1、m(x + n) f(x) = lnx,g(x) =(m > 0)1 .設函數* + 1.(1)當巾=1時，函數V = f(x)與V = £k)在* =1處的切線互相垂直，求 n的值；(2)若函數V =在定義域內不單調，求 m-n的取值范圍；2a xf(卜f(e ) + f(_) 5 0(3)是否存在正實數"使得K2a對任意正實數K恒成立？若存在，求出滿足條件的實數白；若不存在，請說明理由.2,已知函數中)=妙+ 1)lnK-a>t + m閏ER屈勸是"X)的導函數,為自然對數的底數.(1)討論削田的單調性；(2)當時，證明：或呼,)>0；(3)

2、當時，判斷函數*x)零點的個數，并說明理由.b f(x) = a(x + 一)+ blnx3,已知函數¥(其中，為bER).(1)當6 =用時，若在其定義域內為單調函數，求 總的取值范圍；(2)當"T時，是否存在實數 '使得當KE©/時，不等式f僧)> °恒成立，如果存在，求b的取值范圍，如果不存在，說明理由(其中R是自然對數的底數，2.71828).4 .已知函數£(x) =1+ln(K + d),其中m為常數.(1)討論函數或"的單調性；蚓 + g%). + .X X) 以)(2)若以K)存在兩個極值點 Y求證：無論

3、實數取什么值都有22.5 .已知函數 小)二內伯。己)一為常數)是實數集R上的奇函數，函數 或x)=*x) + sinx是 區間T, 1上的減函數.(1)求3的值；(2)若+肘+1在* E -1. 1及X所在的取值范圍上恒成立，求t的取值范圍；Inx 2=x -2ex + m(3)討論關于 '的方程”對的根的個數.6 .已知函數 f (x)= ax ln x, F (x)= ex+ ax,其中 x>0,a<0.(1)若f (x )和F (x )在區間(0,ln3 )上具有相同的單調性，求實數 a的取值范圍；(2)若aw (，; I且函數g(x)=xeax,2ax+ f (x

4、)的最小值為 M ,求M的e最小值.7 .已知函數f (x) =ex所-lnx.(1)如x =1是函數f (x)的極值點，求實數 m的值并討論的單調性 f (x);(2)若x = x0是函數f(x)的極值點，且f(x)之0恒成立，求實數 m的取值范圍(注：已知常數a滿足aln a =1).2 x-8 .已知函數 f (x )= ln (1 + mx )+ -mx ,其中 0cmM1 .x3(1)當 m=1 時，求證：1<xE0時，f(x)E；3(2)試討論函數y = f (x )的零點個數.*、 -Y 1.9 .已知 e 是自然對數的底數，F(x)=2e +x + ln x, f (x

5、)= a(x1 )+3.(1)設T(x )= F (x )f (x )，當a =1+2e時，求證：T(x )在(0,收)上單調遞增；(2)若干x21,F( x )之f (x ),求實數a的取值范圍.10 .已知函數 f (x )=ex +ax-2(1)若a = -1 求函數f(x)在區間-1,1的最小值；(2)若a w R,討論函數f (x )在(0,")的單調性；(3)若對于任意的x1, x2w(0,收)，且x1 <x2,都有x21f (x1)+a l<x1 f(x2)+a成立，求a的取值范圍。word完美格式參考答案1.（1） n = 5； m=n>3；（3）2

6、 .【解析】1 - ng （M =試題分析：（1）本小題主要利用導數的幾何意義，求出切線斜率；當 m = 1時， ），1 - nk -,j可知v = g在x = 1處的切線斜率4 ，同理可求得 出）=1 ,然后再根據函數 V = fx）與1 -（1 乂 1 : 1V=削2在X = 1處的切線互相垂直，得 4,即可求出結果.1x + 2 - mtl - n） + -111Xv=（2）易知函數Y/北的定義域為+叼，可得伙+ 1）,由題意，1 1x + 2 - m（l - n） + -k + 2 - m（：l - n） + -K在W，+a）內有至少一個實根且曲線與X不相切，即區的最小m + fl-n

