數量積的坐標運算

4、已知兩個向量，則·=。（6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作。兩個非零向量垂直的充要條件：·O，平面向量數量積的性質。（7）平面內兩點間的距離公式設，則或。如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么(平面內兩點間的距離公式)2向量的應用（1）向量在幾何中的應用；（2）向量在物理中的應用。四【典例解析】題型1：數量積的概念例1判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；（4）若，則當且僅當時成立；（5）對任意向量都成立；（6）對任意向量，有。解析：（1）錯；（2）對；（3）錯；（4）錯；（5）錯；（6）對。點評：通過該題我們清楚了向量的數乘與數

5、量積之間的區別于聯系，重點清楚為零向量，而為零例2 已知中，過重心的直線交邊于，交邊于，設的面積為，的面積為，則（）（）的取值范圍是.【解析】設，因為是的重心，故，又，因為與共線，所以，即，又與不共線，所以及，消去，得.（），故；（），那么，當與重合時，當位于中點時，故，故但因為與不能重合，故（2）設、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（·）（·）=|<| （·）（·）不與垂直（3+2）（32）=9|24|2中，是真命題的有（ ）A.B.C.D.解析：（1）答案：D；因為，而；而方向與方向不一定同向（2）答案：D平面向量的數量積不滿足結合律。故

6、假；由向量的減法運算可知|、|、|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故真；因為（·）（·）·=（·）·（·）·=0，所以垂直.故假；（3+2）（32）=9··4·=9|24|2成立。故真。點評：本題考查平面向量的數量積及運算律，向量的數量積運算不滿足結合律。題型2：向量的夾角例3（1）過ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點D、E若，則的值為（）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC為正三角形易得3選B評析：本題考查向量的有關知識，如果按常規方法就比較難處理，

7、但是用特殊值的思想就比較容易處理，考查學生靈活處理問題的能力（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角的大小是。（3）已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。（4）| |=1，| |=2，= + ，且，則向量與的夾角為（ ）A30°B60°C120°D150°解析：（2）；（3）由題意，且與的夾角為，所以，同理可得。而，設為與的夾角，則。（4）C；設所求兩向量的夾角為即：所以點評：解決向量的夾角問題時要借助于公式，要掌握向量坐標形式的運算。向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。對于這個公式的變形應用應該做到熟練，另

8、外向量垂直（平行）的充要條件必需掌握例4（1）設平面向量、的和。如果向量、，滿足，且順時針旋轉后與同向，其中，則（ ）A+= B-+=C+-= D+=（2）（2009廣東卷理）已知向量與互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值解（1）與互相垂直，則，即，代入得，又，.（2），則，2、（山東臨沂2009年模擬）如圖，已知ABC中，|AC|=1,ABC=,BAC=,記。（1） 求關于的表達式;（2） 求的值域。解：（1）由正弦定理，得（2）由，得，即的值域為.3.已知,。 （1）求； （2）設BAC，且已知cos(+x) ，求sinx解：（1）由已知CDAB，在RtBCD中BC2=BD2+C

9、D2,又CD2=AC2AD2, 所以BC2=BD2+AC2AD2=49，4分所以6分（2）在ABC中，8分 而 如果，則10分點評：對于平面向量的數量積要學會技巧性應用，解決好實際問題題型3：向量的模例5（1）已知向量與的夾角為，則等于（ ） A5B4C3D1（2）（2009遼寧卷文）平面向量a與b的夾角為，a(2,0), | b |1，則 | a2b |等于（）A. B.2 C.4 D.12解析由已知|a|2,|a2b|2a24a·b4b244×2×1×cos60°412解析：（1）B；（2）B點評：掌握向量數量積的逆運算，以及。例6已知（3

10、，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。解析：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）(x+y)·3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y ；又x+y=1x+y；（x+4y）（x+3y）；整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y ；由有24xy+25y ；將變形代入可得：y=±；再代回得：。點評：這里兩個條件互相制約，注意體現方程組思想。題型4：向量垂直、平行的判定例7已知向量，且，則。解析：，。例8已知，按下列條件求實數的值。（1）；（2）；。解析：（1）；（2）；。點評：

11、此例展示了向量在坐標形式下的平行、垂直、模的基本運算題型5：平面向量在代數中的應用例9已知。分析：，可以看作向量的模的平方，而則是、的數量積，從而運用數量積的性質證出該不等式。證明：設則。點評：在向量這部分內容的學習過程中，我們接觸了不少含不等式結構的式子，如等。例10已知，其中。（1）求證：與互相垂直；（2）若與（）的長度相等，求。解析：（1）因為所以與互相垂直。（2），所以，因為，所以，有，因為，故，又因為，所以。點評：平面向量與三角函數在“角”之間存在著密切的聯系。如果在平面向量與三角函數的交匯處設計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰性。若根據所給的三角式的結構及向量間的相互關