7、j2> m（l - n） > 4值為負，由此可得 印1-加>4,進而得到4，由此即可求出結果.（3）2a aw x>11h（x = f（一 f（e ） + f（）h （x） = aln2a - alnx - a + - ktx = aln2a - alnx- a + -令 k2a ,可得k ,令k ,則p a 1 ax +1 k（X）='一=- < 0“X”/ ，所以山）在區間O*g）內單調遞減，且k的三°在區間。內必存1lnxQ =+ In2a -1在實根，不妨設網"。）=口，可得 叫,（*）,則h在區間。）內單調遞增，在區間（）+旬

8、內單調遞減，.=中。）h（針刖戶Hn狂伯嘲廿叫，將（*）式代入上式，得17aXh（xj = ax0 + - = 2f（） f（eax） + f（） M 0,”.使得算2a對任意正實數*恒成立，即要求1h伙）=ax + 2<0± ¥口恒成立，然后再根據基本不等式的性質，即可求出結果.試題解析:1 - ng =當m = l時， 僅+ 1),.¥ =虱2在乂 = 1處的切線斜率11 -nf (X) =-. M 1 =一 1由 K ,得 f 口)=1 , 4 （2）易知函數了二耳，）-虱X）的定義域為2 x + 2 - m(l - n) + -.1 m(l - n)

9、 x + 2 - m(l - n)x +1xy =f(x)-g(x) =又x (x + 1)x(x + lj伙 + 1),1x+ 2 a 1ax +1k (x) =< 0則 , ,W在區間+間內單調遞減，且中）=°在區間內必存在實根，不妨設心。）-0,1 1k(xQ) = aln2a - alnx&- a + 一= 0 In/ =+ In2a -1 即%,可得 啊（X + 81內單調遞增，在區間 °內單調遞減, mQ - n) + -由題意，得x的最小值為負，.(注：結合函數v = + 2-m(l-n)x + l圖象同樣可以得到)，2a ax xh(x) =

10、f(一)f(e ) + f( = ax In2a - axlnx + Inx - In2a令 x2a,其中“。啟。,h(x) -alnZa - alnx- a +則.k(x) - aln2a - alnx - a +，(*)則h閭在區間出京。）則x,4H = W%) h&)=(%-l) ln2a -(仆 1卜叫 51h&）=叫*1 將（*）式代入上式，得抑。h（x0） = a% + 2 E。根據題意恒成立，1 1叫+3 2% =又二 叫,當且僅當白時，取等號18% + = 2,axQ = 1。日，代入（*）式，得In- = In2aa1-=2a即a ,又a>。，”一 ”一

11、.2，存在滿足條件的實數"且 2 .點睛：對于含參數的函數在閉區間上函數值恒大于等于或小于等于常數問題，可以求函數最值的方法，一般通過變量分離，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，然后再構造輔助函數詢，禾【J用僅 > 巾恒成立曰岡min >m. f僅） < 恒成立=%3K < m ,即可求出參數范圍.1。-）2.（1）當aw。時， 的）在（。，+ 8）上為減函數；當a>Q時，且的減區間為a ,增區1（一,4 g）間為占 ；（2）證明見解析；（3） 一個零點，理由見解析.【解析】j a 1 ax-1g（x）= - =,試題分析：（1）討論函數單調性，

12、先求導 * ，當時，g<。，故酣）在（0, + f1 1 1* 下 一。-）（-, ,+ 8）上為減函數；當 時，解旦 可得 ,故削X）的減區間為3 ,增區間為己 ；（2）J 2 a*2*根據虱R）=T +e ,構造函數，設h（x）3r , Mk = b-2x,當kr時，h（X）>0所以 h（x）= "r,是增函數，= 上得證；（與判斷函數的零點個數，需要研究函數的增減性及極值端點，由（1）可知，當時，或X）是先減再增的函數，其最小值為1 1 1 11 1 -g(-) = aln- + a = a(l n- + 1) < 0. 二 人，而 人 e < - &l

13、t; e，故虱x)恰有兩f M =則< 0 ；當再證明極大值a ,而此時j = n-e ugu 戶u ,且 a 個零點 ,內,從而得到血的增減性，當ME 4）時，”的=如）。；當KE%）時， kE%，+ 3）時，f=或x）。，從而由）在X】,、兩點分別取到極大值和極小值, f（X1）0,所以函數不可能有兩個零點，只能有一個零點.試題解析：, 1 g（x） = f （x） = alnx + - （1）對函數不）求導得x , a 1 ax -1g（x）=；=? I當。時，g（x）（。，故削X）在13）上為減函數；1 1 1乂一（0* ）（+ g）；（2）鼠設 h（x） = 1-/，則Mx）

14、= 4-%,易知當心時，hk）O,煙=已7-最。（3）由（1）可知，當a”時，g是先減再增的函數，1 1 1或一 = aln- + a = a（ln- + 1） 0其最小值為1ag a ,i1 ia 1：_e - e而此時齦 = l + e %。，且 a ,故蝸恰有兩個零點F2. .當XE（O-J時加）=4）"；當XE%,用時/二如）（o；當XW%, 十叼時:一丁廠二當a1時，解目僅”。可得 力 故齦）的減區間為日，增區間為日word完美格式1一）（幻在，兩點分別取到極大值和極小值，且a ,虱瓦)-alnX + = 0 a 由xi知*1f(引=(aXj + IjlnXj - ax1+

15、 3 = Inx1 + 21 1lnX +<- 2 Inx. +=-1 乂. g<Q, . 叫，但當 叫時，鼠則白=匕不合題意，所以小卜。,故函數可幻的圖象與X軸不可能有兩個交點.，函數UK只有一個零點.b E(, + g3. (1) (，0UU + g)；存在，且 eT【解析】試題分析：（1）當b = M時，首先求出函數的導數,函數的定義域是。），得到ax -4x + 4a*燈=：,分a £ 0和a > o兩種情況討論討論二次函數恒成立的問題，得到 a的取值r -x + bx + b f(x) =范圍；(2)K，分b$0和b>0兩種情況討論函數的單調性， 若

16、能滿足當"E ©】時，當滿足函數的最小值大于 0,即得到的取值范圍.x > OJ(x) = a(x-) - 4lnx J (x) = a(l + -)-=試題解析：(1)由題"x'K4 4 ax - 4x + 4a當a £0時，知fw。，則小）是單調遞減函數;當"Q時，只有對于 心0,不等式作'皿+ 4心0恒成立，才能使f（刈為單調函數，只需A = （-4）2-16a2S0解之得a務1或曰之1此時曰之綜上所述，的取值范圍是g,Oui, + g）b b b - x + bx + bf(x) = blnx-x- K> O

17、J(x) = -l + - =(2)x,其中。)當b0Q時，于是f(x)在+ 3)上為減函數，則在 同e上也為減函數b 1f儀)e前=f(e) = b - e - - = (1 - -)b * e < 0知e 已恒成立，不合題意，舍去b + 卅 + 4b(k =(ii)當b>0時，由f=口得2，列表得Xb + vb2 4-4b fAIb +jb? + 4bb + 6 + 4b 2 122 ，)卜k)+0-21最大值Sib +Jb2 + 4beZWe 0 < b < 2若 2 ，即 e + 1則小)在甩M上單調遞減.b 111 e2 -2ef(x) =f(e) = b-e

18、- = (1 -)b-e(1 -)b* e < (1 -e =-于是 < 口恒成立，不合題意，舍去.b + Jb2 + 4b L e2 >e八若 2 ，即 e +1.b + Jb2 + 4bb + Q + 4b曲)(，+ 間則f在2 上為增函數，在 2上為減函數,產) > 6要使在他】恒有>。恒成立，則必有f¥)>bb -白0, e2 b2b - e - >0,22eb > e-1則巳 ，所以 由于-/一(在2_1)= 1-3£ + 1工0,則e3-e2 2-1,所以綜上所述，存在實數e - 1,使得僅)> 口恒成立.【

19、點睛】導數問題經常會遇見恒成立的問題：(1)根據參變分離，轉化為不含參數的函數的最值問題；(2)若就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值，最終轉化為f(x) > 0 升有藉士門卜一、=耳刈 < 0Ein ,若Tx尸U恒成立 1片抽(3)若“X"颯恒成立，可轉化為產虱小熊.4. (1)當一亞也時，鼠時在區間卜即+ 8)上單調遞增；-a-Ja2 -a + J-2-a-Ja2 -a + Ja2，、(三，；)E),(；，+ 叼當時，或刈在 22 上單調遞減，在 22上單調遞增；(2)見解析.【解析】試題分析：(1)先求導數，研究導函數在定義域上零點情況，本題實質研究v