12、系進行處理。可使解題過程得到簡化，從而提高解題的速度。題型6：平面向量在幾何圖形中的應用例12用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。已知：如圖，AB是O的直徑，點P是O上任一點（不與A、B重合），求證：APB90°。證明：聯結OP，設向量，則且，即APB90°。點評：平面向量是一個解決數學問題的很好工具，它具有良好的運算和清晰的幾何意義。在數學的各個分支和相關學科中有著廣泛的應用。題型7：平面向量在物理中的應用例13如圖所示，正六邊形PABCDE的邊長為b，有五個力、作用于同一點P，求五個力的合力解析：所求五個力的合力為，如圖3所示，以PA、PE為邊作平行四邊形PAOE，則

13、，由正六邊形的性質可知，且O點在PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則，由正六邊形的性質可知，且F點在PC的延長線上。由正六邊形的性質還可求得故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為，方向與的方向相同。課后訓練：2009北京卷理）已知向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) A且c與d同向 B且c與d反向 C且c與d同向 D且c與d反向答案D解析本題主要考查向量的共線（平行）、向量的加減法. 屬于基礎知識、基本運算的考查.取a，b，若，則cab，dab，顯然，a與b不平行，排除A、B. 若，則cab，dab，即cd且c與d反向，排除C，故選D.2、江蘇省阜中20

14、08屆高三第三次調研考試試題已知O為坐標原點,集合,且.463、(2009山東卷理)設P是ABC所在平面內的一點，則（）A. B. C. D.答案 B解析 :因為，所以點P為線段AC的中點，所以應該選B。【命題立意】:本題考查了向量的加法運算和平行四邊形法則，可以借助圖形解答.4、（2009寧夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面內，且，且，則點O，N，P依次是的( )A.重心外心垂心 B.重心外心內心C.外心重心垂心 D.外心重心內心答案 C（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）解析5.江蘇省省阜中2008屆高三第三次調研考試數學(文科)試題若向量a=，b=，且a，b的夾角為鈍角

15、，則x的取值范圍是. 6.（2009浙江卷文）已知向量，若向量滿足，則（）A B C D答案 D解析不妨設，則，對于，則有；又，則有，則有【命題意圖】此題主要考查了平面向量的坐標運算，通過平面向量的平行和垂直關系的考查，很好地體現了平面向量的坐標運算在解決具體問題中的應用7.對于個向量，若存在個不全為零的實數使得成立，則稱向量是線性相關的.按此規定，能使向量是線性相關的實數的值依次為.（只需寫出一組值即可）根據線性相關的定義得，令則，的一組值為4，2，18.已知向量i=(1,0),j=(0,1),A,B,若，則OCD的面積為：A。B。 C。 D。1+29.設向量與的夾角為，則.解：設向量與的夾

16、角為且，則=.10.已知向量的夾角的大小為.解析：11.已知ABC的三個頂點A、B、C及所在平面內一點P滿足，則點BCP與ABP的面積分別為s1,s2,則s1:s2=_12.設定義域為x1，x2的函數yf（x）的圖象為C，圖象的兩個端點分別為A、B，點O為坐標原點，點M是C上任意一點，向量（x1，y1），（x2，y2），（x，y），滿足xx1（1）x2（01），又有向量（1），現定義“函數yf（x）在x1，x2上可在標準k下線性近似”是指|k恒成立，其中k0，k為常數。根據上面的表述，給出下列結論：A、B、N三點共線；直線MN的方向向量可以為（0，1）；“函數y5x2在0，1上可在標準下線性近

17、似”“函數y5x2在0，1上可在標準1下線性近似”； 其中所有正確結論的序號為_、13.P為ABC所在平面上的點，且滿足=+，則ABP與ABC的面積之比是_12 14.設F為拋物線y2=4x的焦點，A、B、C是拋物線上不同三點，若=0，則=.設A、B、C的橫坐標分別為x1,x2,x3則x1+x2+x3=3，又=1+x1+1+x2+1+x3=615.若向量的夾角為16.如圖，在ABC中，AB=2，BC=3，ABC=60°，AHBC，垂足為H，M為AH的中點，若的值等于。17.在中，若， 則18.若正方形邊長為1，點在線段上運動，則的取值范圍是-2，19.已知是兩個互相垂直的單位向量,

18、且,則對任意的正實數,的最小值是.20.在中，為的中點，為的中點，交于點 ，若（），則1五【思維總結】1兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cosq的符號所決定；（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成·；今后要學到兩個向量的外積×，而×是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分.符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替；（3）在實數中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數量積中，若¹0，且×=0，不能推出=。因為其中cosq有可能

19、為0；（4）已知實數a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c。但是×= ×；如右圖：×= |cosb = |OA|，×c = |c|cosa = |OA|Þ× =×，但¹； (5)在實數中，有(×) = (×)，但是(×)¹ (×)，顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與c不共線。2平面向量數量積的運算律特別注意：（1）結合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到；（3）=0不能得到=或=。3向量知識，向量觀點在數學.物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，而它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”能融數形于一體，能與