20、*2+ 2 ax+1在(-3, + 3)上零點情況：當方程無根時，函數單調遞增；當方程有兩個相等實根時，函數單調遞增；當方程有兩個不等實根時，比較兩根與定義區間之間關系，再確定1廠然1 + x2 =- m，乂乂2 =-單調區間，先由(1)知口 ”2,且兩個極值點X】叫滿足,之.再代入化簡g的)+ 的/xx-，/1|應a21 In2> g() ,llna-一+ >0h(a) = & Ina 422得422,利用導數研究422單調性，最后根據單調性證明不等式.試題解析：(1)函數的定義域為-日，+8).1 2xZ + 2ax + 1g'(x) = 2x += 22k +

21、 日 x + a ,記h(x) = 2x *2需+ 1,判別式 A = 4a -g.當二得-g£。即入臉日”2時，煙之。恒成立，g'(x> > 0所以颯在區間(-4 + g)上單 調遞增.當口或口 >立時，方程“Cax+LD有兩個不同的實數根%”記ar-2乂 0(i)若h閔=2* +2dx + 1圖象的對稱軸2，m= h0 = l>0.兩根x4?在區間。-日)上，可知當x-h時函數h(x)單調遞增，h(K)h( -a)0所以g'(x"O,所以虱x)在區間(-軋+ g)上遞增.廠2' =_ _f0(ii)若日，2,則h僅)= 2

22、x +2協+ 1圖象的對稱軸2，忖=h(Q=1 。.，所以 .電%72當KJK與時，必。，所以所以削X)在的用,上單調遞減.當一ax%或“時，h(x"O,所以g'(x)0,所以g在8)上單調遞增.綜上，當一曲£ a £4時，虱x)在區間(-日，+司上單調遞增；當a /時，綱在-a - Ja22三此一? 1 a - 2h'(x) = - - - => 012 a 2a，所以卜在3>出時單調遞增,-2 - a + Ja2 - 2-a - Ja2- 2 - a + Ja2-2(-.-)(-a,-M-,+ «)1 2上單調遞減，在22

23、上單調遞增.(2)由(1)知當 心5時，颯沒有極值點，當口上時，齦)有兩個極值點 如，且1K + X2 = a,XK2 =-眄)+ 颯)a<l-ln2ni 虱一 又 .YiAa a a a)=g( - H = + ln-2,M)+ 或q-g(2) = - - Ina - +1 In2a21 In2h(a) = - - Ina - - + 422a >&l 2n 1 In2h(<2)- lnJ2- + =042 2，所以h付” 0,所以削4)+ g(>2)4 + x2> 或5. (1) 3 = °； (2) t£T；詳見解析【解析】 試題

24、分析：(1)根據奇函數定義可得 Ke ' + aH- ln(ex + a)再根據恒等式定理可得占=。.(2)由函數的)=郎)十Sinx是區間-1, 1上的減函數，得其導函數恒非正，即入&8SX最小值-1,從而有而或K)£t*+At+1在xE -L 1恒成立等價于g(x)ma-八 (t + 1)入+ sinl + 1之0對入91恒成立，再根據一次函數單調性可得只需端點處函數值非負Inx f=即可，解不等式組可得t的取值范圍(3)研究方程根的個數，只需轉化為兩個函數K ,Inxf那)=乂.2"+小交點個數，先根據導數研究函數1 x圖像，再根據二次函數f2W;x+

25、 m上下平移可得根的個數變化規律試題解析：(1)3二川17)是奇函數，則In館.葡二-力中田恒成立，伯、必產 +白)二1即1 +日日，日J +二 1. +” + 日)=°, .”0.(2)由(1)知 f(x) = x, .虱，)二從十5訪',iF日=。= A 一口 二 , ?又.g在-1, 1上單調遞減，.獻%d=L, ?且日僅)=入+£門"與0對'毛-1，恒成立，即“E-8SX對'E - 1，1恒成立，X £ 1, ?.綱4 + At + l在丈E-L 1上恒成立，-A - -in-. < ： ' At： ?即(t

26、 + 1)X + t2 + Sim +1 豈。對 A E-1 恒成立，tm令則二(t + in+t，sm + ngi),則3-1 + $巾 + 1之。，t今1 22.t -t + sml>0 而t -t + al之。恒成立，Inx 2=x - 2ex + m(3)由(1)知小廠卜方程為x,1 -tnx小卜丁時時，J1在。 可上為增函數;+回時，品僅,0,閭在0，目上為減函數;1物"網丁而3僅,，函數fjx)、fx)在同一坐標系的大致圖象如圖所示,.當 e,即 時，方程無解;2*2 xm - e =- m = e + -當 正 即65時，方程有一個根；?12 1m-e <-

27、 m<e +-當 電，即七時，方程有兩個根.點睛：對于求不等式成立時的參數范圍問題，在可能的情況下把參數分離出來，使不等式一端是含有參數的不等式，另一端是一個區間上具體的函數，這樣就把問題轉化為一端是函數， 另一端是參數的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數法不是萬能的，如果分離參數后，得出的函數解析式較為復雜，性質很難研究，就不要使用分離參數法6. (1) M的最小值為0. (2) (-«,3.【解析】1 ax 1x一一試題分析：(1)由 f (x) = a =, F (x) = e +a,x>0n f (x)<0 在(0,y)上x x恒成立nf (x )在(

28、0,y )上單調遞減 = 當1a<0時，F'(x)>0,即F(x )在(0,收)上單調遞增，不合題意；當a < 1時，利用導數工具得F (x )的單調減區間為(0,ln ( a ),單調增區間為ln -a，二二1 -dn xxf(x )和F(x )在區間(0,ln 3)上具有相同的單調性二ln(a沱ln3 n aW3n a的取值范圍是(-, 一3 ; ( 2 )由 g'(x ) = (ax + 1 )1 eax，- 1=0= x1 一 l nx ，lxn-2 - E 口 SD ,口p(x)=,p (x)=2利 用 導 致 工 具 得xx211Tnx ax 11

29、_p(x» =P(e = = a <= e - <0 ,再根據單倜性exx,1 1 )g(x min =gI a J1_2 I i 1t.2 一設 t = 一一 0,e , g 一一 =h t = - - In t 1 0 < t < e = aae在(0,e2上遞減=h(t心h(e2)=0= M的最小值為0.試題解析：(1) f'(x) = a° =ax, F'(x) = ex+a,x0,x x7a <0, f (x)<0在(0,f 讓恒成立，即f(x)在(0,f 讓單調遞減 當1a<0時，F'(x)>

30、;0,即F(x )在(0,y )上單調遞增，不合題意;當 a < -1 時，由 F'(x)a0 ,得 x>ln(a ),由 F'(x)<0 ,得 0< x< ln(a . F(x)的單調減區間為(0,ln (a),單調增區間為(ln(a),"'/ f (x )和F (x )在區間(0,ln3 )上具有相同的單調性，ln (a )之 ln3 ,解得 a « -3 ,綜上，a的取值范圍是(，-3】.(2) g'x )=eax、+axeax>a _工=(ax+1 )feaxiI, x. x上 ax i 1-1 -

31、ln x1 一 In x由 e =0得至U a =,設 p(x)=xxxp'x =In x-22，x從而p(x 好(0,e2 U遞減，在(e2,y)上遞增. p(x)min21p e =-£.當 xe2 時，p' (x )>0 ；當 0 <x <e2 時，p' (x)<0.1 -J 1 L 在0,-上,I a)-時, eax +1 >0,g' (x)<0,g(x)遞減;,1在，上，ax + 1 <0,g (x /0,g(x)遞增.g(x)min a121t2設 t=-w(0,e I, g ,=h(t )=-ln

32、 t+1(0 <t We ),aae,1122h (t 尸二一： W0,h(t 次(0,e I上遞減.h(t 心h(e )=0；M的最小值為0 .考點：1、函數的單調性；2、函數的最值；3、函數與不等式.【方法點晴】本題考查函數的單調性、函數的最值、函數與不等式，涉及分類討論思想、數 形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較 強，屬于較難題型.利用導數處理不等式問題.在解答題中主要體現為不等式的證明與不等 式的恒成立問題.常規的解決方法是首先等價轉化不等式，然后構造新函數，利用導數研究 新函數的單調性和最值來解決，當然要注意分類討論思想的應用7.(

33、1)m = 1, f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+受)上單調遞增；(2) ma 1na,+*).試題分析：(1)由x =1是函數f (x)的極值點，得f '(1 )=0可得m得值，由導數和單調性的關系得其單調區間；(2)由題意知f'(x)=exqm1,設h(x) = ex4m，知h'(x)>0得 xxh(x )單調遞增，即 x = x°是f'(x)=0在(0,收)上的唯一零點，得m =%1nx0,f (x min = f (x° ),使得f (x0心0即可，結合aln a = 1 ,得參數m范圍.試題解析：(1) x =1是函

34、數f(x)的極值點，f'(1) = 0= e1加一1=0.x 1(x4 1 xe -1 m = -1, f '(x) = e =.x x令 g(x) =xex，-1, g '(x) =ex" +xex=(x +1)_ex_l >0 , g(x)在(0,依c)上單調遞增，g(x) Ag(0) = 1, g(1) = 0.,當 x e (0,1), g(x) <0;當 xw (1,-Hc), g(x)>0.f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+oc)上單調遞增，此時，當x=1時f(x),取極小值.(2) f'(x)=ex 巾)，設 h

35、(x)=ex4m2, xx1.、 一 、則 h'(x) =e+>0. h(x)在(0, y)上單調遞增，xf '(x)在(0, )上單調遞增.x =x0是函數f(x)的極值點， x =x° 是 f'(x) =0 在(0, +8)上的唯一零點，ex0 m =x0m =ln =xqx。x0m = In x0 = m = - x。- In x0., 0 <x <xq , f '(x) < f '(xq) =0 , x Ax。，f '(x) > f '(x。)=0 , f(x)在(0,x。)上單調遞減，在(

36、%,+8)上單調遞增，f(x)有最小值.f (x)min = f (x。)= ex。m - In x。xq m.x。 f(x)之0恒成立，1 c 1, +x。+m >0 , +x。>xq +ln x。,x。x。1 ,，之 In x。. 丁 a In a =1 , ，x。三 a , x。m = -x。-In x0 之一a Tn a ,m -a Tn a,二).考點：(1)利用導數研究函數的極值；(2)利用導數研究函數的單調性；(3)恒成立問題.【方法點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性以及求函數的最大值和最小值問題，以及對于不等式恒成立問題，解決不等式恒成立問題的常用方法是轉化為

37、最值恒成立.考查函 數的單調性，由f'(x)>0,得函數單調遞增，f'(xy<0得函數單調遞減；考查恒成立問題,正確分離參數是關鍵，也是常用的一種手段.通過分離參數可轉化為 a > h(x )或a < h(x )恒成立，即a > hmax (x Ma< hmin (x卿可，利用導數知識結合單調性求出hmaxfx )或hm,僅卿得解.8. (1)見解析；(2)當0<m<1時，有兩個零點；當 m = 1時；有且僅有一個零點.【解析】3 x試題分析：(1)首先將m = 1代入函數解析式，然后令 g(x)= f (x)-,再通過求導得到g

38、 (x )的單調性，從而使問題得證；(2)首先求得f '(x),然后求得f '(x) = 0時x的值,再對m分類討論，通過構造函數，利用導數研究函數單調性極值與最值，即可得出函數零點的個數.x3,-x3試題斛析：(1)當 m=1 時，令 g(x)=f(x) -一(一1<xW0),貝Ug (x )=,31 x當1<xE0 時，x3 之0 , 1+x A0,二 g'(x)2 0,此時函數 g(x)遞增,x3二當1 <x M0 時， g(x)«g(0)=0, 當1<xW0時，f(x)E3 1 Nmx .|x -. m 一一(2) f'

39、(x) =-、，令 f'(x)=0,得小=0, x2 = m-,1 mxm2x -(i )當 m =1時，x1 =x2 =0,由得 f (x )= 1 x，當x>1時，1+xA0, x2至0,二f'(x)之0,此時，函數f(x)為增函數, -1<x<0時，f(x)<f(0) = 0, f(0) = 0, x>0時，f(x)>f(0)=0,故函數y = f(x),在x>T上有且只有一個零點 x = 0 ；111(ii )當 0<m<1 時，m <0,且一一< m -, mmm由知，當 x e , -, m - L

40、1+mx>0, mx < 0 , x- m-1)W0, .m m. m此時，f'(x )20;同理可得，當 x"mI0I f'(x)W0;當 x20 時，f'(x)i0;m'二函數y = f (x )的增區間為Lm 一工和(0, g卜減區間為1 m ,0 Immm1故，當 m-<x<0 時，f (x )> f (0 )= 0 ,當 x>0 時，f(x)>f(0)=0 m二函數y = f (x ), xe | m _ , y i有且只有一個零點x = 0;m0<t<1 ,則又 f，m -1= ln m

41、2 - 1 m2 一2 I,構造函數 m2 . mt2t2，易知，對Vtw(0,1),中'(t)<0,二函數y=")， 0 <t <1 為減函數，,邛(t )>9(1 )=0212121由 0<m<1,知 0<m <1, ， f m - l=ln(m )- m 一一2 > 0m2 . m1 - x構造函數 k(x )=lnxx+1 ( x >0),則 k (x )=，當 0<xE1 時，k(x)至 0,當 xa1x時，k'(x)<0,.函數 y = k(x)的增區間為(0,1,減區間為(1,g),

42、. k(x)Ek(1)=0,12 -1 :二二二2 則 e m < m ,e。11一一 ：x :mJ e-'1 ,時，In (1 + mx) < 一-1-12 mX21x2I們一mx ： x -mx : 72m2x2由知 f x = In 1 mx 一 -mx ：21 1-0 m又函數y = f (x )在1 -,m- 上遞增, .m m1m -me m -1>由和函數零點定理知，X0，使得 f Xo ) = 02 X 綜上，當0 cm <1時，函數f (x ) = ln (1+mx )十萬mx有兩個零點,綜上所述：當0 cm <1時，函數y = f(x)

43、有兩個零點，當m =1時，函數y = f (x)有且僅有一個零點.考點：1、利用導數研究函數的單調性；2、函數零點存在性定理；3、函數最值與導數的關系.【技巧點睛】 函數的單調性是使用導數研究函數問題的根本，函數的單調遞增區間和單調遞減區間的分界點就是函數的極值點，在含有字母參數的函數中討論函數的單調性就是根據函數的極值點把函數的定義域區間進行分段，在各個分段上研究函數的導數的符號，確定函數的單調性，也確定了函數的極值點，這是討論函數的單調性和極值點情況進行分類的基本原 則.9. (1)證明見解析；(2) (3,41【解析】試題分析：(1)借助題設條件運用導數與函數單調性的關系推證；(2)借助

44、題設條件運用導數的有關知識求解.試題解析：* 11_x 1(1) *a=1 + 2e ,T (x )= F (xf (x 二 T (x ) = 2e + lnx2e x + 2e -2.:x >0,T'(x)=2ex“2e+.；2ex2e關于 x 單調 遞增，xx 1111x>0,T '(x ) = 2ex 2e +- >- >0,. T (x )在(0,2 )上單調遞增. x x11(2)設 H (x)= F(x) f ( x)，則 H '(x )=2e +1 a .設 h(x )=2e +1 + a , xx則 h'(x )=2ex：

45、.；x 之1j 2ex，>2, -2 >-1,h'(x )>1.a h(x )在1,")內單調遞 xx增.二當 x 之1 時，h(x)*h(1 ).即 H '(x)之4a,，當 a44時，H '(x)之4 a20.當a<4時，H (x )在11,8)內單調遞增.，當a<4, x，時，H (x戶H (1),即1 1F (x )之 f (x ) * x ±1.H'(x ) = 2ex +1+a W2ex +2 - a .當 a>4 時, 由 x2ex、+2 -a =0得'：2ex'+2a關于x單調遞增，:當aA4,1Mx<1+ln |旦1 |時，H (x )單調遞減.設2x0 =1 In，則 H (xo )<H (1 )=0,即 F(% )< f (x° >二當 a >4時，5x0 =1+ln -1 l>1,F (x0 > f (x0 )不成立. 2綜上，若Vx21, F (x )之f (x ),-的取值范圍(-«,4.考點：導數在研究函數的單調性和極值等方面的有關知識的綜合運用.【易錯點晴】